CALCULUL HIDRAULIC AL CONDUCTELOR CARE TRANSPORTA LICHIDE

CALCULUL HIDRAULIC AL CONDUCTELOR CARE TRANSPORTA LICHIDE

1.1. Consideratii generale

Din punct de vedere hidraulic conducta reprezinta un spatiu de orice forma si dimensiuni care permite miscarea sub presiune a unui fluid. Conventional, conductele sunt clasificate in trei categorii in functie de marimea urmatorilor termeni hidraulici:

(1.1)

in care reprezinta pierderea de energie (de fapt disiparea energiei cinetice, potentiale si de pozitie in efecte termice si vibratii) proportionala cu lungimea, iar x coeficientul de pierderi locale de sarcina; l este coeficientul de rezistenta hidraulica proportional cu lungimea, L - lungimea conductei iar d - diametrul interior al acesteia.

Astfel:

daca parametrul > 50 conducta este considerata lunga (magistrala) din punct de vedere hidraulic, ultimii doi termeni avand valori neglijabile;

daca parametrul 0,2 < > 50 conductele sunt considerate scurte (locale) din punct de vedere hidraulic, termenii din (1.1) au acelasi ordin de marime, luarea lor in calcul fiind obligatorie;

daca parametrul < 0,2, conductele sunt considerate scurte (orificii, duze) din punct de vedere hidraulic, astfel incat in calcule conteaza numai pierderile locale.

In calculul unei conducte se pun doua probleme:

de proiectare, cand aceasta se construieste, si se cunosc: consumatorii (debite, presiuni), cotele topografice ale traseului, geografia terenului (traversari de drumuri, cai ferate, cursuri de apa, vai etc.), variatia temperaturii de-a lungul traseului ca medie multianuala, conditiile climatice, gradul de agresivitate al solului in vederea dimensionarii protectiei catodice, parametrii regimului de transport etc.

de verificare a unui sistem de transport aflat in functiune in vederea depistarii posibilitatilor de marire a capacitatii de transport.

1.2. Calculul hidraulic al conductelor cu metoda analitica

Calculul hidraulic al conductelor are ca scop determinarea simultana a presiunii de pompare si a diametrului interior al conductei. Cunoasterea presiunii initiale este necesara pentru dimensionarea statiilor de pompare, in calculul de rezistenta al conductei si pentru evaluarea investitiilor.

Calculul hidraulic are la baza ecuatia fundamentala a miscarii fluidelor reale prin tuburi de curent.

Pentru stabilirea relatiilor de calcul se alege o conducta de lungime L, diametru interior d care urmeaza sa transporte de la statia de pompare 1 la beneficiarul 2 un debit de lichid Q la presiunea p₂ (figura 1.1).

Fig. 1.1. Elementele hidraulice ale unei conducte

Ecuatia fundamentala de curgere (ecuatia lui Bernoulli) scrisa in metri coloana lichid, in cele doua sectiuni vii de curgere 1 si 2, are expresia

(1.2)

in care z reprezinta cote, p - presiuni in axul conductei, v - viteze medii de curgere, iar h_fr pierderile prin frecare intre cele doua sectiuni

(1.3)

reprezinta sarcina hidraulica intr-un punct, celelalte notatii din figura 1.1 avand urmatoarele semnificatii:

L.S. - linia de sarcina - valoarea maxima a sarcinii disponibile intr-un sistem;

L.P. - linia piezometrica (energetica fiindca se neglijeaza av²/2g) - linia de-a lungul careia presiunea este egala cu presiunea atmosferica; diferenta dintre L.S. si L.P. reprezinta distributia pierderilor de sarcina;

L.Poz. - linia de pozitie - in aceasta situatie se identifica cu axul conductei;

L.R. - linia (planul) de referinta; prin conventie pentru tara noastra ea este nivelul Marii Negre, iar pentru Europa nivelul Marii Baltice;

i - panta liniei piezometrice denumita panta hidraulica;

b - panta geometrica a conductei.

Pierderile de sarcina prin frecare se compun din pierderi proportionale cu lungimea (h_l) si pierderi locale (h_x). Asa cum s-a stabilit anterior, pentru conducte magistrale pierderile locale se neglijeaza astfel incat

(1.4)

conform relatiei Darcy - Weissbach.

