BILANTUL DE PUTERI, CARACTERISTICA M=f(s) A MASINII ASINCRONE TRIFAZATE

BILANTUL DE PUTERI, CARACTERISTICA M=f(s) A MASINII ASINCRONE TRIFAZATE

1 Bilantul puterilor la masina asincrona trifazata

1.1 Bilantul puterilor active

Se folosesc ecuatiile (5.31) in marimi raportate si se tine seama de reprezentarea in complex a marimilor (luand Φ ca origine de faza). Se aplica conjugata complexa primelor doua ecuatii din (5.31) :

(5.46)

Prima ecuatie din (5.46) se inmulteste cu I₁, iar cea de a doua cu I'₂, se tine seama de cea de a treia, obtinandu-se prin insumare relatia:

(5.47)

Se introduc in (5.47) expresiile marimilor complexe deduse din diagrama (fig.5.11):

(5.48)

si se obtine egalitatea:

(5.49)

Prin separarea partilor reale, ordonarea convenabila si inmultirea cu 3, obtinem:

(5.50)

Acesta este bilantul puterilor active in masina asincrona trifazata.

Pentru regimul de motor, bilantul puterilor active se reprezinta sugestiv printr-o diagrama Sankey in fig. 5.12.

Aceasta diagrama arata ca puterea electrica activa absorbita de masina prin stator (pozitiva in cazul de fata), este:

(5.51)

si cuprinde:

- o componenta mica "consumata" prin efect electrocaloric in infasurari :

, (5.52)

- o alta componenta "consumata" prin incalzirea fierului statoric datorita histerezisului magnetic si curentilor turbionari (pierderi in fierul statoric):

, (5.53)

- o a treia componenta, importanta ca valoare, al carei modul este :

, (5.54)

numita si putere electromagnetica, care este de fapt puterea transmisa de stator, prin intrefier, rotorului masinii asincrone. Aceasta putere este exprimata ca produs dintre cuplul manifestat asupra rotorului si viteza unghiulara a campului. M este numit cuplu electromagnetic si este egal si de semn contrar cu cuplul ce se manifesta dinspre rotor spre stator.

Din puterea electromagnetica primita de rotor, prin camp, o parte se consuma prin efect electrocaloric in infasurarea rotorica:

, (5.52')

iar o alta parte, insemnata, constituie puterea mecanica transferata rotorului, al carei modul este:

, (5.55)

Aceasta putere mecanica se manifesta prin cuplul de reactie a rotorului, egal cu M, la viteza unghiulara a rotorului Ω.

Din puterea mecanica P_Mec, o mica parte este cea corespunzatoare pierderilor mecanice prin frecari sau prin ventilatie, la care se adauga unele pierderi suplimentare [12;16], iar o parte insemnata o constituie puterea mecanica utila la arbore, furnizata masinii de lucru, P₂, care se poate exprima si prin relatia:

, (5.56)

unde M₂ este cuplul util al motorului asincron trifazat.

Privind masina ca un sistem, daca P₁ - de natura electrica este pozitiva, adica intra in sistem, P_Mec - de natura mecanica iese din sistem deci este negativa.

Din ecuatia (5.50) se poate deduce expresia puterii mecanice, adica :

, (5.57)

al carei modul este :

, (5.58)

iar , la care se mai adauga si unele pierderi suplimentare, constituie pierderile mecanice si prin ventilatie. Relatia (5.50) se poate scrie si in formele:

unde:

(5.60)

Precizari :

-In ecuatia (5.50) toate marimile care se refera la puteri si pierderi de putere sunt aduse in membrul stang al ecuatiei. Suma algebrica a acestor puteri este nula, arata faptul ca o "masina electrica considerata ca un sistem izolat, in repaus fata de exterior, se supune legii conservarii energiei (puterii)". In situatiile concrete, pierderile prin efect electrocaloric in stator si in rotor intra cu semnul " - " intrucat fizic acestea ies din sistem. La fel si pierderile in fier, care in fapt se manifesta prin incalzirea materialului feromagnetic si transferul caldurii spre exterior. In ceea ce priveste pierderile mecanice si prin ventilatie, acestea sunt sesizabile tot prin incalziri ale lagarelor, aerului etc. Puterile: P₁ - de natura electrica, P₁ = 3U₁I₁ cosφ₁ , respectiv P₂ ≈ - 3R'₂ I'₂(1-s)/s - de natura mecanica, (s-au neglijat pierderile p_mec+v) pot fi cu semne pozitive sau negative in functie de situatia reala concreta in care se afla masina; mai exact dupa regimul de functionare al acesteia.

