OPTIMIZAREA PORTOFOLIILOR CU N ACTIUNI

OPTIMIZAREA PORTOFOLIILOR CU N ACTIUNI

1. Prezentarea problemei

Similar celor prezentate in capitolul 4, consideram disponibil istoricul randamentelor procentuale pe m perioade de timp pentru fiecare actiune dintr-un grup de n actiuni. Notatiile utilizate in continuare sunt cele prezentate in capitolul 4.

Functiile randament, respectiv risc, sunt reprezentate matriceal prin,

(1)

(2) ,

unde

,

De asemenea, in reprezentare matriceala, relatia devine,

unde este vectorul unitar n-dimensional.

Prin utilizarea relatiei (3), variabila este eliminata si functiile randament si risc sunt exprimate in termenii . Fie , vector de dimensiune n-1, vector n-dimensional si B matrice de dimensiune , cu primele n-1 linii liniile corespunzatoare matricei unitate si ultima linie formata cu elementul -1,

Cu aceste notatii, obtinem,

(4) .

2. Definirea problemelor de oprimizarea portofoliilor cu n actiuni in termenii problemelor de optimizare fara constrangeri

Similar celor prezentate in capitolul 4, procedura MINRISC0 defineste problema primara de minimizare a riscului in cazul unui portofoliu definit de fractiunile de investitii . Prin utilizarea relatiei (4), rezulta, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

MINRISC0:

(5) Minimizeaza

Relatia (5) defineste o problema de optimizare fara constrangeri, in n-1 variabile. Daca este o solutie a problemei (5), atunci portofoliul de risc minim, notat , este definit prin,

(6) si .

O serie de metode care rezolva problema minimizarii unei functii de mai multe variabile utilizeaza vectorul derivatelor partiale de ordinul I, numit gradient. Daca V este functie de m variabile, atunci gradientul lui V, notat sau , este definit prin,

.

Gradientul functiei obiectiv din relatia (5) este,

(7)

Pentru rezolvarea problemelor de optim, unele metode necesita si calculul derivatelor partiale de ordinul II, adica a matricei Hessian. Daca V este functie de m variabile, atunci matricea Hessian, notata sau , este definita prin,

Hessianul functiei obiectiv din relatia (5) este,

(8)

Problema RISCMIN1M, definita in capitolul 4, poate fi exprimata in termenii unei probleme de optimizare fara restrictii prin utilizarea relatiei (4), astfel, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

(9) Minimizeaza

Pentru calculul vectorului gradient si al matricei Hessian pentru functia F definita in (9), consideram reprezentarea,

,

unde

si

Sunt obtinute relatiile,

unde

si

.

Similar, este obtinuta matriea Hessian, prin,

unde

si

este o matrice cu rangul 1, pentru orice i,j, ,

Problema RANDAMENTMAX1 este reformulata in termenii RANDAMENTMAX1M (vezi capitolul 4) si, prin utilizarea relatiei (4) rezulta problema de optimizare fara restrictii, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

Minimizeaza

Expresiile care definesc gradientul si Hessianul functiei definite in (7.10) sunt obtinute prin reprezentarea,

,

unde

si

.

Rezulta,

unde este matrice de rangul I; pentru orice i,j, ,

.