MODELAREA MATEMATICÃ A MISCÃRII VIBRATORII

MODELAREA MATEMATICÃ A MISCÃRII VIBRATORII

ECUATIILE LUI LAGRANGE

Studiul miscarilor vibratorii ale sistemelor mecanice are la baza analiza legaturilor care exista intre marimile de intrare si marimile de iesire . Aceste legaturi cauza-efect sunt descrise , asa cum s-a mentionat in cadrul capitolului 1 , de o serie de ecuatii diferentiale.

Stabilirea formei ecuatiilor diferentiale se poate face fie pe baza Ecuatiilor lui Lagrange ,fie utilizand Principiul lui d'Alembert fie utilizand metoda coeficientilor de influenta .

Deducerea ecuatilor de miscare pe baza ecuatiilor lui Lagrange

De multe ori precizarea fortelor si/ sau momentelor din legaturi este foarte greu de facut . In aceste situatii sunt utile in studio ecuatiile lui Lagrange de speta a-II-a :

rel 1

unde Ec si Ep reprezinta energia cinetica ,respectiv energia potentiala a sistemului condiderat , qi sunt coordonatele generalizate , qi derivatele in raport cu timpul al coordonatelor generalizate iar Qi sunt fortele generalizate .

Fortele generalizate Qi cuprind toate fortele si / sau momentele care apar intr-un sistem cu exceptia celor ce deriva dintr-un potential .Spre exemplificare se considera sistem in figura 1 .In figura 1 a este prezentat cazul unui sistem cu un singur grad de libertate .

fig 1 Sistem cu un grad de libertate : a) modelul Kelvin-Voigt b)fortele ce actioneaza asupra sistemului

Energiile cinetica si potentiala sunt :

rel 2

Considerand drept coordonata generalizata si tinand cont ca :

rel 3

iar fortele generalizate sunt egale cu :

rel 4

pe baza ecuatiei din relatia 1 se obtine :

rel 5

Deducerea ecuatiilor de miscare pe baza Principiului d'Alembert

Principiul lui d'Alembert poate fi formulat sub forma :fortele date (direct aplicate ) , de legatura si inertie isi fac echilibrul (forte de inertie impreuna cu fortele proprii fac echilibrul legaturilor ).

Aceasta metoda este deosebit de utila in cazul in care fortele care actiioneaza asupra sistemului pot fi puse distinct in evidenta .

Considerand sistemul cu un grad de libertate din figura 1 prin aplicarea principiului lui d'Alembert se obtine :

rel 6

in care Fe este forta elastica dezvoltata in elemental elastic , Fa este forta de amortizare care apare in elementul de amortizare de constanta c si sunt date de :

rel 7

Inlocuind relatiile 7 in 6 si rearajand termenii se obtine ecuatia de miscare din relatia 5

In cazul sistemului cu doua grade de libertate descrise in figura 2 prin aplicarea principiului lui d'Alembert pentru ambele mase se obtine:

rel 8

Componentele din relatia 8 sunt date de :

rel 9

Inlocuind relatia 9 in relatia 8 si rearajand termenii rezulta ecuatia de miscare de mai jos:

rel 10

REGIMUL DE FUNCTIONARE A

SISTEMELOR DINAMICE

Mare parte din sistemele dinamice care intervin in analiza si / sau sinteza comportarii masinilor-unelte aflate sub actiunea sarcinilor variabile in timp sunt liniare si invariante in timp .

Fara a particulariza generalitatea definitiilor de mai jos, ci numai pentru simplificarea expunerii ,fie sistemul mecanic descrise de ecuatia :

rel 11

Notand cu solutia ecuatiei omogene :

rel 12

in care 0 este matricea nula avand aceleasi dimensiuni cu y si cu yf solutia particulara a ecuatiei din relatia 11 , raspunsul sistemului considerat este :

rel 13

In cazul particular in care y=yl descrise de o ecuatie de tipul relatiei 1 se afla in regim liber de functionare iar daca y=yf sistemul in cauza se afla in regim fortat de functionare .

Atunci cand vitezele de variatie in timp ale marimii de iesire pot fi neglijate adica daca : rel 14

sistemul dinamic functioneaza in regim stationar .

Combinarea ecuatiilor de la relatiile 11 si 14 arata ca in regim static sistemul considerat este descris de ecuatia :

K * y=F rel 15

Asa cum rezulta din relatia 15in regim stationar marimea de iesire a sistemului are aceeasi forma cu marimea de intrare .

Un caz particular al regimului stationar dar deosebit de important in special pentru comportarea structurilor masinilor - unelte il constituie acela in care intrarea sistemului dinamic este o marime invariabila in timp .

Intr-o asemenea situatie se spune ca sistemul se afla in regim static de functionare . Pentru a marca faptul ca sistemul mecanic descris matematic prin ecuatia de la relatia 11 iar relatia 14 si se scrie astfelrel 16

Regimul liber

Dupa cum s-a aratat mai sus un sistem dinamic se afla in regim liber de functionare atunci cand marimea sa de iesire are forma solutiei generale a ecuatiei omogene asociate ecuatiei diferentiale ce-l descrie din punct de vedere matematic .