In aceasta situatie ecuatia (1.2) se retranscrie astfel

(1.5)

Stiind ca viteza medie are valoarea

(1.6)

ecuatia (1.5) devine

(1.7)

Impartind la lungime [presiunea p₁ se va exprima acum in (Pa/m col.lichid)/m lungime de conducta] rezulta

(1.8)

in care

(1.9)

si

(1.10)

Pentru conducte orizontale b = 0, ecuatia (1.2) reducandu-se la

(1.11)

iar daca miscarea prin conducta este permanenta (i = b

(1.12)

Rezolvarea ecuatiilor de mai sus necesita determinarea rezistentelor hidraulice.

Primele experiente pentru evaluarea domeniilor de existenta a regimului de miscare prin conducte au fost realizate de Nikuradze alegand, pentru a obtine un set de valori ale numarului Reynolds (rvd/m), conducte cu diametre diferite, fluide cu proprietati diferite si debite diferite, dar si rugozitati artificiale diferite prin folosirea adeziva a unor particule de nisip de dimensiuni diferite. Prin organizarea datelor experimentale a reiesit diagrama ce ii poarta numele, redata in figura 1.2.

Fig. 1.2. Diagrama Nicuradze

1.3. Rezistente hidraulice

1.3.1. Rezistentele proportionale cu lungimea

Miscarea laminara in conducte de sectiune circulara

In cartile de hidraulica s-a dedus ca repartitia vitezei intr-o sectiune vie de curgere a conductei depinde de regimul de curgere. Acesta se defineste prin numarul Reynolds, ca raport intre fortele de inertie si cele de frecare, avand, dimensional expresia

(1.13)

In cazul in care sectiunea vie de curgere are o alta forma, viteza medie se va obtine impartind debitul la aria acestei sectiuni, iar numarul Reynolds se defineste, cu ajutorul razei hidraulice

(1.14)

in care A este aria sectiunii vii de curgere, iar P - perimetrul udat de lichid.

Repartitia vitezei in sectiunea transversala are expresia

(1.15)

in care r este raza conductei cu valoarea zero in axul acesteia.

Se deduc usor, urmatorii parametri:

valoarea maxima a vitezei

(1.16)

a debitului (din formula Hagen - Poiseuille)

(1.17)

viteza medie

(1.18)

egala cu jumatate din viteza maxima.

Din relatia (1.17) rezulta caderea de presiune

(1.19)

Efortul tangential are expresia

(1.20)

din care rezulta ca in ax t = 0, iar la peretele conductei, are valoarea maxima

(1.21)

Daca se apeleaza la formula

, (1.22)

egala cu cea anterioara, rezulta

(2.23)

Miscarea turbulenta in conducte de sectiune circulara

Curgerea turbulenta, pusa in evidenta mai intai de G. Hagen (1839) si apoi de O. Reynolds (1883) cu ocazia studierii curgerii prin conducte circulare, se caracterizeaza din punct de vedere fizic printr-o miscare haotica a particulelor a caror traiectorie nu poate fi stabilita pe cale riguros stiintifica.

Reprezentand pe o diagrama logaritmica variatia gradientului de presiune () functie de viteza medie de curgere a lichidului printr-o conducta circulara, figura 1.3., reiese ca la viteze mici curgerea este laminara si gradientul de presiune este direct proportional cu viteza medie de curgere (in concordanta cu legea Hagen-Poiseuille). Cu cresterea vitezei, trecerea de la curgerea laminara la curgerea turbulenta este caracterizata printr-o crestere abrupta a gradientului de presiune. Pentru curgere turbulenta gradientul de presiune este proportional cu nⁿ in care exponentul n variaza intre 1,75 si 2,00. Cresterea pierderii de energie cinetica se datoreaza, in principal, amestecului de particule fluide in timpul miscarii, dintr-un strat in altul, insotite de un transport de cantitati de miscare. Ca rezultat al acestui fenomen, distributia de viteza intr-o miscare turbulenta este mai uniforma in partea centrala decat cea existenta in curgerea laminara. Rezulta, de asemenea, ca valoarea vitezei in apropiere de peretele conductei este mai mare in miscare turbulenta decat in cea laminara.

