MODELAREA FIABILIATII ELEMENTELOR FARA RESTABILIRE

MODELAREA FIABILIATII ELEMENTELOR FARA RESTABILIRE

1. Fiabilitatea elementelor fara restabilire Descrierea matematica a fiabilitatii unui sistem poate fi situata la

nivel global, ignorand structura sistemului, sau la nivel structural, luand in considerare elementele sistemului si relatiile dintre ele. In ambele cazuri se face apel la teoria probabilitatilor. In cele ce urmeaza ne vom ocupa de descrierea globala a fiabilitatii elementelor fara restabilire (nereparabile), pentru care este suficient sa se ia in consideratie durata scursa de la punerea in functiune pana la defectarea sistemului, durata care este o variabila aleatoare continua. Caracteristicile probabilistice ale acestei variabile vor reprezenta indicatori de fiabilitate ai sistemului. Fie T durata de functionare pana la defectare a unui sistem si F(t) functia sa de repartitie: F(t)=P[T=<t] care reprezinta deci probabilitatea de defectare in intervalul de timp (0,t). Functia de repartitie complementara: R(t)=1-F(t)=P[T>t] se numeste functie de fiabilitate si reprezinta probabilitatea ca sistemul    sa functioneze in intervalul (0,t).De remarcat ca atat functia de repartitie F(t) cat si cea de fiabilitate R(t) se refera la evenimente care se petrec sau nu in intervalul de timp (0,t) si nu la momentul t. Ele ar fi trebuit fi scrise explicit F(0,t) si R(0,t), notatie la care renuntam pentru simplitate. Pentru un interval dat (t,t+), care desemneaza o misiune de durata n initializata la momentul t, probabilitatea de defectare este:

P[t=T<t+]=F(t+t)-F(t) probabilitate care nu are o semnificatie fizica deoarece nu stim in ce stare se afla elementul pana la momentul t. In realitate sistemul se poate defecta in intervalul (t,t+) numai daca nu s-a defectat pana la momentul t, deci este o probabilitate conditionata de buna functionare pana la acel moment:

iar probabilitatea de buna functionare pe durata misiunii este

conditionata tot de buna functionare pana la momentul t, deci:Comportarea locala, la un moment dat, este descrisa cu ajutorul densitatii de probabilitate a variabilei aleatoare: care da si legea de repartitie a variabilei aleatoare 'timp de functionare pana la defectarea sistemului'. Pentru a descrie pericolul de defectare la un moment dat al unui

sistem aflat in buna stare pana la acel moment, se defineste un alt indicator, care se numeste intensitatea defectarii (sau rata defectarii), prin probabilitatea conditionata : Din relatia rezulta prin integrare Se defineste intensitatea cumulata a defectarii. Este suficient sa se cunoasca unul din acesti indicatori ((t), f(t), F(t), R(t)) pentru a putea fi dedusi ceilalti (vezi tabelul 1). Functiile mai sus mentionate sunt reprezentate grafic in figura 1.In afara functiilor enumerate, care descriu evolutia elementului (sistemului) pana la defectare, fiabilitatea acestuia poate fi descrisa si prin caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare 'timp de functionare fara defectiuni'. Aceste caracteristici sunt media, dispersia, abaterea medie patratica si cuantila timpului de functionare fara defectiuni. Timpul mediu de functionare fara defectiuni, T (sau MTBF), este, prin definitiecu conditia ca , conditie indeplinita in majoritatea cazurilor. Dispersia si abaterea medie patratica sunt definite prin: si respectiv . Marimile D[T] si s indica gradul de uniformitate a performantelor individuale ale unor sisteme de acelasi tip din punct de vedere al fiabilitatii. Daca procesul tehnologic de realizare a sistemului este bine controlat, valorile acestor indicatori vor fi mici. Un ultim indicator de fiabilitate, independent de timp, este

cuantila timpului de functionare fara defectiuni (ta), definita prin ecuatia F(ta)=a. O posibila interpretare a cuantilei este aceea de timp de garantie, adica timp in care proportia elementelor defectate intr-o anumita colectivitate nu depaseste valoarea prestabilita a. In legatura cu indicatorii de fiabilitate ai unui element nereparabil se pun urmatoarele probleme: - indicatorii sunt legati intre ei prin relatiile prezentate in

tabelul 1, astfel incat unul se poate deduce din ceilalti. In acest caz care indicator este preferat a fi ales?