Acest regim se face simtit atunci cand marimea de intrare trece de la o valoare stationara la alta , in particular una din cele doua valori stationare putand fi zero .

In cazul sistemului mecanic descris de ecuatia din relatia 11 existenta regimului liber este datorata prezentei inertiei mecanice si a amortizarilor din sistem , datorita acestora marimea de iesire nereusind sa urmareasca in mod instantaneu variatiile marimii de intrare .

In functionarea masinilor-unelte regimurile tranzitorii se intalnesc cu mare frecventa . Ele apar la cuplarea si decuplarea lanturilor cinematice principale si a celor auxiliare , la intrarea si iesirea taisurilor sculei in ,respective din materialul piesei care se prelucreaza .

Solutionarea diverselor probleme care intervin in studiul regimului tranzitoriu al unui sistem dinamic este legata de cunoasterea expresiei componentei libere a raspunsului acestui sistem .

1.1 Sistemul dinamic monovariabil

Multe sisteme dinamice monovariabile invariante in timp sunt descrise prin ecuatii diferentiale de tipul :

rel 17

Impartind ecuatia de la relatia 17 la k ≠ 0 se poate scrie :

rel 18

unde : rel 19

reprezinta constantele de timp ale sistemului considerat .

Daca relatia reprezinta ecuatia de miscare a unui sistem mecanic , atunci in locul relatiei 18 se foloseste ecuatia :

rel 20

in care : rel 21

Marimile si reprezinta pulsatia proprie respective factorul de amortizare ale sistemului mecanic . Cu ajutorul relatiei

rel 22

pot fi definite frecventa proprie si perioada proprie .

Pentru structurile elastice la care factorii de amortizare sunt pozitivi si subunitari asemenea solutii generale pot fi puse in forme specifice , cu ajutorul carora se pun in evidenta marimile caracterizate pentru diversele tipuri de vibratii mecanice .

In cazul particular solutia generala solutia generala a ecuatiei omogene este : rel 23

si se scrie : rel 24

Tinand cont de cele definite functia este pur armonica . Prin urmare , daca miscarea existenta in sistemul mecanic descris de ecuatia din relatia 14 este o miscare vibratorie libera neamortizata .

Amplitudinea A [m] si faza initiala se determina , in functie de conditiile initiale :

rel 25

prin relatiile

rel 26 .

Marimea care apare in relatiile 24 si 26 are aceasi semnificatie ca in relatia 2 Ea se numeste pulsatie a vibratiilor libere neamortizate .

Daca sistemul mecanic descris de relatia 20 in care

se afla in miscare vibratorie nearmonizata . Se poate arata ca in acest caz raspunsul sistemului poate fi pus in forma :

rel 27

in care :

rel 28

este pseudopulsatia iar constantele si se determina cu relatiile :

rel 29

Reprezentarile grafice ale raspunsurilor libere date de relatiile 24 si 27 pot fi urmarite in figura 20 din care rezulta si semnificatiile marimilor si .

fig 2

Asa cum arata figura 2 b prin cresterea timpului raspunsul tinde la zero . Evaluarea vitezei cu care tinde sa se anuleze poate fi efectuata cu ajutorul marimii numita decrement logaritmic .

Decrementul logarithmic , notat in lucrarea de fata cu ∆ , este egal cu logaritmul natural al raportului a doua amplitudini successive . Ca urmare , in comformitate cu relatiile 27 si 28 se poate scrie succesiv :

rel 30

Pentru formula calculului lui ∆ capata forma aproximativa :

rel 31

Daca Aa1 si Aa2 sunt doua amplitudini successive ale vibratiei libere amortizate se poate scrie : rel 32

Dezvoltand functia in serie Mac-Laurin si pastrand numai termenii liniari ai dezvoltarii 32 conduce la o alta formula pentru calcul lui ∆ :

rel 33

Formula care se aplica pentru

Cazul nu se intalneste la structurile elastice ale masinilor-unelte .

el poate apare in acele ecuatii din relatia 20 cu ajutorul carora se descriu matematic diverse sisteme dinamice de tipul SM ,PA etc .

Pentru din relatia 20 se obtine coeficientul critic de amortizare :

rel 34

Tinand cont de relatiile 21 si 34 factorul de amortizare poate fi prezentat in forma:

rel 35

Motiv pentru care el se mai numeste si raport de amortizare

Cele prezentate mai sus cu privire la raspunsul sistemului mechanic unidimensional pot fi formulate si cu ajutorul constantelor de timp care intervin in ecuatia din relatia 18 . In acest scop este necesar sa se tina de relatiile prin care ωn si se calculeaza in functie de T1 si T :

rel 36

Sistemele dinamice descrise prin ecuatii diferentiale se numesc sisteme de ordinal doi .