-In regimul de motor, puterea P₂ - de natura mecanica este negativa intrucat aceasta se manifesta prin invingerea unui cuplu "rezistent" al unei masini de lucru M_r , cuplu care se opune rotirii, fiind de semn contrar vitezei Ω . Se poate scrie P₂ = M_r Ω < 0. Altfel spus, prin cuplajul mecanic cu sarcina, masina asincrona "primeste" de la aceasta o putere M_r Ω -"negativa" ceea ce este echivalent cu transmiterea sau generarea unei puteri mecanice catre sarcina. Este evidenta egalitatea: | M_r | = M₂.

-Pentru o scriere mai compacta a relatiei (5.50), tinand seama si de (5.57 5.60) se vor trece pierderile de putere in membrul drept, adica:

(5.61)

In modul acesta se obtine o egalitate intre marimi pozitive, adica suma algebrica a puterilor active care acced (de natura electrica si/sau mecanica) intr-o masina asincrona este pozitiva si egala cu suma pierderilor (de natura termica, mecanica sau chiar electrica).

-Este utila prezentarea bilantului de puteri in unele cazuri particulare.

In fig. 5.13 a) si b) sunt prezentate bilanturile in cazul functionarii masinii asincrone ca motor in gol s ≈ 0, respectiv in scurtcircuit (la pornire), s = 1.

In ambele situatii puterea utila P₂ este nula iar puterea P₁ - electrica este absorbita de la retea, deci este pozitiva.

Aceasta putere este egala in modul cu suma pierderilor respective, exemplificate pe desene.

In cazul functionarii la sincronism, rotorul masinii trebuie sa fie antrenat din exterior la n = n₁ , iar bilantul de puteri este prezentat in fig. 5.14 a).

Din punct de vedere analitic, ramane valabila relatia generala (5.61), adica :

(5.62)

dar din punct de vedere al sensurilor, cele doua puteri de natura electrica si mecanica sunt pozitive. In continuare daca va creste P₂ - de natura mecanica, pozitiva, se va ajunge la situatia limita (nefigurata), cand:

(5.63)

adica, prin stator nu se absoarbe dar nici nu se genereaza putere activa, toate pierderile in masina fiind preluate din puterea mecanica ce se manifesta in rotor (luata de la motorul de antrenare). Crescand in continuare P₂ (fapt ce se realizeaza prin tendinta de crestere a vitezei de antrenare a rotorului) se ajunge la regimul de generator asincron, la care diagrama de puteri este data in fig. 5.14 b). Din nou este valabila relatia (5.61), adica :

(5.61')

De data aceasta modulul puterii P₂ - de natura mecanica, este mai mare decat al puterii P₁.

Este de remarcat faptul ca in jurul valorii s ≈ 0 este un domeniu de alunecari in care masina nu are un regim de functionare precis, de generator sau de motor. Situatiile acestea se pot analiza daca se foloseste diagrama din fig. 5.14 a) si se modifica puterile de la: si , la si , pe acest domeniu atat P₁ cat si P₂ fiind pozitive.

-Pentru regimul de motor si de generator se poate defini randamentul masinii ca raport intre puterea utila - furnizata, luata in modul si puterea consumata - absorbita. Adica:

pentru regimul de motor :

(5.64)

unde |P₂| este modulul puterii mecanice, iar P₁ este puterea electrica activa absorbita.

pentru regimul de generator :

, (5.64')

unde |P₁| este modulul puterii electrice furnizate, iar P₂ este puterea mecanica absorbita.

