CINEMATICA PUNCTULUI

Cunoscand ecuatiile de miscare x = x₀ cos2t, y = y₀ sin2t, sa se determine traiectoria, viteza, hodograful vitezei si acceleratia mobilului.

R. a) Eliminand timpul t intre cele doua ecuatii parametrice; se determina ecuatia

.

Traiectoria este deci o elipsa, de semiaxe x₀ si y₀.(fig.1a).

b) Viteza va avea componentele

, .

Modulul vitezei este .

Vitezele punctului in pozitiile A, B, C si D sunt urmatoarele

v_A = 2y₀, v_B = -2 x₀, v_C = -2 y₀, v_D = 2 x₀.

c) Hodograful vitezei. Ecuatiile parametrice ale hodografului vitezei sunt:

, .

Eliminand parametrul t intre aceste ecuatii, rezulta ecuatia hodografului vitezei, care reprezinta o elipsa (fig.1b).

Fig.1a Fig.1b

d) Acceleratia are urmatoarele componente:

, .

si modulul

.

Acceleratiile in punctele A, B, C si D sunt urmatoarele

.

Un punct material porneste din repaus si executa o miscare rectilinie. Stiind ca acceleratia sa este data de γ = sin, sa se determine:

a)      ecuatiile de miscare

b)      viteza maxima si viteza medie in intervalul (0, 2T)

c)      viteza si spatiul parcurs dupa 2T secunde.

R. Ecuatia diferentiala a miscarii mobilului este , din care rezulta prin integrare:

, .

Constantele de integrare C₁, C₂ se determina din conditiile initiale ale miscarii: t = 0, x = 0,

v = 0; rezulta , C₂ = 0.

a) Ecuatiile de miscare se scriu , .

b) Viteza maxima corespunde momentului in care se anuleaza acceleratia. Din a = 0, se obtine t = 0, t = T. La momentul initial t = 0, viteza este nula iar la t = T viteza devine maxima .

Viteza medie pe intervalul de timp (0, 2T) este .

c) In momentul t = 2T viteza va fi v₁ = 0, iar spatiul parcurs .

Se cunosc ecuatiile de miscare ale unui mobil sub forma parametrica:

x = 1 - e^-t, .

Sa se afle ecuatia traiectoriei, viteza, hodograful vitezei, acceleratia in momentele t = 0 si t = 1s.

R. Eliminand parametrul t intre cele doua ecuatii, se obtine ecuatia carteziana a traiectoriei sub urmatoarea forma: . Componentele vitezei sunt

,

iar componentele acceleratiei .

In momentul initial viteza si acceleratia au marimile ,

iar la t = 1s, au aceeasi valoare numerica: .

Ecuatiile hodografului vitezei sunt , de unde rezulta .

Cunoscand ecuatiile de miscare ale unui punct M in coordonate polare

r = 2 r₀ cospt, q = pt,

sa se determine traiectoria, viteza si acceleratia mobilului.

R. Eliminand parametrul t intre cele doua ecuatii, se obtine r = 2r₀ cosq

Viteza are componentele

- 2r₀ p sinpt, 2r₀ p cospt

si modulul 2r₀ p.

Componentele acceleratiei sunt

, .

Marimea acceleratiei punctului M este 4r₀ p².

Un disc de raza R se rostogoleste fara alunecare pe un plan orizontal. Sa se studieze miscarea unui punct de pe periferia discului stiind ca centrul sau se deplaseaza uniform cu viteza constanta v₀ (fig.5).

Fig.5

R. Deoarece discul executa rostogolire fara alunecare, putem scrie relatia

OI = arc= Rq

Coordonatele punctului M in functie de unghiul q exprima ecuatiile parametrice ale cicloidei

x = Rq - Rsinq = R(q - sinq ), y = R - Rcosq = R(1 - cosq

Din relatiile OI = v₀t= arc= Rq. rezulta . Inlocuind unghiul q, ecuatiile de mai sus devin , .

Componentele vitezei si acceleratiei sunt

,

,

de unde deducem si modulele .

