PROBABILITATI CONDITIONATE

PROBABILITATI CONDITIONATE

Definitie

Fie (K,P) un camp de probabilitate si A, B K, cu P(A) > 0. Probabilitatea :

P(B /A) = P_A(B) =

Se numeste probabilitate conditionata a evenimentului B de evenimentul A.

Propozitie (Regula de inmultire a probabilitatilor)

Daca P(A) > 0 si P(B) > 0 atunci:

P( A B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Daca avem un sir de evenimente (A_i)_i=1,m , fiecare cu probabilitatea nenula, are loc formula:

P(P(A₁).P(A₂/A₁).P(A₃/A₁A₂).P(A₄/A₁A₂A₃)P(A_m/A₁A₂A_m-1)

Tema seminar : sa se demonstreze formula anterioara

Propozitie (Formula probabilitatii totale)

Daca evenimentele A₁, A₂, ,A_m realizeaza o partitie a evenimentului sigur si daca B este un eveniment oarecare al campului (K,P), atunci:

P(B) =

Propozitie (Formula lui Bayes)

Daca evenimentele A₁, A₂, ,A_m realizeaza o partitie a evenimentului sigur si daca B este un eveniment pentru care P(B) > 0, atunci are loc egalitatea:

P(A_i / B) =

Exemple:

1. In depozitul unui magazin se gaseste acelasi articol provenit de la 3 furnizori a_i, in proportie de 40%, 50%, si respectiv 10%. Se stie ca probabilitatea ca un articol sa fie defect in cazul in care provine de la a₁ este de 0,01 , de la a₂ este de 0,02, iar de la a₃ este de 0,01. Sa se afle probabilitatea ca un articol ales la intamplare din depozit sa fie :

a)      defect

b)      defect, stiind ca el a fost livrat de furnizorul a₁ sau de furnizorul a₂

c)      defect si sa provina de la furnizorul a₁

2. Fie A evenimentul ca un produs examinat sa aiba defectul de fabricatie d si fie B evenimentul ca un anumit test al defectului d sa indice ca produsul examinat are defectul d. presupunem ca un stfel de test exista si si P(B/A) = 0,95 si P( = 0,95.

a)      sa se calculeze probabilitatea P(A/B) ca un produs testat sa fie defect, avand defectul d, stiind ca P(A) = 0,005

b)      Daca P(B/A) = P(= q si P(A) = 0,005, sa se afle q astfel incat P(A/B) = 0,95.

EVENIMENTE INDEPENDENTE

Definitie

Evenimentele A si B apartinand aceluiasi camp de probabilitate sunt independente daca

P(A B) = P(A) . P(B)

In caz contrar, spunem ca evenimentele A si B sunt dependente.

Teorema 1

Daca A si B sunt evenimente independente atunci ele se pot realiza simultan. ( A B ).

Teorema 2

Daca A si B sunt evenimente independente, atunci sunt independente si perechile: A si , si B, si .

Exemplu:

Se expun pentru vanzare 2 produse a₁ si a₂ care se vand cu probabilitatile 0,8 respectiv 0,7. Sa se calculeze probabilitatea de a se vinde:

a)      ambele produse

b)      nici un produs

c)      cel putin un produs

d)      numai un produs

Fie A₁: evenimentul "se vinde produsul a₁"

A₂: evenimentul "se vinde produsul a₂"

P(A₁) = 0,8 , P(A₂) = 0,7 si evenimentele A₁ si A₂ sunt independente.

a) Fie A: evenimentul "se vand ambele produse" ( se vinde si a₁ si a₂)

A = A₁ A₂

P(A) = P(A₁ A₂) = P(A₁).P(A₂) = 0,8 x 0,7 = 0,56

b)      B = evenimentul " nu se vinde nici un produs" ( nu se vinde a₁ si nu se vinde a₂)

B =

P(B) = P() = P( ).P() = [1- P(A₁)][1-P(A₂)] = 0,2 x 0,3 = 0,06

c)      Fie C : evenimentul " se vinde cel putin un produs" ( se vinde fie a₁ fie a₂)

C = A₁ A₂

P( C ) = P(A₁ A₂) = P(A₁) + P(A₂) -P(A₁).P(A₂) = 0,8 + 0,7-0,8 x 0,7 = 0,94

d)      Fie D: evenimentul " se vinde numai un produs" ( se vinde a₁ si nu se vinde a₂ sau se vinde a₂ si nu se vinde a₁)

D = (A₁) (A₂ )

P(D) = P[(A₁) (A₂ )] = P(A₁)P() + P()P(A₂₎ = 0,8 x 0,3 + 0,2 x 0,7 = 0,38

Probleme propuse :

1. O societate comerciala apeleaza la 3 experti pentru a oferi solutii viabile de rentabilizare. Din datele statistice, se stie ca expertii ofera solutii viabile cu probabilitatile 0,8, 0,7 si respectiv 0,6. Sa se calculeze probabilitatea ca :

a)      toti expertii sa ofere solutii viabile

b)      cel putin un expert sa ofere solutii viabile

c)      numai doi experti sa ofere solutii viabile.

2. Se cunosc probabilitatile P(A/D) = 0,3 , P(B/AD) = 0,2 si P(C/ABD) = 0,1. Sa se determine P(ABC/D).

3. Fie P(A/B) = 0,7 , P(A/) = 0,3 si P(B/A) = 0,6. Sa se calculeze P(A) si P(B).
4. Intr-un depozit se aduc piese de un anumit tip de la 3 ateliere. Primul atelier are 2 masini care fabrica aceste piese si dau 3% rebuturi ; al doilea are 2 masini care dau 2% rebuturi iar al treilea are 3 masini care dau 3% rebuturi.

a)      sa se calculeze probabilitatea ca o piesa luata la intamplare din depozit sa fie defecta, daca fiecare masina produce acelasi numar de piese in unitatea de timp ;

b)      din depozit s-a luat o piesa care s-a dovedit a fi defecta. Care este probabilitatea ca piesa sa provina de la al doilea atelier? Dar probabilitatea ca piesa sa provina de la al treilea atelier?

5. Intr-un lot de 48 de piese de acealsi tip sunt defecte 3, iar in alt lot de 50 de piese sunt defecte de asemenea 3 piese. Din fiecare lot se extrag la intamplare cate 3 piese. Sa se calculeze probabilitatea de a obtine primele doua piese bune si a treia defecta din primul lot si 3 piese bune din al doilea lot.
6. Trei furnizori aprovizioneaza un magazin cu acelasi produs in cantitati proportionale cu numerele 3,2 si 5, iar calitatea produsului este necorespunzatoare in proportie de 1%, 2,5% respectiv 3%. O cantitate vanduta in valoare de 6.300 lei se restituie magazinului, in baza contractului de garantie ; aceasta suma urmeaza sa se recupereze de la furnizori. In ipoteza ca nu se cunoaste furnizorul produsului necorespunzator, sa se stabileasca in mod echitabil sumele ce urmeaza a fi recuperate de la fiecare furnizor.