Extensii ale modelului dinamic al consumatorului -perioada infinita

Extensii ale modelului dinamic al consumatorului -perioada infinita

Se considera urmatorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:

Restrictia bugetara a consumatorului este urmatoarea:

Unde este nivelul preturilor, este nivelul consumului, reprezinta volumul economiilor realizate sub forma cumpararii de obligatiuni, salariul nominal, este munca depusa, este rata nominala a dobanzii, iar este un factor de discount subiectiv ce se poate scrie si sub forma .

Stiind ca functia de utilitate are urmatoarea forma:

sa se determine:

a)      O relatie de recurenta pentru nivelul consumului. Sa se stabileasca in ce conditii consumul este crescator (), descrescator (), stationar ().

b)      O relatie de recurenta pentru timpul liber. Sa se stabileasca in ce conditii timpul liber este crescator (), descrescator (), stationar ().

c)      Daca rata reala a dobanzii este constanta (), sa se calculeze .

d)      Daca rata de crestere a venitului real este constanta () si rata reala a dobanzii este constanta (), sa se calculeze .

Rezolvare:

a)      Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumata astfel:

Inainte de a forma Lagrangean-ul si de a pune conditiile de ordinul I, vom transforma restrictia astfel incat ea sa fie exprimata in variabile reale - vom imparti prin nivelul preturilor la momentul t:

In cele de mai sus am notat cu valoarea reala a economiilor, cu salariul real, iar cu rata reala a dobanzii.

Formam Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit:

Punem conditiile de ordinul I derivand Lagrangean-ul in toate argumentele sale:

a)      scriem relatia (1) la momentul t si la momentul t+1 si impartim cele 2 relatii:

Am folosit relatia (2) de mai sus.

In aceste conditii:

-consumul este stationar daca

-consumul este crescator daca

-consumul este descrescator daca

Pentru a determina relatia de recurenta scriem relatia (5) pentru :

Inmultind relatiile de mai sus membru cu membru obtinem relatia de recurenta a consumului:

b)      scriem relatia (3) la momentul t si la momentul t+1 si impartim cele 2 relatii:

Am folosit relatia (2) de mai sus si am notat rata de crestere a veniturilor reale

Dar din relatia (5) stim ca . Am notat rata de crestere a consumului cu .

In aceste conditii:

-timpul liber este stationar daca , adica rata de crestere a consumului este aceeasi cu rata de crestere a venitului real;

-timpul liber este crescator daca

-timpul liber este descrescator daca

Pentru a determina realatia de recurenta pentru timpul liber se foloseste relatia (6) rescrisa astfel:

Pentru a determina relatia de recurenta scriem relatia de mai sus pentru :

Inmultim relatiile membru cu membru si obtinem:

c) in relatia de recurenta a consumului se inlocuieste si se obtine

. Putem calcula limita astfel:

d)

Daca rata de crestere a venitului real este constanta () si rata reala a dobanzii este constanta () atunci relatia (8) devine:

. Putem calcula limita astfel:

Se considera urmatorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:

Restrictia bugetara a consumatorului este urmatoarea:

unde reprezinta cantitatea de avere pastrata sub forma numerarului, iar reprezinta masa monetara exprimata in termeni reali, .

Stiind ca functia de utilitate are urmatoarea forma:

Sa se raspunda la urmatoarele cerinte:

a)      Sa se scrie restrictia bugetara in termeni reali (se noteaza cu valoarea reala a economiilor detinute sub forma de obligatiuni si cu salariul real. In cazul in care prin se masoara indicele preturilor de la inceputul perioadei t, sfarsitul perioadei t-1, ).

b)      Sa se arate ca elasticitatea utilitatii marginale a consumului este constanta si sa se interpreteze rezultatul in raport cu atitudinea consumatorului fata de risc.

c)      Sa se arate ca elasticitatea functiei de utilitate in raport cu timpul lucrat si respectiv cu masa monetara reala depinde in mod direct de si respectiv de

d)      Sa se determine ecuatia de dinamica pentru consum;

e)      Ecuatia de dinamica pentru timpul lucrat;

f)        Sa se arate ca intre oferta de munca si consum exista o legatura directa, iar relatia dintre oferta de munca si masa monetara este, de asemenea, directa. Explicati.

Pentru cazul in care rata reala a dobanzii si rata de crestere a venitului real sunt constante:

g)      Sa se determine traiectoria de evolutie a consumului (in functie de );

h)      Sa se determine traiectoria de evolutie a timpului lucrat (in functie de );

i)        In cazul in care singura destinatie a PIB este consumul, sa se determine si sa se interpreteze in cheie keynesista ecuatia de cerere de moneda.

j)        Sa se verifice daca regula de politica monetara este una de tip Friedman.

Rezolvare:

a)       Se imparte restrictia bugetara la indicele preturilor , si se obtine:

Dar

Analog,

Restrictia este deci urmatoarea:

b) Utilitatea marginala a consumului la momentul t este: .

Elasticitatea unei functii in raport cu x are urmatoarea formula:

.

Elasticitatea utilitatii marginale la momentul t in raport cu consumul este:

si este constanta, .

Interpretarea acestei elasticitati este urmatoarea: este egala cu aversiunea relativa la risc. Faptul ca aceasta este constanta ne arata ca indiferent de cantitatea consumata, agentul are aceeasi atitudine fata de risc.

c)    , unde .

, unde .

d)      Exista doua posibilitati de a rezolva urmatoarele subpuncte ale problemei: pentru a forma Lagrangeanul, se poate obtine din toate restrictiile una singura, sau se poate introduce in Lagrangean fiecare restrictie de la fiecare moment in mod separat, cu un multiplicator atasat.    Vom prezenta in continuare a doua metoda, intrucat prima a fost discutata la seminar.

-)-.-

Sau, altfel scris: