ALTE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE

ALTE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE

1. Modele neliniare

1.1.Introducere

Liniaritatea in modelele studiate consta in faptul ca variabila endogena Y se exprima in functie de parametri de estimat printr-o relatie de gradul I.

De exemplu, modelele:

sunt modele liniare. Faptul ca variabilele exogene in modelul (2) figureaza la patrat sau sub forma de produs, nu modifica caracterizarea de model liniar, aceasta referindu-se la parametrii de estimat si nu la variabilele exogene.

In schimb, modelele:

(3)

(4)

in care parametrii de estimat sunt a, a₁, b_1, a_2, b₂ nu mai sunt modele liniare.

In aceste cazuri MCMMP conduce la calcule laborioase. De exemplu, pe modelul (3), suma patratelor erorilor este expresia:

iar ecuatia normala obtinuta este:

(5)

Determinarea parametrului a, solutie a ecuatiei (5), care este o ecuatie transcendenta, nu este posibila sub aceasta forma.

1.2. Liniarizarea. Estimarea parametrilor

Fie modelul     in care A este o constanta si a un parametru de estimat. Prin logaritmare , obtinem:

Notand: , , , , , rezulta modelul: .

Se spune ca am liniarizat modelul. Se aplica MCMMP pe modelul liniarizat si se revine apoi la elementele initiale. Sunt posibile si alte metode de estimare. De exemplu, pe un model neliniar general:

daca functia f este dezvoltabila in serie Taylor intr-un punct de coordonate , atunci se poate da o aproximare liniara a modelului. Proprietatile estimatorilor obtinuti prin aceasta procedura nu prezinta insa garantii.

Studiul modelelor neliniare pune, deci, o serie de probleme referitoare la calitatea estimatorilor, la validitatea previziunilor facute.

1.3. Experienta de calcul

Vanzarile lunare dintr-un produs alimentar inregistrate de o societate comerciala in perioada ianuarie 2004 - iulie 2005 sunt date in tabelul urmator:

Studiem aceasta serie cronologica a vanzarilor cu ajutorul modelului (curba logistica), in care A este o constanta (vanzarile potentiale maxime), iar a si b sunt parametri de estimat.

Liniarizarea modelului. Modelul se scrie sub forma , sau . Prin logaritmare rezulta modelul liniar , unde: , , . Daca presupunem ca vanzarile maxim posibile sunt A=22000, atunci putem calcula , rezultand:

Se aplica MCMMP obtinindu-se estimatorii:

si

Din , rezulta , iar din

, rezulta .

Asadar modelul initial estimat este:

Modele autoregresive

Uneori in studiul unui fenomen economic, alaturi de valorile luate de o variabila endogena la momentul t intervin si valorile luate de aceasta variabila la momente anterioare t-1, t-2, , t-h. In acest caz este vorba despre un proces autoregresiv.

Modelul de scrie:

sau, daca in model exista si variabile exogene:

Aplicarea metodelor de estimare obisnuite (MCMMP) acestor modele conduce la estimatori care nu mai au aceleasi proprietati ca in cazul modelului liniar general.

Procesul autoregresiv de ordinul intai

Consideram modelul:

(1) , t=1,2,,T

si modelul regresiei simple:

(2) , t=1,2,,T

Presupunem ca erorile e_t verifica conditiile clasice:

t , daca

MCMMP aplicata modelului (1) in care y_t-1 este considerata ca o variabila exogena, conduce la estimatorul:

iar prin aceeasi metoda, aplicata modelului (2) se obtine estimatorul:

Chiar daca cele doua expresii par similare, estimatorii nu poseda aceleasi proprietati (mai ales pe esantioane mici). In timp ce este o expresie liniara in y_t, deci si in e_t, se exprima ca un raport de forme patratice in y_t. Folosind modelul (1) si exprimand y_t in functie de e_t, se ajunge la relatia:

(3)

Expresia ne arata ca distributia variabilei endogene y_t depinde de distributia erorilor e_t, dar si de distributia lui y₀. Printre cazurile frecvent studiate sunt cele pentru care y₀=constant, coeficientul a putand lua astfel orice valoare reala pozitiva sau negativa.

daca |a|<1 se spune ca procesul autoregresiv este stabil;

daca |a|=1 (caz putin utilizat) procesul nu a primit un nume;

daca |a|>1, procesul se numeste exploziv.

Cel mai adesea se studiaza cazul stabil, dar nici cazul exploziv nu trebuie neglijat, atunci cand se studiaza in economie fenomene in expansiune.

Stabilitate si stationaritate

Se spune ca un proces este stationar atunci cand momentele sale sunt independente de timp. Daca sunt independente de timp doar momentele de ordinul doi, se spune ca procesul este stationar de ordinul doi. Stationaritatea de ordinul doi este suficienta pentru a demonstra proprietatile importante ale estimatorilor.

Propozitie: orice proces autoregresiv de ordinul intai, stationar este un proces stabil (adica |a|<1).

Demonstratie:

Fie modelul    ,

Procesul este stationar daca

Aplicand operatorul de medie rezulta:

Dar , asa ca relatia devine:

si cum , rezulta

Calculam acum :

Deorece e_t nu este corelat cu y_t-1(vezi ipotezele fundamentale) inseamna ca si tinand cont si de faptul ca , rezulta:

adica sau

Din conditia evidenta >0, rezulta 1-a²>0 adica |a|<1. Am demonstrat astfel ca stationarea implica stabilitatea.

In acelasi mod se evalueaza si autocovarianta:

Stiind ca rezulta:

,pentru ca y_t si sunt necorelate. Asemanator, vom avea:

, adica s.a.m.d.

In final:

Deoarece este independenta de timp, la fel este si autocovarianta .

Propozitie: Orice proces autoregresiv de ordinul intai, stabil (<1) tinde catre un proces stationar cand

Demonstratie

Am vazut anterior ca procesul autoregresiv de ordinul intai se poate dezvolta in forma (3). Aplicand operatorul de medie expresiei (3), rezulta:

Cum |a|<1, rezulta ca cand , adica

Un calcul simplu arata ca:

, rezultand ca

Dar y₀ = constant, |a|<1 si atunci , adica exact varianta procesului stationar. In mod asemanator se arata ca:

cand .

Prin urmare, daca studiem un proces stabil, momentele procesului tind catre momentele procesului stationar, daca .

2.3. Proprietatile estimatorilor

Estimatorii obtinuti cu MCMMP pe un process autoregresiv de ordinal intai au urmatoarele proprietati:

a) Estimatorul converge in probabilitate catre a ( si in cazul stabil si in cazul exploziv);

b) Expresia are o distributie normala in cazul stabil;

c) Expresia are o distributie limita normala ( in ambele tipuri de procese).

Aceste proprietati sunt demonstrabile in cazul y₀= constant.

Interesul pentru procesele autoregresive de ordinal intai este generat de faptul ca atunci cand se studiaza modele econometrice cu erori corelate, de regula, erorile urmeaza un process autoregresiv.