In general, se foloseste indicele 1 pentru puterea absorbita, care este de natura electrica in regim de motor si de natura mecanica in regim de generator, iar indicele 2 se utilizeaza pentru puterea furnizata - de natura mecanica in regim de motor si de natura electrica in regim de generator. Daca se adopta aceasta notatie, atunci se obtine expresia randamentului, in cazul general, respectiv in cele doua regimuri:

(5.64')

Asadar, randamentul - o marime tehnica pozitiva, poate fi exprimat prin raportul dintre puterea de iesire (in modul) si puterea de intrare, avand sens numai daca cele doua puteri au semne algebrice diferite. Se face precizarea referitoare la semnele celor doua puteri, tocmai pentru a nu se ajunge la valori ale randamentului "supraunitare", fapt posibil cand cele doua puteri P₁ si P₂ au semne algebrice pozitive. Un asemenea regim, cu ambele puteri pozitive se intalneste la functionarea masinii ca frana, cand nu are sens definirea randamentului.

Introducand indicii "el" , si "mec" pentru puteri, relatia (5.61) a bilantului de puteri, se scrie:

, (5.61')

valabila pentru orice regim de functionare a masinii, adica :

Motor: ; ; , (5.65-1)

Generator: ; ; , (5.65-2)

Frana: ; ; (5.65-3)

2 Caracteristica cuplului in functie de alunecare

2.1 Functionarea masinii asincrone la tensiune si frecventa constante

In cele mai intalnite situatii, statorul masinii asincrone trifazate este conectat la reteaua industriala de frecventa constanta, f₁ = 50 Hz in Europa sau f₁ = 60 Hz in America. Totodata, excluzand situatiile particulare, cand intre masina si retea sunt intercalate sisteme de reglare a tensiunii, marimea tensiunii statorice U₁ este presupusa constanta. De altfel, extinderea utilizarii masinilor asincrone in cele mai diverse aplicatii practice, este si o consecinta a absentei unor echipamente costisitoare intermediare, masina fiind racordata la retea doar prin intrerupatoare sau contactoare. Este importanta, pentru caracterizarea functionarii masinii asincrone, dependenta cuplului electromagnetic M, mai ales de alunecarea s, in conditiile cand se impune tensiunea aplicata statorului U₁ - pe faza si frecventa acesteia f₁ (sau pulsatia ω₁ ) (cand U₁=const si f₁=const).

In conditiile neglijarii pierderilor in fier, se poate folosi schema echivalenta din fig. 5.9 b), de unde se deduce expresia puterii mecanice (corespunzatoare puterii electrice din rezistenta rotorica variabila cu s ):

, (5.69)

unde este obtinut din (5.41), adica:

(5.70)

Intereseaza modulul cuplului electromagnetic. Se apeleaza la (5.55), de unde se obtine:

. (5.71)

Nota. In relatia cu o masina de lucru, actionata de un motor asincron, cuplul furnizat de motor este orientat in sensul vitezei de rotatie a arborelui, deci este pozitiv, adica puterea vehiculata este pozitiva (deci si cuplul) "intrand" in masina de lucru. Pe scurt spus, folosim conventia conform careia in regim de motor, masina asincrona este caracterizata de un cuplu electromagnetic pozitiv, conventie utilizata in cvasitotalitatea publicatiilor de specialitate.

In relatia (5.71) s-au utilizat (5.1) si (5.2).

Se constata ca aceeasi relatie se obtine si daca se folosesc (5.54) si (5.55), adica:

Din (5.70) si (5.71) se obtine:

Aceasta expresie se aduce la forme mai compacte:

(5.73)

unde s-au introdus notatiile:

Functia M=M(s), va fi studiata pentru domeniul , inclusiv pentru cateva valori particulare ale lui s.