- este suficient insa sa se caracterizeze fiabilitatea unui produs cu ajutorul unui singur indicator? Alegerea unui anumit indicator de fiabilitate este functie de natura sistemului care urmeaza a fi caracterizat. Pentru un sistem la care durata misiunii este precizata cel mai potrivit indicator este functia de fiabilitate R(t). In cazul unei durate neprecizate a misiunii este preferata intensitatea defectarii deoarece aceasta este mai sensibila la modificarea fiabilitatii intrinseci a sistemului. Intr-adevar, dupa cum rezulta din relatia R(t)=e-.t, variatii mari

ale .(t) pot produce variatii mici ale functiei de fiabilitate. Intre MTBF si .(t) este preferata aceasta din urma deoarece caracterizarea cu ajutorul timpului mediu de functionare fara defectiuni (care are curent valori

mari) poate produce confuzii in perceperea nivelului de fiabilitate atins. In cazurile in care nu se precizeaza durata misiunii sistemului dar se impune un anumit nivel de fiabilitate, cel mai adecvat indicator este

cuantila timpului de functionare fara defectiuni. Indicatorii de fiabilitate sunt uneori contradictorii astfel incat,

mai ales la compararea unor sisteme din punct de vedere al fiabilitatii, trebuie sa se aiba in vedere mai multi indicatori. Pentru exemplificare sa consideram situatia a doua sisteme cu functiile de fiabilitate ca in fig.2.

Timpii medii de buna functionare ai celor doua sisteme pot fi comparabili. Daca duratele misiunilor nu sunt precizate, este preferabil sistemul 1 care , in medie, va avea o comportare mai buna, iar daca durata misiunii este precizata ( de exemplu t=t0) atunci sistemul 2 este net superior. De aici se desprinde totusi faptul ca o caracterizare completa a unui sistem din punct de vedere al fiabilitatii este data de F(t) sau R(t), adica de legea de repartitie a timpului de functionare fara defectiuni. Pentru o mare parte din sisteme, intensitatea defectarilor .(t), care determina functia de fiabilitate R(t), are o evolutie in timp ca in figura 3, in care se deosebesc trei zone: I - perioada de rodaj, in care defectiunile se datoreaza unor cauze ascunse si deficientelor de control de fabricatie; II - perioada de viata utila, in care intensitatea defectarilor se mentine aproximativ constanta;

III - perioada de imbatranire, in care intensitatea defectiunilor creste datorita unor uzuri inevitabile. Perioada de viata utila este in general mult mai mare decat celelalte, ceea ce face ca pentru multe astfel de sisteme sa se considere intensitatea defectiunilor constanta.Functie deci de evolutia . (t) se pot deosebi mai multe categorii de sisteme: - cu intensitatea defectiunilor constanta;

- cu intensitatea defectiunilor monotona crescatoare (IDC), sau descrescatoare (IDD); - cu intensitatea defectiunilor in medie crescatoare (IDMC) sau in medie descrescatoare (IDMD); - cu (t) avand o evolutie oarecare.

2. Elemente cu intensitatea defectiunilor constanta

In aceasta categorie intra majoritatea componentelor electronice active sau pasive. Firmele producatoare furnizeaza odata cu produsul si datele privitoare la intensitatea defectiunilor. Aceasta depinde de conditiile de mediu si de solicitari. Pentru diferitele categorii de elemente sunt definiti coeficienti de solicitare Ks, de exemplu, raportul intre puterea disipata si puterea nominala, raportul intre tensiunea aplicata si cea nominala. Dintre factorii de mediu care influenteaza (t) sunt luati in considerare temperatura, mediul chimic agresiv, umiditatea, socurile, vibratiile etc. De regula se ia in consideratie unul din acesti factori (in majoritatea cazurilor temperatura) si se aplica corectii functie de restul conditiilor de mediu. Intensitatea defectarilor este data fie tabelat, fie sub forma grafica (fig.4), fie sub forma analitica. Un exemplu de astfel de functie care tine seama de influenta temperaturii si a solicitarilor electrice la o serie de componente, are forma: unde este intensitatea de defectare independenta de temperatura, Ai sunt coeficienti care evidentiaza efectul altor solicitari (in total r solicitari), K este constanta lui Boltzman, Ti sunt temperaturile la care se produc cele r solicitari iar Qi sunt energiile de activare ale mecanismelor de defectare corespunzatoare solicitarilor. Valoarea intensitatii obtinuta cu aceasta relatie trebuie corectata functie de mediul de utilizare, de

tehnologia de fabricatie si de modul de control al calitatii in fluxul tehnologic. In Anexa 2 sunt prezentate relatii de calcul pentru intensitatea defectiunilor diferitelor componente electrice si electronice. Deoarece . (t)= =constant, ceilalti indicatori rezulta in consecinta: Rezulta ca in cazul intensitatii constante a defectiunilor, repartitia timpului de functionare fara defectiuni este exponentiala negativa Fig.5 Observatii: 1 - Indicatorii de fiabilitate pot fi definiti si statistic. Daca notam: N(t) numarul de elemente in functiune la momentul t n(t) numarul de elemente defecte la momentul t .n(t,t+.t) numarul de elemente defecte in intervalul (t, t+.t) N(0)=N(t)+n(t) numarul de elemente puse initial in functiune atunci:2 - Deoarece T =1/, rezulta R(T )= =0,37 sau F(T )=0,63, deci timpul mediu de buna functionare poate fi interpretat ca fiind cuantila corespunzatoare lui a=0,63. Intuitiv, daca sunt puse simultan in functiune

100 de produse identice, dupa scurgerea unui timp egal cu timpul mediu de buna functionare mai raman in functiune doar 37 din acestea. 3 - In ce priveste timpul de garantie ta, acesta este cu atat mai mare cu cat intensitatea defectarilor este mai mica. a se mai numeste risc de defectare. Cu cat acesta este mai mic cu atat scade si ta si invers, dar daca cheltuielile de reparare sau inlocuire in perioada de garantie sunt suportate de producatori, lungirea termenului de garantie pe seama cresterii riscului conduce la cheltuieli nejustificat de mari.

