VARIABILE ALEATOARE

VARIABILE ALEATOARE

In multe experimente, realizarilor unui experiment i se pot atasa valori numerice.

De exemplu, daca aruncam un zar, la fiecare aruncare putem obtine una din fetele 1 pana la 6.

Rezultatul experimentului "sustinerea examenului la matematica" efectuat de un student din anul I este un numar, de la 0 la 10.

O variabila aleatoare este o regula care asociaza un numar fiecarei realizari a unui experiment. Aceste numere se numesc valorile variabilei aleatoare.

DEFINITIE:

Se numeste variabila aleatoare, o marime care in urma unei experiente poate lua o valoare dintr-o multime bine definita, numita multimea valorilor posibile.

Pentru variabile aleatoare vom folosi prescurtarea v.a.

Valorile pe care le poate lua o variabila aleatoare se cunosc numai dupa efectuarea experimentului.

Variabilele aleatoare se noteaza cu litere mari de la sfarsitul alfabetului, X, Y, Z,etc, iar valorile pe care le pot lua variabilele aleatoare cu litere mici.

Exemple
1. Experiment: Selectarea unei banci; X = numarul clientilor bancii.
Valorile pe care le poate lua X sunt 2, 3, 4,

Experiment: Selectarea unui jucator de fotbal; Y = numarul golurilor inscrise in acest sezon.
Valorile pe care le poate lua Y sunt 0, 1, 2, 3,

Experiment: Selectarea unui grup de 10 jucatori de fotbal; Z = numarul mediu de goluri inscrise de jucatori in acest sezon.
Valorile pe care Z sunt 0; 0,1; 0,2; 0,3; .; 1,0; 1,1,

Exercitiul 1: Top of Form

Experiment: Se arunca o moneda de 3 ori. ;X = numarul de ori de care poate aparea "pajura". Valorile pe care le poate lua X sunt:

a) 1,2,3,4 d) CPP, PCP, PPC, CPC, PCC, CCC

b) 1,2,3 e) nedefinit

c) 0,1,2,3 f) 0.5, 1.5, 2.5, 3.5

Experiment: Se arunca 2 zaruri. X = suma numerelor care apar pe fetele zarurilor. Valorile pe care le poate lua X sunt:

a) 1,2,3,4,.12    d) 0,1,2,.12

b) 2,4,6,8,10,12    e) nedefinit

c) 1,2,3,4.    f) 2,3,4,.12

Experiment: Se arunca un zar pana apare fata 6; X = numarul de aruncari. Valorile pe care le poate lua X sunt:

a) 1,2,3,4,.12    d) 0,1,2,.

b) 2,4,6,8,10,12    e) nedefinit

c) 1,2,3,4.    f) A,B,C,D,.

VARIABILE ALEATOARE DISCRETE SI CONTINUE

DEFINITIE

Daca multimea valorilor posibile pe care le poate lua o v.a. este discreta (valori numerice specifice sau izolate), v.a. se numeste discreta.

V.a. discrete care pot lua un numar exact de valori finite se numesc v.a. finite sau simple. (de ex. Reultatul aruncarii unui zar)

V.a. discrete care pot lua un numar nelimitat de valori finite se numesc v.a. discrete infinite. ( de ex. Numarul de stele estimate a exista in univers)

Daca multimea valorilor posibile este continua (un interval finit sau infinit din multimea numerelor reale), v.a. se numeste continua. (de ex. Inaltimea unui atlet in cm)

Bottom of Form

DISTRIBUTIA DE PROBABILITATE A UNEI VARIABILE ALEATOARE

(REPARTITIA UNEI V.A. SIMPLE)

Experienta: Se arunca 2 zaruri.

Fie v.a. X = suma fetelor care apar la aruncarea a 2 zaruri.

Dorim sa obtinem informatii despre conditiile in care X ia diverse valori posibile.

Evenimentul X = 2 este    
Evenimentul X = 3 este
Evenimentul X = 4 este
si asa mai departe.

Fiecarui eveniment I se poate calcula probabilitatea de aparitie.

Numarul total de evenimente posibile egal probabile = 6² = 36

Exercitiul 3:

Sa se calculeze urmatoarele probabilitati:

P(X = 1) =

P(X = 2) =

P(X = 3) =

P(X = 5) =

Rezultatele calculului tuturor probabilitatilor evenimentelor care pot aparea la aruncarea a 2 zaruri pentru v.a. X se scriu sub forma:

X :

Exercitiul 4:

Experienta: Se arunca o moneda de 4 ori.

