CALCULUL MODAL CU CONSIDERAREA COMPORTARII SPATIALE A STRUCTURILOR

C.1. Generalitati

In cazul constructiilor cu distributie neuniforma a maselor si rigiditatilor elementelor structurale, deplasarile si eforturile se vor determina pe un model spatial de calcul.

Calculul raspunsului seismic structural, reprezentat de eforturi si deplasari, se poate realiza prin integrarea directa a ecuatiilor de miscare sau prin suprapunerea raspunsurilor modale maxime.

Actiunea seismica se schematizeaza prin miscari de translatie variabile in timp ale bazei de rezemare in trei directii ortogonale determinate, descrise prin accelerograme. Aceasta produce oscilatii de translatie si de torsiune. Caracterul nesincron al miscarii seismice aplicate bazei structurii genereaza oscilatii de torsiune chiar si in cazul structurilor teoretic perfect simetrice. In calculul modal cu spectre de raspuns, actiunea seismica se inlocuieste cu spectre de raspuns de proiectare distincte asociate componentelor miscarii.

Miscarea seismica descrisa prin spectrul de raspuns de proiectare trebuie considerata cel putin in directiile principale asociate structurii, pentru care se vor alege doua sensuri de actiune. Directiile principale de actiune sunt definite de directia rezultantei fortei seismice de baza din modul fundamental si de normala pe aceasta directie. Raspunsul structurii se obtine prin combinarea raspunsurilor corespunzatoare celor doua directii de actiune seismica considerate.

Calculul dinamic spatial este necesar in cazul constructiilor de importanta ridicata, precum si pentru constructii care prezinta discontinuitati ale distributiilor elementelor de rezistenta si maselor de nivel. Aceste situatii sunt precizate in capitolul 4. Deasemenea, calculul modal spatial furnizeaza informatii privind conformarea structurala in vederea realizarii unei distributii corecte a elementelor de rezistenta verticale si orizontale, pentru evitarea dezvoltarii unor eforturi si deplasari excesive provenite din torsiunea generala.

Calculul spatial permite o evaluare mai realista a efectelor actiunii seismice in comparatie cu metodele de calcul plan. Prin integrarea ecuatiilor de miscare pentru un set adecvat de accelerograme, calculul dinamic spatial furnizeaza un volum mare de informatii si necesita un efort substantial pentru interpretarea si utilizarea rezultatelor. Din acest motiv, in prezenta anexa se prezinta numai metoda pentru calculul raspunsurilor modale maxime utilizand spectrul de raspuns de proiectare asociat miscarii de translatie a bazei de rezemare. Metoda de calcul cu spectre de raspuns poate fi descoperitoare daca contributiile raspunsurilor modale exprimate prin factori de participare a maselor modale efective au valori sub 0,7. In acest caz, eforturile si deformatiile se limiteaza inferior la valorile furnizate de calculul plan.

Relatiile de calcul sunt stabilite in aceleasi ipoteze si au o forma asemanatoare cu relatiile din sectiunea 4.5.

In cazul structurilor care nu sunt simetrice in raport cu planele verticale xoz si yoz, ecuatiile de miscare si implicit vibratiile structurii sunt cuplate elastic.

Ca urmare, raspunsul sistemului structural la componentele miscarii terenului pe directia x sau y va include urmatoarele deplasari suplimentare: translatii in directiile y sau x, precum si rotirea planseelor in jurul axei verticale oz. Cuplarea vibratiilor modale de translatie si de torsiune se identifica prin valori nenule ale factorilor de participare a maselor modale efective corespunzatoare.

In cazul structurilor simetrice, la care centrele de rigiditate coincid cu centrele maselor, ecuatiile de miscare se decupleaza pentru cele trei directii ortogonale principale de oscilatie. In aceasta situatie, torsiunea generala nu este prezenta.