Se constata ca :

si (5.75)

ceea ce inseamna ca: pentru s- pozitiv, cand , functia analizata trece prin origine, (la s=0→M=0 ) si tinde tot spre 0 cand s tinde la +∞. Asadar, M(s) admite un maxim pozitiv in domeniul

Pentru s- negativ, analog, se constata trecerea lui M printr-un minim negativ. Pentru a afla extremele functiei M(s) se aplica, intr-o prima varianta, principiul cunoscut din "Analiza matematica", anume: egalarea derivatei functiei cu zero. Adica, revenind la (5.73), se obtine:

(5.76)

Se ajunge imediat la valorile alunecarilor corespunzatoare extremelor functiei, numite alunecari critice:

(5.77)

Valoarea pozitiva a alunecarii critice:

corespunde regimului de motor, iar valoarea cuplului critic in acest caz este:

. (5.79)

Valoarea negativa a alunecarii critice corespunde regimului de generator, iar cuplul critic este, in acest caz:

. (5.80)

Valoarea in modul a cuplului critic in regim de generator este mai mare decat a cuplului critic in regim de motor, asa cum se vede din comparatia expresiei (5.80) cu (5.79). Avand in vedere aceste elemente se poate reprezenta dependenta M = f(s), in fig. 5.15.

Regimurile de functionare ale m. a. trifazate sunt inscrise pe fig. 5.15, :

-pentru masina functioneaza ca motor, cuplul fiind pozitiv;

-pentru masina lucreaza ca generator, cuplul fiind negativ;

-pentru masina este in regim de frana, cuplul fiind pozitiv.

La s = 1 rezulta n = 0 adica rotorul este imobil. Pentru a deduce valorile alunecarilor critice se poate folosi si un alt rationament. Se constata ca expresia (5.73) a cuplului, cuprinde la numitor suma:

, (5.81)

adica o constanta B, la care se adauga doi termeni variabili cu s: si . Produsul acestor termeni: este constant. Se aplica o teorema cunoscuta din algebra, anume: suma a doua marimi variabile, al caror produs este constant, devine maxima cand cele doua marimi sunt agale, ceea ce inseamna :

. (5.82)

S-a ajuns la relatia (5.77), asa cum era de asteptat.

Pentru regimul de motor, domeniul cuprins intre s=0 si s=s_cr1 caracterizeaza zona de functionare stabila, cand rotorul este cuplat mecanic pe o sarcina, care se manifesta printr-un cuplu rezistent constant. Mai exact, daca masina asincrona este cuplata la o masina de lucru, ecuatia de echilibru rezultata din legea fundamentala a dinamicii, se scrie:

(echivalenta cu ), (5.83)

unde ΣM este suma cuplurilor ce se aplica ansamblului rotor - masina de lucru, J - momentul de inertie al rotorului masinii asincrone impreuna cu cel al masinii de lucru. Pe arborele comun actioneaza un cuplu activ produs de masina asincrona (aproximativ egal cu cuplul electromagnetic) si un cuplu rezistent creat de masina de lucru (la care se poate adauga si cuplul corespunzator frecarilor, ventilatiei etc., in general pierderilor mecanice si suplimentare). Cele doua categorii de cupluri actioneaza in sensuri contrare, iar daca viteza Ω este constanta, aceste cupluri isi fac echilibrul, adica:

(5.84)

Daca cuplul rezistent este egal cu cel nominal, adica:

M_r = M_N = ct.

atunci masina asincrona functioneaza in punctul N - nominal (fig. 5.15), caracterizat prin egalitatea (5.84), M = M_r, iar curbele 1 si 2 se intersecteaza la o alunecare, cand turatia, respectiv viteza unghiulara sunt date de:

. (5.2')

Daca dintr-un motiv oarecare datorat sarcinii, creste cuplul rezistent ca modul (dreapta 3), atunci:

, (5.86)

adica rotorul decelereaza, viteza Ω scade, deci s - creste, iar punctul de functionare (p.f.) se misca din N in N' , ceea ce inseamna ca M creste pana egaleaza noul cuplu rezistent, ecuatia (5.84) este satisfacuta la o valoare crescuta a alunecarii, respectiv o valoare crescuta a cuplului. Daca acest cuplu perturbator inceteaza, M_r revine la valoarea initiala, rotorul se va accelera, alunecarea scade, p.f. va reveni din N' in N. Aceasta proprietate a masinii asincrone de a reveni la vechea situatie dupa incetarea perturbatiei de cuplu, este numita stabilitate in functionare (sau masina are functionare stabila).