CAPITOLUL 6

FIABILITATEA SISTEMELOR FARA RESTABILIRE

6.1. Scheme logice de fiabilitate Un sistem este un ansamblu de elemente componente legate functional intre ele, in scopul punerii in evidenta a unei legi de cauzalitate pe ansamblu. Fiabilitatea unui sistem depinde atat de fiabilitatea elementelor componente cat si de legaturile cauzale stabilite intre acestea, precum si de mediul inconjurator. Daca un element se defecteaza, sistemul este mai mult sau mai putin afectat. Pentru a deduce deci fiabilitatea unui sistem este necesara atat cunoasterea fiabilitatii elementelor componente cat si o reprezentare logica a sistemului din punctul de vedere al fiabilitatii. Cunoscand ca sistemul este format din n elemente in interactiune, fiecaruia ii putem atribui un numar finit de stari, cum ar fi 'element in functiune', 'element defect', 'element in asteptare in buna stare', etc. Reprezentarea logica a sistemului este reprezentarea ansamblului de stari si a legaturilor dintre acestea. Reprezentarea cea mai simpla este sub forma de lista de stari de buna functionare sau de defect, lista cunoscuta sub denumirea de 'tabel de adevar'. Aceasta reprezentare este anevoioasa pentru sisteme mari. Alte reprezentari sunt mai compacte si mai utile din punct de vedere al analizei de fiabilitate. Dintre acestea amintim reprezentarea prin scheme logice de fiabilitate si arborele de defectare. Schema logica de fiabilitate este reprezentarea cea mai naturala deoarece se bazeaza pe schema functionala a sistemului. Ea presupune insa descompunerea sistemului in subansamble independente din punct de vedere al defectiunii. Arborele de defectare reprezinta grafic combinatiile de evenimente care conduc la defectarea sistemului, evenimente organizate pe nivele succesive, nivelul inferior fiind constituit din evenimente a caror probabilitate poate fi dedusa. In cele ce urmeaza ne vom ocupa de schemele logice de fiabilitate. O schema logica de fiabilitate este de tip serie daca defectarea oricarui subansamblu atrage dupa sine defectarea intregului sistem. O astfel de schema se reprezinta, prin analogie cu schemele electrice, ca in figura 6.1. Fig.6.1. Daca asociem elementelor timpii de functionare fara defectiuni T1,T2,,Tn si daca T este timpul de functionare fara defectiuni a sistemului in ansamblu, rezulta: in cazul in care defectarile subansamblelor sunt independente. Deoarece , rezulta deci intensitatea defectarii sistemului este suma intensitatilor de defectare a elementelor componente. Daca elementele sunt fara uzura, deci cu .k=constant, rezulta: Deoarece rezulta .

Se observa ca fiabilitatea sistemului este mai mica decat fiabilitatea oricarui element component, inclusiv decat a celui care are cea mai mare intensitate a defectarilor. In sinteza unor astfel de sisteme este

contraindicata utilizarea unor elemente cu indicatori de fiabilitate mult diferiti intre ei. Daca elementele componente sunt de asa fel incat defectarile nu sunt independente, fiabilitatea sistemului se calculeaza cu

ajutorul formulei de 'inmultire' a probabilitatilor (vezi capitolul 1), fiind necesara cunoasterea probabilitatilor conditionate de defectare a elementelor. O schema logica de fiabilitate este de tip paralel daca defectarea

sistemului este posibila numai daca sunt defecte toate elementele sistemului. Prin analogie cu schemele electrice, o astfel de schema se reprezinta ca in fig.6.2. Sistemul cu schema logica de tip paralel este un