REGIMUL FORTAT

De foarte multe ori la intrarea sistemelor dinamice , in particular a acelor mecanice , se aplica semnale periodice de timp . Dezvoltarea in serie Fourier a acestor functii arata ca primul termen numit armonica fundamentala , are modulul cel mai mare .Structurile elastice ale masinilor-unelte poseda proprietatea de filtru trece-jos , ceea ce inseamna ca la iesirea sistemului mecanic asociat unei structuri elastice se resimte practice numai influenta armonicii fundamentale .

Ca urmare , data fiind importanta deosebita a raspunsului sistemului mecanic excitat prin semnale armonice , in cele ce urmeaza se prezinta in maniera clasica modul de obtinere a raspusului fortat al sistemului mecanic descris matematic prin diverse forme particulare in care elementele matricei F(t) sunt functii armonice de timp avand aceasi perioada .

Sistemul mecanic monovariabil

Fie rel 37

marimea de intrare a sistemului mecanic descris de ecuatia :

rel 38

Solutia particulara a acestei ecuatii diferentiale este de forma:

rel 39

Egaland coeficienti termenilor in sin si cos din ambii membri ai ecuatiei astfel obtinute se ajunge la un sistem de doua ecuatii , din care rezulta :

rel 40

Reprezentarea grafica a functiilor este prezentata in figura care urmeaza :

fig 3

Dupa cum se observa , atunci cand pulsatia ω a fortei perturbatoare devine egala cu pulsatia proprie ωn amplitudinea creste foarte mult .

In cazul particular formulele din relatia 40 capata formele :

rel 41

care arata ca , daca sistemele se afla la rezonanta amplitudinea ,asa cum se observa din figura 4 .

fig 4

In asemena conditii , ca urmare a fortelor si momentelor mari de forma , respectiv precizia suprafetei generate prin aschiere devine necorespunzatoare , elementele care intra in componenta structurii elastice capata uzuri mari .

Functia de transfer in frecventa a sistemului descris de relatia 20 poate fi pusa intr-una din formulele :

rel 42

Comparand expresia lui A(ω) cu cea a amplitudinii se poate spune ca functia de transfer in frecventa are semnificatia de raspuns fortat al sistemului mecanic excitat cu un semnal armonic avand amplitudinea egala cu unitatea .

Raportul dintre transformarea Fourier a marimii de intrare si transformata Fourier a marimii de iesire poarta numele de rigiditate dinamica si se noteaza cu

Tinand cont de relatia 42 rezulta :

rel 43

Iar inversul rigiditatii dinamice se numeste cedare dinamica si este prezentata in relatia:

rel 44

Sistemul mecanic multivariabil .

Principiul amortizorului dinamic simplu

Raspunsul sistemului mecanic se poate obtine cu ajutorul uneia din procedurile dezvoltate pentru sistemele dinamice liniare invariante in timp .

In cazul particular al sistemului mecanic fara amortizare , se scrie

rel 45

Iar F are forma :

rel 46

Componenta fortata a raspunsului este :

rel 47

Pentru determinarea amplitudinilor se pune conditia ca relatia 47

rel 48

Deoarece cos din relatia 48 rezulta ecuatia matriceala :

rel 49

Inmultind relatia 49 la stanga cu matricea inversa rezulta :

rel 50

In cazul sistemului mecanic descris de relatia 11 se folosesc acelea de matrice a rigiditatilor mecanice respective de matrice a cedarilor dinamice

Aceste matrici au formele :

rel 51

Cu noutatile din figura de mai jos ecuatiile de miscare ale maselor m si m sunt :

rel 52

fig 5

Sistemul cu un grad de libertate avand masa m si constanta elastica notata prin k se afla la rezonanta daca :

rel 53

Pe de alta parte amplitudinea devine egala cu zero atunci cand :

rel 54

adica atunci cand pulsatia fortei perturbatoare devine egala cu pulsatia proprie a sistemului cu un grad de libertate avand parametrii m2 si k .

3.2 Expresia raspunsului total

Dintre metodele folosite pentru determinarea raspunsului sistemelor dinamice descrise prin ecuatii de forma relatiei 10, in cele ce urmeaza se prezinta aceea bazata pe ecuatiile de stare.

Asa cum s-a aratat, daca drept stare se alege faza sistemului,atunci matricele care apar in ecuatiile de stare :

rel 55

ale sistemului mecanic cu ecuatia de miscare a 10 au formele:

rel 56

Aplicand primei ecuatii din relatia 55 transformarea Laplace in conditiile initiale se obtine:

rel 57

Unde prin E s-a notat matricea unitate de tipul , iar :

rel 58

inmultind la stanga ecuatia din relatia 57 cu matricea inversa

se obtine :

rel 59

Transformata Laplace inverse a matricei poarta denumirea de matrice de tranzitie si se noteaza cu .

Tinand cont de calculu transformatei Laplace a produsului de convulatie din relatia 59 rezulta :

rel 60

Introducand relatia 60 in ecuatiile de stare din relatia 55 raspunsul sistemului descris de relatia 10 se scrie :

rel 61