PREVIZIUNEA COMPLEXA I

Functia exponentiala si functia putere

Functia exponentiala cu doi parametrii si functia putere

Daca datele observate au forma unei drepte pe o scara semilogaritmica sau forma crescatoare sau descrescatoare pe o retea artimetica, se utilizeaza functia exponentiala sau functia putere, avand una din formele:

Functia putere

Y = at^b

Functia exponentiala pentru b> 1

Y = ae^bt

Functia exponentiala pentru 0<b<1

Y = ab^t

Parametrii functiei se determina prin rezolvarea unui sistem de ecuatii.

Functia exponentiala uniforma simpla

Aceasta metoda presupune, fie detinerea unor date privind evolutia anterioara a fenomenului, pe baza careia se realizeaza previziunea, de tipul: F(t+1, t) = Y(t) fie, o previziune anterioara bruta, naiva de tipul: F(t, t-1) = Y(t) fie ambele si atunci se realizeaza un mixaj de tipul: sau F(t+1,t) = F(t,t-1) + (Y(t)) - F(t,t-1), adica previziunea initiala plus multiplicat cu eroarea din previziunea initiala.

Metoda se mai numeste "exponentiala constanta simpla" si se utilizeaza de regula pentru previziunea cantitatilor care sunt mai mult sau mai putin stationare, cum ar fi cererea pe piata pentru produse standard sau stocurile de produse.

Problemele pe care le ridica aceasta metoda sunt: alegerea constantei si alegerea previziunii initiale, naïve F(1,0), motiv pentru care metoda poate fi considerata a fi cu doi parametrii, respectiv si F(1,0).

Metoda se bazeaza pe ideea ca, cu cat datele sunt mai vechi, cu atat devin mai putin importante si trebuie sa li se acorde o pondere mai mica. De obicei un model exponential da o evolutie in declin a ponderii datelor observate. Aceasta pondere in declin poate fi obtinuta numai daca se utilizeaza ultimele observatii (cele mai recente) pentru previziunea perioadei urmatoare.

Se determina o noua previziune prin admiterea unei proportii a a ultimelor observatii, sau a previziunii naive si se adauga o proportie 1-a previziunilor urmatoare.

F_t+1= aY_t + (1 - a ) F_t

Unde: a= constanta pantei, care de regula ia valori intre (0,1 - 0,2)

Valoarea data constantei α este importanta in analiza sensitivitatii previziunilor, α fiind elementul de balance intre datele previzionate si ultimele observatii. Pentru a obtine previziuni mai fidele (veridice) α este mai mare (0,3 - 0,35), iar pentru previziuni mai brute α este mai mic (0,05 - 0,1).

De regula insa, se lucreaza cu un compromis intre o previziune fidela si una bruta. Previziunile fidele urmeaza mai clar fluctuatiile aleatoare.

Functia exponentiala uniforma dubla

Ca si media mobila, functia exponentiala uniforma dubla are o alura liniara crescatoare. Literatura de specialitate ofera mai multe abordari ale acestei functii, dar cele mai cunoscute sunt: metoda Brown cu un parametru si metoda Holt cu doi parametrii.

Metoda Brown cu un parametru

Se porneste de la exponentiala constanta simpla si se calculeaza constanta, notata cu S (t), adica o serie de timp la momentul t.

S1 (t) = Y(t) + (1-) S1(t-1) unde S1 are rolul F(1,0) din exponentiala constanta simpla.

Urmand iteratiile ca si in cazul mediilor mobile, se calculeaza constanta S2 (t).

S2 (t) = S1(t) + (1-) S2(t-1), adica se "uniformizeaza" datele "uniforme". Se calculeaza a(t) si b(t): a(t)= 2S1(t) +S2(t); b(t)= (S1(t)-S2 (t)-/ (1-) si se previzioneaza datele utilizand relatia: F(t+m, t) = a(t) +b(t) m; unde: m = numarul de perioade de previziune.

Metoda Holt cu doi parametrii

Se porneste de la ideea unei functii liniare de forma F(t) = a+bt

Se cauta sa se estimeze si sa se uniformizeze panta b. Daca exista o valoare a pantei la (t-1), adica b(t-1) si o valoare a nivelului unei serii la acelasi moment de timp, adica S(t-1), atunci se previzioneaza nivelul la momentul t.

S(t-1) +1b(t-1)=S(t-1)+b(t-1)

Sunt necesare deci valorile observate ale seriei si panta observata.