Exista 16 rezultate posibile: ( am notat C = cap si P = pajura)

CCCC, CCCP, CCPC, CCPP, CPCC,CPCP, CPPC, CPPP, PCCC, PCCP, PCPC, PCPP, PPCC,PPCP, PPPC, PPPP.

Fie v.a. X = numarul de aparitii ale lui C (cap)

a)      ce valori poate lua variabila aleatoare X?

b)      Sa se cacluleze probabilitatile de aparitie ale fiecarei valori pe care le poate lua X

DEFINITIE

Se numeste repartitie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare precum si a probabilitatilor corespunzatoare.

Fie v.a. X si x_i valorile posibile pe care aceasta le pote lua. i = 1,2,.n

Fie E_i evenimentul ca v.a. X sa ia valoarea x_i. ( X = x_i), i = 1,2,.n

Si P(E_i) = P(X=x_i) = f(x_i) = p_i probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valoarea x_i.

(am notat cu f(xi) functia de probabilitate).

Multimea perechilor ordonate ( x_i, f(x_i)) se numeste repartitia variabilei aleatoare discrete X.

Proprietatile functiei de probabilitate:

f(x_i) 0, oricare i=1, 2,.n

, deoarece E_i = (X=x_i) este un sistem complet de evenimente.

TEMA:

Un sondaj efectuat pe toate mall-urile din Romania a avut urmatoarele rezultate in ceea ce priveste numarul de sali de cinematograf existente:

Notam cu X = numarul de sali de cinema dintr-un mall ales la intamplare.

Sa se cacluleze repartitia v.a. X.

In tabelul de mai jos sunt sintetizate rezultatele statistice ale profitului obtinut de un numar de 50 de firme din industria constructiilor.

Sa se calculeze repartitia variabilei X care caracterizeaza profitul unei firme aleasa la intamplare.

R: X :      

OPERATII CU VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

Definitie:

Doua variabile aleatoare X si Y se numesc independente daca evenimentele

(X = x_i) si (Y = y_j), care au probabilitatile de aparitie p_i respectiv q_j, cu i = 1,2,.n si j=1,2,.,m sunt independente.

Atunci:

P [ (X = x_i); ( Y = y_j)] = P [ (X=x_i) (Y = y_j)] = p_ij = p_i x q_j

a)      Inmultirea cu o constanta

Fie c = ct., c R, si X o v.a. discreta finita (simpla) cu repartitia (x_i, f(xi)), i =

Atunci:

cX are repartitia (cx_i, f(x_i)), i = deoarece P(cX = cx_i) = P(X = x_i) = f(x_i).

sau daca X : atunci cX :

Exemple:

Fie X :

Sa se calculeze repartitia v.a. 3X

3X :

b)      Adunarea

Fie X si Y doua variabile aleatoare discrete finite (simple) cu repartitiile (x_i, f(xi)), i = respectiv (y_j, g(y_j)), j = .

Atunci :

X + Y are repartitia (x_i + y_j, h(x_i,y_j )) cu i = si j = , unde:

h(x_i,y_j ) = P ( ) = P(X=x_i, Y = y_j) cu i = si j =

Caz particular

Daca X si Y sunt v.a. independente atunci X + Y are repartitia (x_i + y_j, f(x_i).f(y_j)), cu i = si j =

Exemple:

1. Fie X si Y v.a. discrete finite (simple) cu urmatoarea repartitie comuna

Sa se calculeze repartitia va X + Y

V.a. X + Y poate lua valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( adica x_i + y_j)

Trebuie sa calculam probabilitatile cu care v.a. X + Y poate lua aceste valori ( adica h(x_i,y_j):

P(X + Y =1) = P(X=0 si Y=1) =

P(X + Y =2) = P(X=0 si Y=2) sau P(X=1 si Y=1) =

P(X + Y = 3) = P(X=0 si Y=3) sau P(X=1 si Y=2) sau P(X=2 si Y=1) =

P(X + Y = 4) = P(X=1 si Y=3) sau P(X=2 si Y=2) sau P(X=3 si Y=1) =

P(X + Y = 5) = P(X=2 si Y=3) sau P(X=3 si Y=2) = 0 + 0 = 0

P(X + Y = 6) = P(X=3 si Y=3) = 0

X + Y :

2. Sa se calculeze suma va independente X si Y unde:

X: si Y :

X + Y :

X + Y :

X + Y :

c)      Inmultirea

Fie X si Y doua variabile aleatoare discrete finite (simple) cu repartitiile (x_i, f(xi)), i = respectiv (y_j, g(y_j)), j = .