Observatii

a) Deoarece IM = 2R, viteza se poate scrie sub forma .

b) Vectorul v_M este perpendicular pe vectorul . Intr-adevar, din expresiile

,

rezulta .

c) In ce priveste viteza, punctul M se comporta ca si cand s-ar roti uniform cu viteza unghiulara in jurul lui I.

d) Acceleratia punctului M se mai poate scrie sub forma .

e) Vectorul este coliniar cu vectorul . In ce priveste acceleratia, punctul M se comporta ca si cum s-ar roti cu viteza unghiulara constanta in jurul lui C.

Fie ecuatiile de miscare ale unui punct M in coordonate polare r = bt, . Sa se determine traiectoria, viteza si acceleratia punctului.

R. Traiectoria se obtine eliminand parametrul t intre cele doua ecuatii; rezulta ecuatia unei spirale hiperbolice .

Viteza are componentele , directia si intensitatea .

Acceleratia are componentele

,

modulul si directia date de relatiile .

Un punct descrie un cerc de raza R intr-o miscare uniform accelerata (fig.7). Stiind ca acceleratia tangentiala este si ca la momentul initial mobilul are viteza v_0, sa se determine:

dupa cat timp unghiul dintre viteza si acceleratie devine a

unghiul la centrul q descris de raza

viteza si acceleratia mobilului in acest punct.

R. Miscarea fiind uniform accelerata, acceleratia tangentiala constanta este orientata in sensul vitezei.

Integrand ecuatia si tinand seama de conditiile initiale t = 0, v = v₀, a = 0, rezulta , .

Unghiul a intre viteza si acceleratie este dat de relatia .

Un mobil este lansat orizontal cu viteza initiala v₀ de la inaltimea h. Sa se determine:

traiectoria mobilului

viteza cu care atinge solul

unghiul de atac al mobilului

pozitia punctului lovit (fig.8).

Fig.8

R. Acceleratia punctului este egala cu acceleratia gravitationala, de unde rezulta ecuatiile diferentiale cu integralele urmatoare

, .

Cu conditiile initiale: t = 0, x = 0, y = h,, se determina constantele

.

Eliminand timpul t intre primele doua ecuatii parametrice , , se obtine ecuatia traiectoriei, adica o parabola simetrica fata de Oy.

In A mobilul are abscisa egala cu bataia . Stiind timpul de coborare in A, se determina imediat componentele vitezei , intensitatea si unghiul de atac din relatia .

O bara rectilinie OA se roteste in jurul extremitatii fixe O cu viteza unghiulara constanta. De-a lungul barei aluneca o piesa cu viteza v. Sa se determine ecuatia traiectoriei, viteza absoluta, acceleratia absoluta, viteza relativa si acceleratia relativa a piesei, daca viteza este: a) constanta si egala cu; b) proportionala cu distanta mobilului la axa de rotatie. La momentul initial t = 0 bara este orizontala, iar piesa se afla la distantade capatul barei (fig.9).

R. a) In sistemul coordonatelor polare viteza absoluta a piesei are componentele

.

Fig.9

Din aceste ecuatii rezulta . Conditiile initiale dau constantele de integrare . Din ecuatiile parametrice se deduce ecuatia polara a traiectoriei, adica spirala lui Arhimede.

Componentele vitezei in coordonate polare

furnizeaza modulul.

Acceleratia va avea componentele

,

si intensitatea .

In timpul miscarii relative pe bara, punctul are viteza si acceleratia .

b) Daca piesa are o viteza relativa care este proportionala cu distanta mobilului la axa de rotatie, atunci putem scrie , de unde rezulta .

Introducand apoi constanta de integrare , se obtine solutia ecuatiei . Pe de alta parte, din rezulta . Eliminand timpul intre cele doua ecuatii parametrice, deducem ecuatia polara a traiectoriei , adica o spirala logaritmica.

Componentele vitezei si acceleratiei absolute sunt date de relatiile

,

de unde se deduc imediat urmatoarele intensitati

.

Viteza si acceleratia relativa au expresiile

, .