Pentru determinarea pierderilor de energie in curgerea turbulenta este necesara, ca si la curgerea laminara, stabilirea unor relatii pentru calculul vitezei de curgere si a tensiunilor tangentiale.

J. Boussinesq (1877) a definit tensiunea tangentiala pentru curgerea turbulenta, prin analogie cu legea lui Newton a vascozitatii, astfel:

(1.24)

in care , numit si vascozitate aparenta, nu este o proprietate a fluidului ci o functie de turbulenta.

Atunci tensiunea tangentiala pentru o curgere turbulenta va fi data de relatia completa

(1.25)

care include efectul combinat al vascozitatii si al turbulentei. In curgerea turbulenta valoarea numerica a lui poate fi de cateva mii de ori mai mare decat al lui m, primul termen neglijandu-se.

Cautand sa se gaseasca o relatie intre vascozitatea aparenta si viteza turbulenta, Prandtl, introducand teoria lungimii de amestec, ajunge la relatia

(1.26)

in care l este o functie spatiala ce urmeaza a fi determinata experimental, punandu-se sub forma

l = kz (1.27)

unde constanta universala k a fost determinata de Nikuradse care a gasit valoarea 0,4 aproximativ.

Fig. 1.3. Variatia gradientului de presiune cu viteza medie de curgere a fluidului printr-o conducta

Astfel factorul η, prin combinarea ecuatiilor (1.24) cu (1.26), capata forma

, (1.28)

iar tensiunea tangentiala are expresia

(1.29)

Deoarece viteza de curgere a fluidului la peretele conductei este zero, iar foarte aproape de el este foarte mica, langa perete nu poate exista curgere turbulenta din cauza inexistentei componentelor perpendiculare sau oblice ale vitezei in aceasta zona. De aceea, langa perete exista un strat laminar, foarte subtire (cateva miimi de cm), in care tensiunea tangentiala se datoreaza numai vascozitatii. La o oarecare distanta de perete efectul vascozitatii. La o oarecare distanta de perete efectul vascozitatii devine neglijabil in raport cu efectul vascozitatii aparente, al turbulentei.

Tinand cont de faptul ca stratul laminar este foarte subtire

Prandtl a presupus ca t t , iar conform celor de mai sus , astfel incat din relatia (1.29) rezulta:

,

si mai departe:

Pentru evaluarea constantei C se pune conditia:

z = r₀, u = u_max

Inlocuind pe z, prin r₀ - r, ecuatia de mai sus devine

(1.30)

Cu toate ca relatia (1.30) a fost dedusa numai pentru zona din imediata apropiere a peretelui conductei, rezultatele practice au dovedit valabilitatea ei pe intreaga sectiune vie de curgere.

Viteza medie de curgere va avea expresia:

Facand apel la valoarea din relatia (1.30), se ajunge la relatia intre coeficientul de pierdere de sarcina si viteza medie:

valabila atat pentru conducte netede cat si pentru cele rugoase.

Nikuradze recomanda urmatoarea ecuatie pentru determinarea profilului vitezei:

(2.32)

unde n = 1/7 pentru Re 10⁵ si n = 1/8 pentru Re

Din punct de vedere hidraulic, o conducta neteda este conducta la care asperitatile ei, e, nu depasesc inaltimea stratului limita d. Cum grosimea stratului laminar scade cu cresterea numarului Re, inseamna ca aceeasi conducta poate fi neteda sau rugoasa la numere Re mici si respectiv mari.

Printr-o serie de experiente efectuate cu conducte cu diferite diametre si rugozitati relative (raportul dintre inaltimea asperitatilor si diametrul interior al conductei). J. Nikuradze, E. Moody si altii au ajuns la concluzia ca pierderile de energie depind nu numai de valoarea numarului Re, dar si de marimea rugozitatilor si a distributiei lor in spatiu, adica:

(1.33)

Aceasta diagrama a fost impartita, de catre autorul ei, in 4 (patru) domenii (figura 1.2). Explicitarea acesteia este reluata in figura 1.4.