Atunci :

X .Y are repartitia (x_i y_j, h(x_i,y_j )) cu i = si j = , unde:

h(x_i,y_j ) = P ( ) = P(X=x_i, Y = y_j) cu i = si j =

Caz particular

Daca X si Y sunt V.A. independente atunci XY are repartitia (x_iy_j, f(x_i).f(y_j)), cu i = si j =

Exemple

1. Fie X si Y variabile aleatoare discrete finite (simple) cu urmatoarea repartitie comuna

Sa se calculeze repartitia v.a. XY

V.a. XY poate lua valorile 0,1, 2, 3, 4, 6, 9 ( adica x_iy_j)

Trebuie sa calculam probabilitatile cu care v.a. XY poate lua aceste valori ( adica h(x_i,y_j):

P(XY =0) = P(X=0 si Y=1) sau P(X=0 si Y=2) sau P(X=0 si Y+3)=

P(XY =1) = P(X=1 si Y=1) = 0

P(XY =2) = P(X=1 si Y=2) sau P(X=2 si Y=1) =

P(XY =3) = P(X=1 si Y=3) sau P(X=3 si Y=1) =

P(XY =4) = P(X=2 si Y=2) =

P(XY =6) = P(X=2 si Y=3) sau P(X=3 si Y = 2)= 0 + 0

P(XY =9) = P(X=3 si Y=3) = 0

XY :

2. Sa se calculeze suma v.a. independente X si Y unde:

X: si Y :

X + Y :

X + Y :

X + Y :

d)      Ridicarea la putere a unei v.a.

Fie r R, si X o v.a. discreta finita (simpla) cu repartitia (x_i, f(xi)), i =.

Atunci

X^r are repartitia (x_i^r, f(x_i)), i =.

Exemplu:

Sa se calculeze repartitia v.a. X², unde X:

X² =

e)      Impartirea

Fie X si Y doua variabile aleatoare discrete finite (simple) cu repartitiile (x_i, f(xi)), i = respectiv (y_j, g(y_j)), j = .

Atunci :

are repartitia (, h(x_i,y_j )) cu i = si j = , unde:

h(x_i,y_j ) = P ( ) = P(X=x_i, Y = y_j) cu i = si j =

Caz particular

Daca X si Y sunt v.a. independente atunci v.a. are repartitia (_, f(x_i).f(y_j)), cu i = si j =

Exercitii propuse:

1. Sa se determine ppentru care X : reprezinta o variabila aleatoare discreta. este :

R: p =

2. Sa se determine p>0 astfel incat X sa reprezinte o variabila aleatoare discreta, unde X : :

R: p =

3. Sa se afle x astfel incat variabila aleatoare X sa aiba repartitia: X :

R: x =

4. Variabilele aleatoare X si Y au repartitiile:

X : si Y :

Sa se determine p si q astfel incat X si Y sa reprezinte doua variabile aleatoare:

R : p = si q = 0

5. Daca variabila aleatoare X are repartitia X : , atunci cariabila aleatoare 2X are repartitia:

R: 2X:

6. Daca variabila aleatoare X are repartitia X : , atunci cariabila aleatoare X² are repartitia:

R: X² :

7. Daca variabila aleatoare X are repartitia X : atunci variabila aleatoare 2 + X are repartitia:

R: 2+X :

8. Daca variabila aleatoare X are repartitia X : atunci variabila aleatoare -X are repartitia:

R:     -X :

9. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente cu repartitiile:

X : si Y : atunci variabila aleatoare X² + Y² are repartitia:

R:    

10. Fie X si Y v.a. simple cu repartitiile:

X :     si Y :

a) Daca P( X = -1 si Y = -1) = sa se afle repartitia comuna a v.a. X si Y

b) sa se calculeze X + Y, XY, 2X si Y²