sistem redundant si are fiabilitatea mai mare decat fiabilitatea oricarui element din sistem. Se poate deduce ca un sistem paralel format din elemente fara uzura este un sistem cu IDC. Acest lucru se explica fizic prin faptul ca pe masura ce unele elemente se defecteaza, pericolul de defectare al sistemului in ansamblu creste. Facand aceeasi conventie ca in cazul precedent, probabilitatea de defectare va fi:Fig.6.2 Considerand toate elementele cu aceeasi intensitate a defectiunilor =constant, rezulta: de unde se poate constata imediat ca intensitatea defectiunilor echivalenta intregului sistem este crescatoare. Pornind de la structurile elementare de tip serie si paralel se poate analiza fiabilitatea oricarui sistem reductibil la o combinatie de astfel de structuri, ca in fig.6.3 si 6.4. Fig.6.3. Pe ramura j avem: iar pentru sistem Fig.6.4.Pe ramura j avem: iar pentru sistem In realitate structura unui sistem nu poate fi redusa totdeauna la combinatii de tip serie si paralel. In astfel de cazuri deducerea fiabilitatii sistemului este mai dificila, recurgand la asa numita functie de structura. Asociem fiecarui element din sistem o variabila aleatoare binara xi (i=1,n) care pot lua valorile 0 sau 1 dupa cum, in intervalul (0,t), elementul se defecteaza sau nu. Daca functia de fiabilitate a elementului i este Ri(t), atunci distributia variabilei va fi:

deci probabilitatile ca xi sa ia valorile 0 sau 1 sunt date de relatiile P[xi=0]=1-Ri(t) si P[xi=1]=Ri(t). Sistemului ii asociem variabila aleatoare binara astfel incat P[=0]=1-Rs(t) si P[=1]=Rs(t), deci cu distributia: Evident (x1,x2,,xn) este o functie de variabile aleatoare

binare si se numeste functie de structura. Aceasta poate fi dedusa pe baza tabelei de adevar. Pentru un sistem serie, functia de structura va fi:iar fiabilitatea sistemului va fi:Pentru un sistem derivatie functia de structura este , iar fiabilitatea sistemului va fi: Regasim astfel relatiile deduse anterior pentru astfel de sisteme. Operatiile efectuate mai sus sunt valabile in virtutea faptului ca variabilele xi asociate elementelor cu defectari independente sunt la randul lor independente. Este usor de intuit ca nu orice structura este reductibila la combinatii de structuri de tip serie sau/si paralel. Pentru o astfel de structura nedecompozabila, determinarea functiei de fiabilitate presupune:- determinarea functiei de structura; - punerea acesteia in forma canonica disjunctiva (suma de produse) astfel incat termenii reuniunii sa fie incompatibili; - determinarea functiei de fiabilitate calculand probabilitatea P[=1] ca in exemplele de mai sus.

6.2. Determinarea functiei de structura

6.2.1. Metoda bazata pe enumerarea exhaustiva a starilor

Este cea mai simpla si directa tehnica de analiza care presupune parcurgerea urmatoarelor etape: - enumerarea tuturor starilor posibile (pentru un sistem format din n elemente, fiecare avand doua stari, sistemul are stari posibile); - selectarea starilor pentru care sistemul are valoarea functiei de structura 1, deci sistemul se afla in stare de functionare, si explicitarea functiei de fiabilitate.

6.2.2. Metoda bazata pe multimea legaturilor minimale

Metoda precedenta este comoda doar pentru sistemele de mica complexitate. In caz contrar se impune utilizarea unor metode sistematice usor de implementat sub forma unor algoritmi programabili. In cele ce urmeaza vor fi evidentiate tehnici de analiza a fiabilitatii care presupun identificarea cailor intre nodul de intrare si cel de iesire al schemei logice de fiabilitate (grafului de fiabilitate). In schema logica de fiabilitate pot fi evidentiate noduri si arce. Dintre noduri unul reprezinta intrarea (sursa) si altul este nod terminal

(iesire). Arcele (legaturile intre noduri) pot fi directe si de interconexiune, acestea din urma putand fi parcurse in ambele sensuri. Legatura este definita ca fiind multimea de elemente a caror buna functionare conduce la buna functionare a sistemului analizat, indiferent de starea celorlalte elemente. Legatura minimala este legatura in care nu exista nici o submultime care poate constitui o alta legatura. Privita prin prisma schemei logice de fiabilitate o legatura este minimala daca fiecare nod este parcurs doar o singura data. Asociind fiecarui element variabila binara xi, o legatura Li este o conjunctie de variabile binare iar functia de structura va fi:unde ni este numarul de elemente de pe legatura minimala I, care reprezinta si marimea legaturii. Pentru evaluarea facila a functiei de fiabilitate a sistemului Rs(t)=P[=1] este necesar ca termenii reuniunii sa fie incompatibili intre ei, de aceea este necesar ca functia de structura sa fie pusa sub forma

normala disjunctiva. Dificultatea analizei consta in identificarea legaturilor minimale. Pentru sistemele de mica complexitate acest lucru este posibil prin simpla inspectie a modelului logic. Pentru sistemele complexe este necesar sa se procedeze sistematic, utilizand in acest scop metoda matriciala din teoria grafurilor.O matrice de conexiune C constituie corespondentul analitic al grafului de fiabilitate si are dimensiunea nn, unde n este numarul nodurilor. In aceasta matrice elementele cij reprezinta transferantele de la nodul i la nodul j: x fiind variabila binara asociata elementului plasat intre nodurile i si j. Se demonstreaza ca pentru matricea Cr, elementul cij da toate caile minime de la i la j de marime r. Marimea unei cai este data de numarul elementelor de pe calea respectiva. De asemenea se