Punctul Q₁ este punctul limita de functionare stabila, intrucat daca M_r creste peste valoarea M_cr1, alunecarea are tendinta de crestere peste s_cr1, iar cuplul activ M, conform curbei 1, scade M < M_cr1 . Nemaiputandu-se realiza conditia de egalitate a celor doua cupluri, rotorul isi incetineste viteza, alunecarea creste continuu, ajungandu-se in punctul P cand: s = 1, Ω = 0, adica rotorul se blocheaza (caleaza).

Se spune ca masina decroseaza sau se desprinde daca M_r > M_cr1, iar portiunea Q₁P este domeniul de functionare instabila a motorului asincron. Se poate analiza stabilitatea masinii considerand un punct S pe domeniul instabil. Daca M_r creste, atunci exista tendinta incetinirii vitezei, deci a cresterii alunecarii. Intrucat la alunecari mai mari M devine mai mic decat cel corespunzator lui S, nu se poate restabili egalitatea M = M_r , ceea ce provoaca o crestere in continuare a lui s, in final aceasta ajungand la 1 cand rotorul se blocheaza, iar Ω = 0.

Punctul P corespunde situatiei de pornire, cand s = 1 iar M = M_p , numit cuplu de pornire. Pentru ca un motor sa porneasca, este nevoie ca M = M_p > M_r , intrucat, in acest caz, din ecuatia (5.84) dΩ/dt > 0, adica viteza creste in timp. Odata cu cresterea vitezei din 0 spre n₁, cuplul va creste fata de M_p, iar conditia M > M_r , este indeplinita cu atat mai mult, ceea ce inseamna o noua accelerare, p.f. se va deplasa din P spre Q₁, dupa care M va scadea fata de M_cr1 , accelerarea avand loc pana cand M devine egal cu M_r, moment in care procesul de pornire s-a incheiat iar p.f. se stabileste pe portiunea OQ₁ a caracteristicii. Din analiza caracteristicilor cuplului rezistent se deduc urmatoarele:

-daca cuplul rezistent este mai mare decat cuplul de pornire, conform dreptelor 2 si 3, atunci motorul nu poate porni;

-daca cuplul rezistent este mai mic decat M_p , dreapta 4 , atunci motorul poate porni.

Se mentioneaza faptul ca in rationamentele de mai sus a fost considerat un cuplu rezistent constant, reprezentat pe domeniul prin drepte paralele cu axa absciselor. In realitate, cuplul rezistent are o componenta constanta peste care se suprapun alte componente dependente de viteza (liniar si/sau parabolic ).

De exemplu, daca variatia cuplului rezistent M_r(s) este curba 5, atunci masina poate porni, iar punctul de functionare se stabileste in N - la s_N si M_N.

Punctul O de pe caracteristica M(s) este caracterizat prin: s = 0 , M = 0, iar Ω = Ω₁(1 - 0 ) = Ω₁, adica masina functioneaza la sincronism. Acest punct se obtine pentru cazul ideal cand M_r = 0, numit punct de functionare in gol ideal. Practic, se obtine aceasta situatie daca rotorul este antrenat din exterior cu un motor care preia pierderile mecanice si prin ventilatie (fig. 5.14 a).

Expresia simplificata a caracteristicii M = f(s) - formula lui Kloss

Pentru calcule aproximative ale sistemelor de actionare cu motoare asincrone se recurge frecvent la o expresie mai simpla a dependentei M =f(s). Pentru regimul de motor se imparte relatia (5.73) a cuplului M(s) la valoarea critica M_cr1, data de (5.79), si se simplifica fortat prin , adica:

, (5.87)

unde: M_cr = M_cr1 , iar .