Prima ecuatie de uniformizare va fi: S(t) = Y(t) + (1-) (S(t-1)+b(t-1))

Apoi se uniformizeaza panta, utilizand diferenta de nivel a punctelor adiacente ca fiind "date actualizate": b(t) = Parametrii functiei sunt deci: si , iar functia de previziune ia forma:F(t+m, t)=S(t) +b(t)m, unde m este numarul de perioade de previziune.

Functia exponentiala pentru serii sezoniere

Cea mai mare problema a seriilor sezoniere este "uniformizarea" acestora. Una dintre metodele renumite utilizate in previziuni este metoda lui Winter (1960) ¹⁾.

Metoda consta in aplicarea urmatoarei formule: Previziunea (de timp) = (nivelul datelor observate + panta x timpul) x factorul sezonier (de timp)

Trebuie sa se cunoasca lungimea sezonalitatii L care este un numar de perioade in ciclu. De exemplu, daca ciclul este lunar, intr-un an sunt L=12 perioade.

Aceste perioade se actualizeaza prin "uniformizare". Notam: S(t) seria de timp, b(t) panta, I(t) factorul sezonier, similar unui factor de discontare sau actualizare, parametrul de uniformizare, parametrul de uniformizare, parametrul de uniformizare

S(t) = Y(t)/I (t-L) + (1-)(S(t-1)+b(t-1)) uniformizarea seriei de date

b(t) = (S(t) -S(t-1) + (1-) b(t-1) uniformizarea trendulului

I(t)= Y(t)/S(t) +(1- ) I(t-L) care estimeaza factorul sezonier

F(t+m)=(S(t) +b(t) m) I(t-L+m) functia de previziune pentru m perioade

Regresia simpla si regresia multipla

Regresia simpla (functia liniara)

Cand se stabileste o relatie cauzala intre variabile, datele observate urmeaza o functie liniara, de tipul: y= a + bx; unde : y= variabila dependenta; x= variabila independenta; a, b= coeficienti sau parametrii functiei. Coeficientul a se numeste constanta regresiei, iar coeficientul b este coeficientul de panta ("slope"). Daca relatia dintre x si y este directa, b>0 (pozitiv), daca relatia dintre x si y este inversa, b<0 (negativ).

In vederea previzionarii datelor pentru perioada urmatoare (prin extrapolare sau interpolare) este necesar a se determina parametrii functiei a si b. Cea mai utilizata metoda de determinare a parametrilor functiei este "metoda celor mai mici patrate".Pentru a se previziona un fenomen sau o marime, datele observate se pot reprezenta grafic si se traseaza dreapta "de regresie previzionala" printre puncte, determinandu-se diferentele sau eroarea (E). Metoda celor mai mici patrate presupune ca dreapta de regresie minimizeaza suma patratelor diferentelor verticale, sau a erorilor pentru datele observate y_i.

Succint, prin metoda celor mai mici patrate, dreapta de regresie pentru setul de perechi (x,y) de date observate, minimizeaza: S (Y- Ŷ)² sau S E², unde E = - Ŷ con-siderand Ŷ= a+bx si inlocuind avem: S Y- (a+bx) S(Y-a-bx)²

Pentru a minimiza patratul diferentei se utilizeaza ecuatiile normale, prin rezolvarea simultana a sistemului de doua ecuatii:

S y=na + bSX

SXy=aSX + bSX²

unde n=numarul de perechi observate x si y.

2.2. Regresia multipla

Regresia multipla implica mai mult de o variabila independenta. Daca previziunea sau variabila dependenta Y depinde de 3 variabile independente, forma functiei de regresie multipla va fi:

Y= a + bX₁ + cX₂ + dX₃ + m

unde, a, b, c, d coeficientii functiei liniare; m = termenul reziduu, care include efectul net al altor factori; X₁, X₂, X₃ variabilele independente. Calcularea manuala a coeficientilor regresiei multiple este laborioasa, dar sistemele computerizate contin soft-uri de calcul statistic care pot calcula coeficientii, erorile standard, valoarea totala a functiei Y, intervalele de incredere ale dreptei de regresie si altele.

Alte tipuri de functii

3.1. Functia logaritmica si semilogaritmica

Daca datele observate se aseaza intr-o forma logaritmica acestea iau forma Y= a ln X

Unde a = parametrul functiei si se determina dupa relatia:

Daca se aseaza conform functiei semilogaritmice, acestea iau forma Y= a +b ln X

Unde a, b sunt parametrii functiei si se determina din sistemul de ecuatii:

3.2. Functia hiperbolica

Uneori datele observate se aseaza in forma functiei hiperbolice. Functia poate avea forma:

3.3. Functia logistica

Daca datele se aseaza pe o scara verticala si orizontala ca o exponentiala modificata de tipul unei curbe de frecventa asimetrica, dupa alura din fig. nr.9. , atunci forma functiei este logistica si ia forma:

Unde k este o constanta care poate fi determinata iterativ sau poate fi data exogen, dar k > YX.