demonstreaza ca intr-un graf cu n noduri cea mai mare cale minimala este de marimea (n-1), deci, pentru a determina toate caile minimale este necesar sa se calculeze puterile succesive ale matricei C pana la (n-1)

inclusiv. Metoda presupune parcurgerea urmatoarelor etape: - stabilirea matricei de conexiune C corespunzatoare schemei logice de fiabilitate (grafului); - calculul puterilor succesive ale matricei C pana la (n-1); - determinarea legaturilor minimale ale sistemului care sunt date de elementele C1k (1 fiind nodul de intrare si k nodul de iesire) ale matricelor C, C2,,Cn-1.

6.2.3. Metoda bazata pe formula probabilitatii totale

Metoda consta in reducerea structurii unui sistem la structuri elementare de tip serie sau paralel prin ipoteze formulate asupra starii unor elemente ale sistemului. Pentru a putea efectua reducerea, ipotezele se refera la variabile care se repeta in functia de structura. Fie o asemenea variabila. Sa consideram evenimentele:

A = elementul j in stare buna in (0,t), P(A)=Rj(t)=P(=1),B = elementul j este defect in (0,t), P(B)=1-Rj(t)=P(=0). Aceste evenimente formeaza un sistem complet de evenimente. Daca X este evenimentul 'sistemul este in stare buna in (0,t)', cu probabilitatea P(X)=P(=1) =Rs(t), atunci, conform formulei

probabilitatii totale: P(X) = P(A)P(X/A)+P(B)P(X/B) sau Rs(t)=P(=1)=P(=1)P( =1)+P(=0)P(.=1/ Probabilitatile conditionate se pot calcula prin reducerea la structuri de tip serie sau paralel. In caz contrar se aplica din nou formula probabilitatii totale pana cand ajungem la structuri ale caror analize sunt direct posibile.

6.4. Evaluarea fiabilitatii prin simulare

In situatiile in care structura sistemului este foarte complicata, studiul analitic al functiei de fiabilitate devine anevoios. O evaluare numerica aproximativa a acesteia poate fi realizata printr-o metoda experimentala sau prin simulare. Daca functia de structura este cunoscuta, experimentarea nu este necesara, starile posibile ale

elementelor componente fiind obtinute prin simulare. Daca X=( ) este vectorul starilor elementelor sistemului, acestea pot fi generate in conformitate cu probabilitatile asociate variabilelor binare , deci cu fiabilitatile individuale la un moment de timp dat. Pentru fiecare realizare particulara a vectorului de stare se calculeaza, cu ajutorul functiei de structura, valoarea marimii(X). Estimatia punctuala a

functiei de fiabilitate a sistemului va fi: unde N este numarul de realizari ale vectorului X. Cu cat numarul de realizari este mai mare cu atat precizia estimarii punctuale este mai buna. Deoarece (X) nu ia decat valorile 0 si 1, reprezinta numarul de evenimente favorabile, iar N numarul de evenimente posibile. In acest caz este raportul dintre numarul cazurilor favorabile (cand =1) si numarul total de cazuri, care, la limita, reprezinta probabilitatea P[(X)=1], daca probabilitatile de aparitie a starilor sunt egale (evenimentele sistemului complet de evenimente sunt egal probabile). Pentru a asigura acest lucru precum si independenta realizarilor starilor sistemului se recurge la simularea Monte Carlo, pornind de la o secventa de numere aleatoare uniform distribuite in intervalul [0,1]. Fie z o variabila aleatoare uniform distribuita in acest interval. Densitatea de repartitie a variabilei este:Fie un element oarecare , care la un moment de timp precizat are fiabilitatea Ri( [0,1]. In acest caz In consecinta, daca numarul zi din sirul de numere aleatoare este mai mic decat Ri(t0), atribuim variabilei xi valoarea 1 iar daca zi>=Ri(t0), valoarea 0. Obtinem astfel o realizare particulara, pentru vectorul de stare ). Valorile particulare ale functiei de fiabilitate a sistemului Rs(t0) le obtinem prin intermediul functiei de structura cunoscute ( )),iar estimatia punctuala va fi

CAPITOLUL 7

FIABILITATEA SISTEMELOR CU RESTABILIRE

7.1. Sisteme cu restabilire

Procesul de restabilire consta in refacerea proprietatilor functionale ale sistemului (elementului) prin reparare (in timp finit), sau inlocuire imediata (reinnoire). Un element simplu reparabil este caracterizat printr-o

succesiune de perioade de functionare neintrerupta, care alterneaza cu perioade finite de reparare, notate si respectiv in fig.7.1. Studiul fiabilitatii unui astfel de element se poate realiza in mai multe moduri si anume: - cu ajutorul fluxurilor de evenimente; - cu ajutorul proceselor stohastice de tip Markov; - cu ajutorul functiilor de repartitie conditionate a timpului de

functionare intre doua defectari.