Efectele produse de rotirea bazei generata de nesincronismul undelor seismice, precum si ale eventualelor distributii neuniforme a maselor, diferite de cele admise in modelele de calcul, se vor obtine prin aplicarea fortelor seismice modale de nivel intr-o pozitie diferita de cea a centrului maselor de nivel si definita de o excentricitate accidentala.

Deplasarile si aceleratiile de nivel sunt raportate la centrul maselor de nivel.

La structurile spatiale elementele verticale si orizontale de la un anumit nivel (stalpi, pereti structurali si grinzi) sunt conectate la plansee care pot fi considerate indeformabile sau deformabile in planul lor. Din aceste considerente, anexa C prezinta procedeele generale de calcul, in scopul utilizarii, cu mici interventii, a oricarui program de calcul automat destinat calculului dinamic liniar spatial.

C.2. Determinarea fortelor seismice, eforturilor si deplasarilor modale

In cazul vibratiilor spatiale, fortele seismice de calcul asociate fiecarui mod de vibratie se stabilesc cu relatii similare relatiilor prezentate in capitolul 4 pentru calculul plan.

Forma deformatei, definita de pozitiile deplasate ale centrelor maselor, este in general o curba stramba in spatiu, ca urmare a cuplajelor generate de distributia neuniforma a rigiditatilor si a maselor. In consecinta, fortele seismice asociate gradelor de libertate dinamica considerate vor avea orientari diferite in raport cu sistemul general de axe in care este descrisa structura, indiferent de directia actiunii seismice. Fiecarui grad de libertate dinamica ii corespunde o componenta, forta seismica statica echivalenta, pentru fiecare mod de vibratie considerat.

La determinarea raspunsului structural la actiuni seismice se pot distinge doua situatii:

structuri cu plansee indeformabile in planul lor,

structuri cu plansee deformabile sau fara plansee.

In general, intr-un punct nodal definit de intersectia a cel putin doua elemente structurale, se considera patru grade de libertate dinamica, trei de translatie pe directiile axelor generale ce definesc structura (u_x, u_y, u_z) si o rotatie in jurul axei normale la baza de rezemare (q_z daca baza de rezemare se gaseste in planul orizontal xOy, cu axa z verticala).

Calculul raspunsului modal spatial la actiuni seismice in cazul prezentei planseelor indeformabile in planul lor se poate efectua in urmatoarele ipoteze :

se neglijeaza cuplajele inertiale,

se neglijeaza influenta componentei verticale a miscarii seismice a terenului,

actiunea seismica este reprezentata prin miscarea terenului pe una din directiile axelor orizontale x sau y, sau intr-o directie oarecare in planul bazei de rezemare,

la fiecare nivel centrele maselor si centrele de rigiditate sunt distincte si se pot afla sau nu pe aceeasi verticala a structurii; prin unirea lor rezulta fie o axa verticala dreapta, fie o linie poligonala stramba in spatiu,

in centrul maselor de la fiecare planseu se considera trei grade de libertate dinamica, doua translatii u_x si u_y in directiile axelelor x si y si o rotire u_q in jurul axei verticale z (fig. C1),

masele se reduc in centrul maselor (fig. C2), rezultand :

mase de nivel

(C1)

momente de inertie ale maselor de nivel in raport cu axa verticala z considerata

(C2)

in care n = numarul de mase discrete concentrate m_i,j sau distribuite pe suprafetele

d_j - distanta de la centrul maselor la pozitia masei concentrate m_i,,j ,

i - indice de nivel, de la 1 la N,

N - numarul total de niveluri ale constructiei.

C.M. = centrul maselor

C.R. = centrul de rigiditate

Figura C.1 Grade de libertate dinamica la nivelul "i" in ipoteza planseului indeformabil in planul sau

Figura C.2

In cazul unei mase distribuite uniform pe o suprafata se obtine:

- masa la nivelul i

- momentul de inertie fata de axa z din centrul de greutate

al suprafetei , al masei distribuite uniform

I_p,_m - momentul de inertie polar al suprafetei fata de centrul sau de greutate.