3.4. Functia Gompertz

Daca forma functiei are alura unei functii exponentiale modificate pe o retea semilogaritmica, atunci datele urmeaza o repartitie Gompertz, de forma:

Programarea lineara si programarea multiobiectiv

In previziunea pe termen lung intervin probleme complexe, de mari dimensiuni, care contin un numar mare de variabile, de interconexiuni si interactiuni, precum si o serie de restrictii sau limitari. Analiza multicriteriala evita variantele conflictuale si permite ordonarea variantelor pe o scara crescatoare sau descrescatoare. Dintre metodele mai des utilizate sunt: programarea lineara si programarea multiobiectiv si metoda de comparare a perechilor.

4.1. Programarea lineara

Aceasta metoda se bazeaza pe aplicatiile cercetarilor operationale, in special pe programare.

Programarea liniara este o tehnica a matematicii care optimizeaza alocarea resurselor deficitare si este utilizata mai ales in previziunea mix-ului de marketing, planificarea productiei, modelarea financiara a firmei. Sub aspect financiar poate fi considerata ca o extensie a analizei cost-volum, datorita numarului mare de interactiuni si constrangeri. Programarea liniara poate fi utilizata atunci cand: problema poate fi expusa in termeni numerici; toti factorii implicati sunt intr-o relatie liniara; (de exemplu: O piesa necesita 5 ore manopera, 2 piese 10 ore manopera); problema permite alegeri intre cursurile alternative ale evolutiei actiunilor;se identifica restrictii (constrangeri) asupra factorilor implicati; problema trebuie sa permita exprimarea intr-o forma standardizata pentru a defini clar: obiectivul si limitele. In termeni matematici problema implica stabilirea obiectivului care poate fi maximizat sau minimizat (exemplu: maximizarea profitului, maximizarea valorii prezente nete, minimizarea costurilor, etc.).

Daca problema a fost exprimata in forma standardizata poate fi rezolvata prin doua metode: metoda grafica, atunci cand functia are doua variabile si metoda simplex, atunci cand functia are trei sau mai multe variabile.

a. Metoda grafica

Acesta metoda este simpla si usor de aplicat. Abordarea cuprinde urmatoarele aspecte: se utilizeaza numai cand functia obiectiv are 2 variabile; desi teoretic numarul de restrictii nu este limitat, dar intrucat fiecare restrictie reprezinta o linie intr-un grafic, numarul de restrictii in practica se limiteaza la o cifra rezonabila pentru a nu incarca graficul si a face dificila citirea; maximizarea problemei permite restrictii de tipul "mai mare sau egal", iar minimizarea restrictii de tipul "mai mic sau egal"; axele graficului reprezinta cele 2 variabile si fiecare restrictie este desenata ca o linie dreapta pe grafic. Aria de pe grafic care nu contravine nici unei restrictii se numeste "zona fezabila"; solutia optima este la restrictia care delimiteaza "zona fezabila". In probleme de maxim, punctul optim se afla in dreapta zonei fezabile, iar in probleme de minim in stanga zonei fezabile. Solutia se citeste direct de pe grafic.

b. Metoda Simplex

Aceasta metoda presupune o rezolvare aritmetica iterativa si poate fi utilizata in probleme cu orice numar de necunoscute si restrictii (zeci, sute). In cazul unui numar mare de variabile si restrictii se utilizeaza softuri speciale pe calculator. Metoda presupune: exprimarea problemei in forma standardizata; construirea tabelului Simplex, interpretarea solutiilor.

4.2. Programarea multiobiectiv

Pentru rezolvarea problemelor de tip multiobiectiv se utilizeaza softuri speciale pe PC. Metoda ELECTRE este una dintre cele mai cunoscute, dar specialistii in domeniu continua cercetarile pentru a descoperi noi metode si tehnici. Metoda ELECTRE consta in calculul a doi indicatori: indicatorul de concordanta si indi-catorul de discordanta^. Considerand doua variante Vi si Vj, se calculeaza indicatorii pentru indicatorii de concordanta, in care, K_h este coeficientul de importanta al criteriului h si Cij multimea criteriilor h pentru care: a_ih > a_jh este criteriu de maxim; a_ih < a_jh este criteriu de minim; Dij = multimea criteriilor pentru care a_js > a_is, daca Cs este criteriu maxim a_js < a_is, daca Cs este criteriu de minim. In continuare se aplica teoria grafurilor, tinand cont de restrictii.