Definitia 7.1. Un flux de evenimente este o succesiune de evenimente care se petrec la intervale de timp aleatoare. Evenimentele care formeaza un flux pot fi de acelasi tip, caz in care fluxul este omogen, sau de naturi diferite, caz in care fluxul este neomogen. Un flux de evenimente poate fi reprezentat prin succesiunea de momente care corespund aparitiei evenimentelor din flux. Un flux este stationar daca probabilitatea ca intr-un interval de timp sa se produca un anumit numar de evenimente depinde numai de lungimea intervalului si nu de pozitia lui pe axa timpului. Un flux este fara postactiune daca pentru orice intervale de timp disjuncte, numarul de evenimente care se petrec intr-unul din ele nu depinde de numarul de evenimente care se petrec in intervalul precedent. Un flux este ordinar daca probabilitatea ca intr-un interval de timp t, suficient de mic, sa se produca doua sau mai multe evenimente, este neglijabila in raport cu probabilitatea producerii cel mult a unui singur eveniment. Un flux stationar, ordinar si fara postactiune este denumit flux simplu sau flux Poisson. Un flux de evenimente este caracterizat de urmatorii indicatori: - intensitatea fluxului unde (0,t) este numarul mediu de evenimente petrecute in intervalul (0,t).

- parametrul fluxului unde (t,t+t) este probabilitatea ca in intervalul (t,t+t) sa se produca k evenimente. In cazul elementului simplu reparabil putem defini doua fluxuri omogene si anume:

- fluxul defectarilor: ; - fluxul reparatiilor: . Pentru a caracteriza fiabilitatea elementului care intra in fluxul de evenimente este necesara cunoasterea repartitiei variabilei (0,t), adica a

numarului de defectari in intervalul (0,t), prin intermediul careia putem determina intensitatea fluxului.

Indicatorii de fiabilitate ai unui sistem cu restabilire se impart in trei categorii: I - indicatori ai fiabilitatii sistemului nereparabil, care caracterizeaza timpii de functionare Tfi, si anume: Fi(t) -functiile de repartitie a timpului de functionare; Ri(t) - functiile de fiabilitate; fi(t) -densitatile de repartitiei(t) -intensitatile defectarii ; - timpii medii de functionare fara defectiuni ; II - indicatori ai repartitiei timpilor de reparare Tri, si anume: Gi(t) - functiile de repartitie a timpilor de reparare; gi(t) - densitatile de repartitie;

i(t) - intensitatile reparatiei, definite asemanator cu intensitatile defectarii; - timpii medii de reparare.

III - indicatori dependenti de fluxurile de evenimente: - probabilitatea de functionare la momentul t sau disponibilitatea sistemului:- probabilitatea de avarie la momentul t, q(t)=1-p(t);

- probabilitatea de functionare neintrerupta in intervalul (t,t+ - numarul mediu de defectari (reparatii) intr-o perioada data: in care(t) si (t) sunt intensitatile fluxurilor de defectare si respectiv reparare. - timpul mediu cumulat de functionare intr-o perioada data, - timpul mediu cumulat de reparare intr-o perioada data. Indicatorii din ultima categorie se pot deduce daca se cunosc intensitatile fluxurilor de evenimente si indicatorii din primele doua categorii.

7.2. Reinnoirea sistemelor

Reinnoirea sistemelor este un caz particular cand timpii de reparare sunt practic neglijabili in raport cu perioadele de functionare fara defectiuni. Evolutia unui astfel de sistem este reprezentata de succesiunea

momentelor de reinnoire t1,t2,tn care coincid cu momentele defectiunilor. In fiecare interval de functionare sistemul este caracterizat de indicatorii de fiabilitate corespunzatori unui sistem nereparabil, deci de functiile de fiabilitate Ri(t), i=1,n. La acesti indicatori se adauga numarul mediu de reinnoiri (defectari) in intervalul (0,t), pe care il putem determina cu ajutorul fluxurilor de evenimente. Teoria proceselor de reinnoire a fost dezvoltata indeosebi pentru cazurile in care reinnoirea este sinonima cu inlocuirea elementului cu unul

nou, identic cu cel defectat. Astfel de procese sunt caracteristice elementelor (sistemelor) fara uzura (cu intensitatea defectiunilor constanta), caz in care: fluxul de reinnoire fiind un flux simplu (Poisson). Evident, pot exista situatii in care: R1(t) > R2(t) > > Rn(t) reinnoiri pozitive; R1(t) < R2(t) < < Rn(t) reinnoiri negative. In cele ce urmeaza sa consideram cazul in care dupa reinnoire sistemul

este ca nou si (0,t) numarul de defectari (reinnoiri) in intervalul (0,t).

