CINEMATICA SOLIDULUI

Un corp este ridicat cu ajutorul unui troliu la inaltimea h dupa legea . In timpul ridicarii corpului cablul se infasoara pe o toba de raza r. Sa se determine timpul in care corpul se ridica la inaltimea h ( fig.1. ) .

Acceleratia punctului M are componentele si modulul date de relatiile

,

.

Din relatia y = h, rezulta timpul de urcare .

Se considera sistemul de corpuri (fig.2). Transmisia miscarii are loc prin intermediul unor fire inextensibile. Cunoscand viteza si acceleratia ale primului corp, sa se determine vitezele si acceleratiile caracteristice ale celorlalte corpuri.

R. Miscarea de rotatie a corpului 2 este caracterizata de viteza unghiulara si de acceleratia unghiulara. Pornind de la relatiile , se obtine

Fig.2

.

Egaland viteza punctului cu viteza punctului B de pe celalalt troliu, rezulta mai intai

,

iar apoi viteza unghiulara si acceleratia unghiulara a troliului 2 :

.

Viteza si acceleratia corpului 4 vor fi :

.

Cunoscand spatiul parcurs de primul corp x₁, se pot calcula deplasarile celorlalte corpuri .

Un disc de raza r, avand viteza initiala , este franat si executa o miscare de rotatie uniform incetinita. Cunoscand acceleratia miscarii , sa se calculeze numarul de rotatii pana la oprire, timpul de miscare al discului si viteza unghiulara la jumatatea intervalului de timp (fig.3).

R. Notand cu q unghiul descris de raza discului, ecuatia diferentiala a miscarii este

, din care se deduce prin integrare

, .

Unghiul total descris si numarul de rotatii pana la oprire sunt

, .

Viteza unghiulara a discului la mijlocul intervalului de timp este jumatate din viteza unghiulara initiala

In acest moment se calculeaza viteza si acceleratia unui punct de pe periferia discului

.

. Un solid aflat in miscare elicoidala are vectorii caracteristici si cunoscuti. Sa se arate ca locul geometric al punctelor de viteza egala cu kv₀ este un cilindru, in care k este o constanta supraunitara (fig.4).

R Viteza unui punct M al solidului se calculeaza cu formula

Observatii

a)      Daca k = 1, locul geometric al punctelor de viteza v₀ este axa de rototranslatie.

b)      Pentru k > 1 exista un singur cilindru al punctelor solidului pentru care vitezele sunt egale cu kv₀.

Un disc de raza r se roteste in jurul axei sale dupa legea. Sa se determine viteza si acceleratia unui punct de pe circumferinta.

R. Viteza punctului este . Componentele acceleratiei punctului sunt:

, ,

de unde se obtine .

Cazuri particulare :

t ,

t =1 s

. . Punctul tinde asimptotic spre starea de repaus, deoarece .

Se cunosc vitezele a doua puncte A, B: si intensitatea a vitezei unui alt punct C ale unui paralelipiped de laturi . Sa se determine viteza unghiulara si axa instantanee a miscarii elicoidale (fig. 6).

R. Fie proiectiile vectoruluipe axele Oxyz ale paralelipipedul.

Intre vitezele celor doua puncte A si B exista relatia , care devine

= .

Procedand asemanator se poate calcula viteza punctului C:

=

= .

Fig. 6

Din expresiile analitice

, ,

rezulta ecuatiile

,

.

Rezolvand acest sistem de ecuatii, deducem cele patru necunoscute

,

care pot defini vectorul viteza unghiulara: . Ecuatiile axei instantanee a miscarii elicoidale

devin .

Viteza unui punct oarecare M de pe axa instantanee a miscarii elicoidale este data de relatia

.

Acelasi rezultat, se obtine daca se calculeaza viteza minima

Deoarece , iar , rezulta ca paralelipipedul are o distributie de viteza caracteristica unei miscari instantanee de rotatie.