Bazele aritmetice ale informaticii economice si de afaceri

Sisteme de numeratie

Prin sistem de numeratie intelegem totalitatea regulilor folosite pentru scrierea numerelor, cu ajutorul simbolurilor numite cifre. Sistemele de numeratie se pot clasifica in :

Sistemele de numeratie nepozitionale

- ex. Sistemul roman

Sistemele de numeratie pozitionale

- ex. Sistemul arab

Intr-un sistem de numeratie pozitional , numarul unitatilor de acelasi ordin de marime care formeaza o unitate de ordin imediat superior se numeste baza sistemului de numeratie. Numarul simbolurilor (cifrelor) necesare pentru scrierea numerelor intr-un sistem de numeratie este egal chiar cu baza acelui sistem.

Sisteme de numeratie zecimal, binar, octal si hexazecimal

In sistemul de numeratie arab, fiecare grup de zece indivizi (unitati) formeaza cate o zece (nota cu 10), 10 grupe de zeci formeaza o suta (notata cu 100), s.a.m.d. Pentru scrierea numerelor sunt folosite cifrele zecimale obisnuite, notate de la 0 la 9. Putem dezvolta acest sistem de numeratie folosind nu numai baza 10 (binecunoscuta tuturor), ci si alte baze de numeratie.

Scrierea numerelor naturale intr-o baza b

Fie b din N, b > 1, un numar natural numit baza de numeratie. Intreaga teorie aritmetica a reprezentarii numerelor in baza b este fundamentata pe urmatoarea teorema :

Teorema : pentru orice numar natural nenul x, exista in mod unic un numar  natural n, numit rang si n + 1 numere naturale c₀, c1, , cn, numite cifre in baza b, care satisfac relatiile :

x = c_nbⁿ + c_n-1b^n-1 + +c₁b + c₀

c_i apartine

cn <> 0

Pentru exemplificare sa consideram numarul :

x = 3235₍₁₀₎ = 12301₍₇₎ = CA3₍₁₆₎

Daca este scris in baza 10, avem x = 3*10³+2*10²+3*10+5. Deci n = 3, c₀ =5, c₁ = 3, c₂ = 2, c₃ = 3.

In baza 7 avem x = 1*7⁴+2*7³+3*7²+0*7+1. Deci n = 4, c₀ =1, c₁ = 0, c₂ = 3, c₃ = 2, c₄ =1.

In baza 16 avem x = C*16²+A*16+3. Deci n = 2, c₀ =3, c₁ = A, c₂ = C.

Sistemul zecimal este cel mai des utilizat sistem, fiind folosit pe scara larga in viata de zi cu zi in prelucrarea manuala a datelor, precum si in comunicarea cu un sistem de calcul.

Sistemul de numeratie cu baza doi, numit sistem binar, care foloseste cifrele 0 si 1, sta la baza constructiei sistemelor de calcul. Cifrele binare se mai numesc si biti. Sistemul de numeratie cu baza 16, numit sistem hexazecimal, foloseste cifrele :

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

ultimele sase simboluri, de fapt primele sase litere ale alfabetului, scrise fie cu majuscule fie cu minuscule, desemneaza numerele 10,11,12,13,14,15, ca cifre in baza 16.

Relatii intre bazele 2, 8, 16-cifre binare, octale, zecimale, hexazecimale

Avand in vedere faptul ca elementele electronice, dupa cum vom vedea in paragraful urmator, sunt capabile de doua stari stabile, in informatica bazele 2, 8, 16 sunt foarte importante(observam ca aceste baze sunt baze puteri ale lui 2).

Pentru baza 2 spunem ca lucram in sistemul binar, pentru baza 8 in sistemul octal, iar pentru baza 16 sistemul hexazecimal. Evident daca folosim baza 10, suntem in sistemul zecimal.

Reprezentarea numerelor in sistemele de calcul

Exista o constanta prestabilita n care indica pe cati biti se realizeaza reprezentarea. De regula, n este multiplu de 8. 8 biti formeaza un octet sau byte.

Reprezentarea numerelor se face , de regula , pe un numar intreg de octeti. Frecvent , reprezentarile se fac pe un cuvant sau dublucuvant, cuvantul fiind format in mod uzual din 2 sau 4 octeti, iar dublulcuvant din dublul numarului de octeti ai cuvantului.

Reprezentarea semnului numarului se realizeaza cu ajutorul bitului de semn. Prin conventie, bitul de semn are valoarea 0 pentru a indica numar pozitiv si valoarea 1 pentru a indica numar negativ. In cadrul sistemelor de calcul s-a adoptat standardul IEE 754 referitor la forma de prezentare a numerelor. Exista formate distincte pentru prezentarea numerelor intregi si pentru numerele fractionale. De obicei se folosesc forme normalizate, ce sunt compuse din doua parti, una corespunde pentru mantisa si cealalta pentru caracteristica numarului. In functie de numarul de biti folositi la prezentarea mantisei si a caracteristicii putem prezenta numerele cu precizie simpla, cu precizie dubla sau extinsa. In continuare vom exemplifica prezentarea numerelor intregi.

Structura unei locatii de n biti, impreuna cu modul de numerotare a bitilor, este :

Bitul 0 este cel mai putin semnificativ, contine cifra unitatilor in baza 2 si se afla la dreapta locatiei. Bitul 1 este urmatorul ca ordin de semnificatie, contine cifra "zecilor" in baza 2. Continuand mai departe cu bitii spre stanga, ajungem la bitul n - 1 care este cel mai semnificativ si se afla la stanga locatiei de reprezentare.

Relativ la tipurile de numere cu care se opereaza, exista doua conventii(clase) de reprezentare :

Conventia de reprezentare fara semn , in care se opereaza numai cu numere naturale

Conventia de reprezentare cu semn , in care se opereaza atat cu numere pozitive cat si cu numere negative

Ca moduri de descriere a numerelor, vom folosi in principal scrierea binara, dar destul de des o vom folosi si pe cea hexazecimala.