Teorema 7.2.1. Daca fluxul defectarilor (reinnoirii) este ordinar, stationar si fara postactiune, atunci exista >0 astfel incat:Demonstratie: In virtutea ipotezelor teoremei este valabil

urmatorul sir de egalitati: ultima egalitate fiind valabila deoarece (0)=P[(0,0)=0]=1 datorita ipotezei de ordinaritate a procesului. Rezulta ca (t) verifica ecuatia diferentiala:Se observa ca o solutie particulara este (t)=.Dar (t) este probabilitatea ca in intervalul (0,t) sa nu se produca nici-o defectare (reinnoire), deci este functia de fiabilitate

(t)=R(t)= . Intuim astfel ca si reciproca acestei teoreme este adevarata, anume daca reinnoirea este simpla si R(t)= , atunci (0,t) este un proces ordinar, stationar si fara postactiune.

Teorema 7.2.2. Daca reinnoirea este simpla, atunci variabila (0,t) este distribuita Poisson.

Demonstratie: Distributia variabilei (0,t) este definita de probabilitatea P[(0,t)=k] =(t). Vom arata intai ca aceasta probabilitate verifica ecuatia: In acest scop sa consideram intervalul (0,t+t). In acest interval se pot produce k defectari in urmatoarele moduri:

(0,t)=k si (t,t+t)=0, (0,t)=k-1 si (t,t+t)=1, ......(0,t)=0 si (t,t+t)=k.

Evident, astfel definite, evenimentele (0,t)=0,1,..,k alcatuiesc un sistem complet de evenimente. Atunci, conform formulei probabilitatii totale rezulta: Pk(0,t+.t)=Pk(0,t)P0(t,t+.t)+Pk-1(0,t)P1(t,t+.t)+.

In virtutea ordinaritatii procesului, pentru .t suficient de mic, rezulta ca in intervalul (t, t+.t) nu se poate produce mai mult de un eveniment, deci: (0,t+t)=(0,t) (t,t+t)+(0,t)(t,t+t).

Datorita ipotezei de stationaritate rezulta: (t+t)= (t) t)+(t) t)=(t) t)+ (t)(1- t)). Evaluam acum derivata: Cum obtinem astfel ecuatia recursiva: Cu notatia: , rezulta: si relatia de recurenta:de undeRevenind la substitutie rezulta: , ceea ce inseamna ca repartitia variabilei (0,t) este de tip Poisson. In consecinta: (0,t) = M[(0,t)] =t iar intensitatea fluxului este (t)==constant. In concluzie, pentru un proces de reinnoire simplu, indicatorii de fiabilitate sunt: - indicatorii elementului fara restabilire; - numarul mediu de defectari (reinnoiri) intr-un interval de timp dat, care in acest caz este M[ (0,t)]= t.

7.3. Determinarea fiabilitatii sistemelor reparabile cu ajutorul fluxurilor de evenimente

Intensitatea fluxului poate fi dedusa si in cazul general, descris in fig.7.1. Presupunem ca toate perioadele de buna functionare Tfi sunt identic repartizate si independente, ca de altfel si perioadele de reparare Tri, functiile de repartitie fiind: F(t)=P(Tfi<t) si respectiv G(t)=P(Tri<t), Putem defini fluxul reparatiilor prin momentele si fluxul defectarilor prin momentele t1,t2,tn, unde: Daca notam cu Nr(t) numarul de restabiliri in intervalul (0,t), si Nd(t) numarul de defectari in acelasi interval, acestea sunt variabile aleatoare cu distributiile: Functiile de repartitie complementare a acestor variabile:

permit evaluarea probabilitatilor: In acest caz: Dupa cateva calcule elementare rezulta: Se observa ca urmatoarele evenimente sunt echivalente: si     si deoarece pentru ca numarul de reparatii pana la momentul t sa fie mai mare ca n, trebuie ca momentul care defineste a n-a reparatie sa fie in interiorul intervalului de timp (0,t). Acest lucru permite evaluarea functiei de repartitie complementare cunoscand functiile de repartitie ale variabilelor Tfi si Tri. Din teoria probabilitatilor este cunoscuta urmatoarea teorema

[vezi teorema 1.3.1]: Daca F1(t) si F2(t) sunt functiile de repartitie a doua variabile independente . si ., atunci functia de repartitie a sumei .+. este produsul de convolutie a celor doua functii de repartitie, adica: In acest caz :iar SimilarSa calculam produsul de convolutie: Rezulta sau: Putem exprima ecuatiile in intensitati ale fluxurilor si densitatile de repartitie a variabilelor Nr (t) si Nd(t): si fiind densitati de repartitie. sunt ecuatii Voltera cu nucleu diferential. Ecuatiile realizeaza legatura intre intensitatile fluxurilor de reparare (defectare) si densitatile de repartitie a primei perioade de functionare si de reparare. Prima ecuatie este cunoscuta ca ecuatie fundamentala a reparatiei.