Pentru un caz concret de motor asincron - MA1: la 2p = 6; U₁ = 380 V - stea si frecventa de 50 Hz, cu parametrii: R₁ = 0,05 Ω; R'₂ = 0,04 Ω; X_s1 = 0,1 Ω; X'_s2=0,15 Ω; X_m = 10 Ω, avand pierderile in fier neglijabile, se obtin :

Relatia (5.87) se poate scrie in forma :

, (5.88)

unde s-a neglijat termenul , in raport cu ceilalti; relatie intalnita sub denumirea de formula lui Kloss.

Intrucat pentru alunecari mici primul termen de la numitor este mic comparativ cu al doilea, expresia M=M(s) se poate aproxima prin relatia liniara (o dreapta prin origine):

. (5.89-1)

Pentru alunecari mari, (apropiate de s = 1), cel de al doilea termen de la numitor este neglijabil comparativ cu primul, expresia M=M(s) se poate aproxima prin functia hiperbolica :

(5.89-2)

Tinand seama de aceste aspecte se poate trasa dependenta aproximativa M=f(s), reunind cele doua expresii (5.89-1) si (5.89-2), in fig. 5.16.

Curbele (C), (D), (H) sunt descrise de ecuatiile (5.88), (5.89-1), (5.89-2), iar curba (E) este data de relatia precisa (5.87), unde nu se neglijeaza raportul.

Din analiza acestui exemplu se pot trage unele concluzii:

-cele doua curbe (E), (C) au un mare grad de coincidenta pentru alunecari de la s = 0 la s ≈ 5% (deci pana la valoarea nominala ),

-curbele (H), (C) sunt destul de apropiate pentru alunecari situate in vecinatatea lui 1 (la pornire), relatia exacta furnizeaza o valoare mai mare decat valorile aproximative pentru cuplul de pornire, ceea ce este acoperitor pentru cele mai multe aplicatii,

-in zona alunecarii critice se poate utiliza cu destula precizie relatia aproximativa (5.88), curba (C) fiind suprapusa peste curba exacta (E).

In practica valorile parametrilor masinii se modifica cu alunecarea, incat si expresia ce descrie curba (E) ramane, totusi, aproximativa.

Expresia cuplului in functie de puterea activa rotorica

Se foloseste expresia (5.71) a cuplului. Tinand seama de diagrama din fig.5.11, referitor la configuratia OADEO, se deduce :

(5.90)

Dar, din triunghiul dreptunghic OAD se obtine:

. (5.91)

Inmultind relatiile (5.90), (5.91) si amplificand cu , se ajunge la:

. (5.92)

Din (5.71) rezulta :

. (5.93)

Asadar, cuplul electromagnetic este proportional cu puterea activa transmisa rotorului masinii, mai exact este egal cu raportul dintre aceasta putere si viteza unghiulara de sincronism, Ω₁.

Nota: In cele expuse mai sus s-a considerat numai cuplul corespunzator fundamentalei, toate marimile electrice: tensiuni de faza, tensiuni induse, curenti, s-au considerat armonice, de pulsatie ω₁.

De remarcat este faptul ca valoarea cuplului critic nu depinde de rezistenta rotorica , in schimb alunecarea critica depinde, in sensul ca valoarea sa creste odata cu rezistenta rotorica. Pentru o valoare crescuta a lui , dependenta M(s) isi schimba valoarea pantei in origine, in consecinta, punctul Q se deplaseaza spre dreapta, pe orizontala (d).

Este interesant si faptul ca la = 0, pierderile Joule in rotor sunt nule, deci cuplul este nul! Totodata pentru →+∞ rezulta M = 0, ceea ce inseamna ca rezistenta rotorica are o mare influenta asupra alurii caracteristicii M = M (s) sau a caracteristicii mecanice, n=f(M). La motoarele cu rotor bobinat si inele este posibila modificarea rezistentei echivalente a rotorului, prin inserierea unui reostat trifazat, cu fazele rotorice.