Domeniul I, este domeniul laminar de miscare (figura 1.4.I.) in care d > e, arata o variatie liniara intre viteza si gradientul de presiune. Datorita vitezelor reduse, tubul de curent care asigura miscarea are ca limite pe directia razei, axul conductei si grosimea stratului limita laminar (d), astfel incat curgerea 'nu simte' asperitatile a caror inaltime absoluta este e; deci in acest domeniu care se extinde la valori Re 0 - 2 300, valoarea rezistentelor hidraulice depinde numai de numarul Re, iar valoarea rezistentei hidraulice determinata de Stokes, are valoarea, dedusa analitic (demonstrata anterior)

(1.34)

Pentru valorile Re cuprinse intre 2 300 si 3 000 corelatiile l = f(Re) sunt neconcludente astfel incat aceasta zona, reprezentata in diagrama 1.2., a fost denumita zona de tranzitie, neinterpretabila.

Domeniul II (figura 1.4.II) corespunde regimului turbulent (deja numarul Re depaseste 3 000), denumita zona conductelor netede. In aceasta zona viteza medie de curgere a ajuns la acele valori la care inaltimea stratului limita laminar este de acelasi ordin de marime cu inaltimea asperitatilor, deci coeficientul de rezistenta hidraulica inca nu depinde de rugozitate, astfel incat Blasius a stabilit experimental urmatoarea relatie:

(1.35)

Domeniul III, domeniul miscarii turbulente relative (figura 2.4.III), domeniul denumit conducte mixte, este domeniul in care d < e, astfel incat coeficientul de rezistenta hidraulica depinde atat de regimul de curgere (Re) cat si de rugozitatea relativa (e / d

Din multiplele relatii de calcul avansate in literatura de specialitate, recomandam folosirea formulei Colebrook si White

(1.36)

care poate fi aplicata pentru orice regim de curgere turbulent (Re > 3000);

Domeniul IV, domeniul turbulentei absolute (figura 1.4.IV) corespunde unor viteze medii de curgere foarte mari astfel incat d 0, iar conducta se numeste rugoasa; deoarece rezistentele hidraulice depind numai de rugozitate, pentru calculul acestora recomandam relatia Nicuradze

(1.37)

Diagrama Nicuradze poate fi folosita numai calitativ, asa cum s-a aratat anterior; pentru un regim de curgere determinat si pentru o rugozitate relativa cunoscuta, din diagrama 1.2. se poate stabili domeniul de existenta al miscarii (in acest caz este vorba de conducte mixte) astfel incat pentru calculul coeficientului de rezistenta hidraulica se va apela la o relatie de tipul l = (Re, e /d

Deoarece ultimele relatii sunt implicite, pentru evaluarea coeficientilor de rezistenta hidraulica l, au fost construite diagrame de corelatii. Prima diagrama (figura 1.5) construita de catre Moody prin experimente, se foloseste atunci cand se cunoaste debitul.

Pentru evaluarea rugozitatilor relative, pentru diferite materiale, de altfel avansate de catre producatori, sunt redate in diagrama construita de Al. Soare (figura 1.6).

Fig. 1.4. Evidentierea regimurilor de curgere cu ajutorul profilelor de viteza

Fig. 1.5. Variatia coeficientului de rezistenta hidraulica cu numarul Reynolds

Fig. 1.6. Variatia coeficientului de rezistenta hidraulica cu numarul Reynolds

Fig. 1.7. Variatia rugozitatii relative a conductelor cu diametrul acestora

1.3.2. Rezistente locale

Asa cum s-a aratat anterior, rezistentele locale trebuie luate in considerare in calculul conductelor de mica lungime si a celor scurte.

Ele reprezinta pierderi hidraulice pe spatii restranse create de elementele de legatura (coturi, teuri), de elemente de reglare (vane, robineti) si aparate de masura si control (diafragme etc).

Pentru un singur element, pierderile locale de energie pot fi exprimate prin relatia

(1.38)

Daca de-a lungul unei conducte exista n astfel de elemente, caderea totala de presiune locala se poate calcula cu formula

(1.39)

Daca s-ar dori echivalarea acestor pierderi cu aceea corespunzatoare unor pierderi longitudinale ar rezulta

(1.40)

cu

(1.41)

adica

(1.42)

ceea ce inseamna ca lungimea echivalenta corespunzatoare pierderilor locale este un multiplu sau un submultiplu al diametrului. In astfel de situatii lungimea conductei luata in calculul hidraulic va avea valoarea

L_c = L + L_e (1.43)

Trebuie sa se retina faptul ca toti coeficientii pierderilor locale depind de caracteristicile geometrice ale elementului care produce rezistenta locala, de numarul Reynolds, de rugozitate etc.