Disponibilitatea. Deducerea probabilitatii p(t) de functionare la un moment dat este echivalenta cu deducerea probabilitatii reuniunii evenimentelor: unde tn si t' au semnificatiile din fig.7.1. In acest caz: Rezulta deci:

Probabilitatea de avarie la un moment dat este evident:

Probabilitatea de functionare neintrerupta in intervalul (t,t+) se poate deduce ca probabilitatea reuniunii evenimentelor: Dupa cateva calcule asemanatoare cu cele de mai sus rezulta:

Eficienta in functionare a unui sistem se exprima cu ajutorul duratei cumulate de functionare intr-o perioada data (0,t). Fie (0,t) aceasta durata. Pentru aprecierea ei definim o alta variabila aleatoare s(t) care ia valoarea 1 daca sistemul se afla in stare buna la momentul t si 0 in caz contrar. Se observa ca distributia acestei variabile este: Durata cumulata de functionare in intervalul (0,t) va fi:Timpul mediu total de functionare in (0,) va fi deci: In mod asemanator poate fi definita durata cumulata de reparare

a sistemului in intervalul (0,t), (t), a carui medie este:

7.4. Determinarea fiabilitatii sistemelor cu ajutorul proceselor stohastice de tip Markov cu timp continuu

Metoda de determinare a functiei de fiabilitate a sistemelor prin descrierea lor cu ajutorul proceselor Markov constituie una din metodele de modelare care ia in considerare toate starile posibile ale sistemului. Tinand seama de particularitatile functionale si fiabilistice ale sistemelor studiate, procesele Markov utilizate pentru modelarea lor sunt stationare si ordinare. Proprietatea de ordinaritate implica imposibilitatea producerii de evenimente simultane, deci a defectarii sau restabilirii simultane a doua sau mai multe componente ale sistemului analizat. Un proces Markov [vezi capitolul 3] este definit de: [Pi(t)]- matricea probabilitatilor absolute de stare, i = 1,m; [pij(t,s)]-matricea probabilitatilor de tranzitie, i, j =1,m. Daca un proces Markov este stationar, probabilitatile de tranzitie nu depind de momentele s si t ci de distanta in timp intre stari (t-s), deci: pij(t,s)=pij(t-s)=pij(). Probabilitatile absolute de stare verifica ecuatia diferentiala matriciala [P'i(t)=[qji][Pi(t)] cu conditii initiale [Pi(0)] precizate. Matricea [qij] este matricea intensitatilor de tranzitie intre stari. In cazul unui proces Markov ordinar, in care intr-un interval de timp t foarte mic cel mai probabil este sa se produca o singura tranzitie, matricea intensitatilor de tranzitie este constanta si: Solutia ecuatiei matriciale este: Solutia in regim stationar se obtine din sistemul: care face ca sistemul sa admita si solutii diferite de cea banala. Sa exemplificam utilizarea lanturilor Markov in cazul elementului simplu reparabil. Pentru rezolvare parcurgem urmatoarele etape: - stabilirea starilor posibile ale sistemului - analiza tranzitiilor intre stari si definirea matricii intensitatilor de tranzitie - rezolvarea ecuatiei diferentiale matriciale - calculul indicatorilor de fiabilitate pe baza probabilitatilor de succes si de refuz. Multimea starilor de succes este multimea starilor in

care sistemul este in functiune iar multimea starilor de refuz este multimea starilor in care sistemul este defect. Probabilitatea de succes este probabilitatea reuniunii evenimentelor 'sistemul se afla intr-una din starile

de functionare'. In mod asemanator se defineste si probabilitatea de refuz.

Rezerva activa se afla in perioada de asteptare la acelasi nivel de solicitare ca si elementul principal (deci se poate defecta). Necesita un timp neglijabil pentru preluarea functiei. Rezerva activa este justificata numai in cazuri deosebite. Rezerva semiactiva este mai putin solicitata in perioada de asteptare (intensitatea defectiunilor este mai mica), insa necesita un timp oarecare de conectare. Rezerva pasiva este de fapt nesolicitata, nefiind pregatita pentru intrarea imediata in functie. Daca este intensitatea defectiunilor elementului precizat si .= intensitatea defectiunilor rezervei, atunci =1 pentru rezerva

activa, 0<<1 pentru rezerva semiactiva si =0 pentru rezerva pasiva. Structura unui astfel de sistem este data in fig.7.4. Daca asociem elementelor variabilele binare x1,x2, numarul total de stari posibile este= 4, dar acesta se reduce la 3 stari semnificative, si anume: 1 - ambele elemente in functiune;

2 - un element in functiune si unul defect; 3 - ambele elemente defecte.Graful tranzitiilor este cel din figura Tranzitiile din 1 in 3 si invers nu sunt posibile deoarece ar insemna defectarea (repararea) simultana a ambelor elemente. Matricea intensitatilor tranzitiilor va fi:In regim stationar avem: Dupa rezolvare rezulta :