1.4. Calculul hidraulic al conductelor complexe

Conductele complexe sunt conductele la care panta hidraulica variaza ca urmare a schimbarii sectiunii de curgere, a debitului sau ambilor parametri.

In continuare se vor examina cateva tipuri de conducte complexe la care cel putin una din conditiile de mai sus sunt indeplinite.

1.4.1. Conducte montate in serie (figura 1.15):

Fig. 1.15. Schema de calcul pentru conducta montata in serie

Aceste conducte sunt formate dintr-un singur fir de tevi dar de lungimi si diametre interioare diferite, debitul ce urmeaza a fi transportat avand valoarea Q.

Conditiile de calcul sunt urmatoarele:

Conservarea debitului

Q = Q₁ = Q₂ =..= Q_n (1.44)

Conservarea energiei

h_L = h_L1 + h_L2 +..+ h_Ln (1.45)

Caderea de presiune de-a lungul intregului sistem va fi egala cu suma caderilor de presiune pe fiecare tronson in parte, adica

Adunand ecuatiile de mai sus

(1.46)

rezulta urmatoarele:

caderea de presiune de-a lungul intregului sistem nu depinde de cotele intermediare ci numai de cele ale extremitatilor;

in formula de calcul exista trei necunoscute, in cazul cel mai general, diametrul interior, regimul de curgere si presiunea initiala. Algoritmul de calcul este acelasi redat in subcapitolul 1.6. Daca se alege diametrul problema determinarii presiunii p₁ se rezolva de la sine.

Cand caderea de presiune se cunoaste se poate determina debitul care poate fi transportat, cu formula

(1.47)

Pentru rezolvarea acestei ecuatii se alege un regim de curgere si se determina Q; cu aceasta valoare se calculeaza regimul de curgere si se compara cu cel ales (ele trebuie sa corespunda). Pentru fluide vascoase se alege regim turbulent de curgere iar pentru lichide mai putin vascoase se va alege regimul conductelor netede.

1.4.2. Conducte montate in paralel

Conductele montate in paralel (in derivatie) au lungimi si diametre diferite si au in comun punctele 1 si 2 (figura 1.16).

Conditiile de proiectare sunt

Q = q₁ + q₂ +.+ q_n (1.48)

si

h_L = h_L1 = h_L2 =.= h_Ln (1.49)

Fig. 1.16. Schema de calcul a unui sistem de conducte montate in paralel

Pentru stabilirea caderii de presiune intre cele doua puncte, tinand cont de faptul ca a aparut o noua necunoscuta, q_i, debitul distribuit pe fiecare derivatie cu diametrele d_i, trebuie sa se scrie expresia caderilor de presiune pe fiecare ramura in parte

din care se expliciteaza expresiile pentru debitele partiale

Conform ecuatiei (1.48)

sau

(1.50)

obtinandu-se

. (1.51)

Cea mai simpla solutie a problemei se obtine numai in situatia in care in fiecare conducta regimul de miscare este turbulent si conducta este rugoasa. In acest caz coeficientii de rezistenta hidraulica depind numai de rugozitatea relativa a carei valoare se cunoaste. Daca debitul total Q se cunoaste, ca si valoarea lui p₂, fiecare derivatie avand aceeasi lungime si acelasi diametru, calculul hidraulic se simplifica, de asemenea, deoarece regimul de curgere pe fiecare ramura este acelasi. Altfel relatia (1.51) se rezolva prin incercari.

1.4.3. Conducte colectoare

Conductele colectoare sunt conducte cu ramificatii care colecteaza fluidele din mai multe surse (de exemplu parcurile de separare din schelele de productie petroliera), colectorul principal fiind de fapt un sistem de conducte montate in serie doar ca pe fiecare tronson variaza nu numai lungimile si diametrele interioare, dar si debitele (figura 1.17).

Fig. 1.17. Schema de calcul al unui colector

Este evident ca

Caderea totala de presiune de-a lungul colectorului va fi egala cu suma caderilor de presiune pe fiecare tronson

adica

(1.52)

Se disting doua situatii :

colector cu diametru constant atunci cand lungimea acestuia ca si debitele au valori relativ mici, caderea de presiune reducandu-se la

(1.53)

colector cu diametru variabil (crescator): din relatia (1.52) rezulta ca diametrul tronsonului i se poate calcula cu relatia

(1.54)

Caderea de presiune pe tronsonul i poate fi dedusa din relatia de proportionalitate

astfel incat daca se cunoaste presiunea la beneficiar, cotele in punctele de colectare, debitele si lungimile, prin alegerea diametrului rezulta ca presiunea in orice nod i se poate deduce cu relatia

1.4.4. Conducte distribuitoare

Astfel de conducte se folosesc in distributia fluidelor (produse petroliere, gaze naturale, apa) diametrele, de aceasta data fiind des-crescatoare.

In figura 1.17, singurul lucru care se schimba fiind sensul sagetilor, rezulta

Cu aceste modificari, relatiile de calcul sunt aceleasi ca cele de la conductele colectoare.

1.4.5. Conducte buclate

Astfel de conducte se folosesc in sistemele urbane si pe platforme industriale de transport apa sau gaze, din necesitatea alimentarii unui consumator prin mai multe trasee (figura 1.18).

Fig. 1.18. Retele buclate de distributie

Cu toate ca este greu de stabilit traseul apei din punctul A de alimentare in punctul G, curgerea in orice retea de distributie trebuie sa satisfaca ecuatia de continuitate si cea energetica, adica

I - cantitatea de fluid care intra intr-un nod trebuie sa fie egala cu cantitatea de fluid care iese din el;

II - curgerea pe fiecare conducta trebuie sa satisfaca ecuatia energetica;

III - suma algebrica a pierderilor de sarcina in jurul oricarui circuit inchis trebuie sa fie zero.

Deoarece calculul hidraulic al conductelor buclate este prea complicat pentru a putea fi rezolvat analitic se va prezenta in continuare o metoda practica, de aproximari succesive (metoda H. Cross):

se presupune o distributie initiala de debite care sa satisfaca ecuatia de continuitate (I);

se scrie conditia II pentru fiecare conducta, sub forma

(1.57)

Pentru curgerea laminara exponentul n = 1, iar modulul de debit

(1.58)

Pentru miscarea turbulenta, conducte netede, n = 2, iar

(1.59)

se scrie conditia III sub forma

(1.60)

alegand semnul plus sensul acelor de ceasornic.

daca suma de mai sus nu rezulta egala cu zero, distributia de fluide aleasa la punctul a) - distributia initiala - se modifica debitul cu un DQ

Q₁ = Q + DQ

astfel incat pentru fiecare conducta

Daca DQ ales, pentru toate conductele, este mic in raport cu Q, din dezvoltarea in serie se pot retine numai primii doi termeni, si rezulta

de unde

(1.61)

daca dupa ce fiecarui circuit i s-a dat o prima corectie suma pierderilor nu va fi totusi zero datorita interactiunii circuitelor (o conducta face parte din doua bucle diferite si primeste corectii diferite) iteratia se repeta pana cand corectiile devin neglijabile.

1.5. Marirea capacitatii de transport a conductelor

Cea de a doua problema care se pune in calculul conductelor de transport fluide, aceea de verificare, se refera la studierea posibilitatilor de marire a capacitatii (a debitului) unei conducte deja aflata in functiune.

Evidentierea acestor posibilitati o ofera insasi ecuatia generala de curgere

Acestea sunt, in ordinea aparitiei in ecuatie: cresterea presiunii de pompare (p₁), reducerea rezistentelor hidraulice (l) si schimbarea pantei hidraulice prin cresterea sectiunii de curgere.

In ordinea uzantei, pentru toate tipurile de lichide, acestea sunt descrise mai jos.

1.5.1. Schimbarea pantei hidraulice

Schimbarea pantei hidraulice se poate realiza prin montarea unei intercalatii sau prin montarea unei derivatii.

Montarea unei intercalatii

Caderea de presiune de-a lungul unei conducte (figura 1.19.a.), de lungime L, diametru interior d care transporta un debit Q este

(1.62)