Pentru un mod de vibratie k, se definesc urmatoarele marimi:

masa modala generalizata in modul de vibratie k

(C3)

in care si sunt componentele din centrul maselor ale vectorului propriu in modul de vibratie k, la nivelul i, pe directiile x, y si z, respectiv.

factorii de participare modali

(C4)

masele modale efective

(C5)

factorii de participare a maselor modale efective (coeficienti de echivalenta

modali)

(C6)

unde

si (C7)

reprezinta masa intregii constructii, respectiv suma momentelor de inertie ale maselor de nivel in raport cu axa verticala z.

In cazul unei actiuni seismice definite printr-un spectru de proiectare (vezi relatia 3.17) asociat unei miscari de translatie a bazei intr-o directie paralela cu axa x se dezvolta urmatoarele forte taietoare de baza modale :

si momentul de torsiune    (C8)

Pentru fiecare mod propriu de vibratie k, pe directiile gradelor de libertate dinamica u_x, u_y, u_q la fiecare nivel, in centrul maselor, se dezvolta urmatoarele forte seismice de nivel static echivalente (figura C3).

(C9)

si momentul de torsiune   

Figura C.3 Forte seismice de nivel static echivalente in modul k de vibratie

Pentru o miscare de translatie a terenului in directia y, reprezentata prin spectrul de proiectare , fortele taietoare modale la baza structurii sunt:

(C10)

In aceasta situatie, fortele seismice modale de nivel static echivalente se obtin cu relatiile (C9) de mai sus.

In cazul unei miscari seismice descrise ca o translatie a terenului intr-o directie avand orientarea a fata de axa x (figura C4), la baza structurii in fiecare mod k de vibratie fortele taietoare de baza se obtin cu relatiile precedente in care

(C11)

Figura C.4

Fortele seismice de nivel static echivalente si rezultantele acestora la baza structurii, pentru fiecare mod k de vibratie se obtin prin sumarea algebrica a fortelor rezultate pentru cele doua componente S_dx si S_dy ale spectrului de proiectare

Pentru structurile care au numai mase discrete si grade de libertate dinamice de translatie independente (fara legaturi indeformabile), se aplica relatiile de calcul de mai sus, in care si .

C.3. Calculul eforturilor si deplasarilor din actiunea seismica

In cazul structurilor spatiale, eforturile si deplasarile se obtin parcurgand urmatoarele etape:

Etapa I consta in:

a)      schematizarea structurii reale si alegerea modelului dinamic prin definirea gradelor de libertate dinamica si a maselor asociate acestora cu relatiile (C1) si (C2)

b)      calculul valorilor, vectorilor proprii si al marimilor modale asociate - mase modale generalizate conform relatiei (C3), factori de participare modala conform relatiei (C4), masele modale efective din relatiile (C5) si coeficientii de echivalenta modali din relatiile (C6) - pentru un numar suficient de moduri proprii de vibratie, r, astfel incat suma coeficientilor de echivalenta modala din relatia (C6) sa indeplineasca conditiile

si (C12)

in care

r - numarul de moduri proprii de vibratie considerate in calcul

GLD - numarul gradelor de libertate de translatie si de rotatie considerate in modelul dinamic (vezi si paragraful 4.5.3.3.1, aliniatele 8, 10 si 11)

Etapa a II-a se refera la determinarea raspunsului structurii pentru fiecare directie principala de actiune seismica considerata, pentru care se parcurg urmatoarele faze:

a)      calculul fortelor seismice static echivalente de nivel pentru fiecare mod propriu de vibratie considerat, 1 k r, conform paragrafului C.2.3, relatiile (C8) si (C9) sau relatiile (C10) si, respectiv, (C11)

b)      calculul static al eforturilor si deplasarilor pentru fiecare din cele r seturi de forte static echivalente obtinute la pasul anterior, aplicate in centrele maselor de nivel

c)      suprapunerea raspunsurilor modale. Raspunsurile modale maxime se combina probabilistic prin una din cele doua reguli cunoscute, SRSS (radical din suma patratelor raspunsurilor modale) sau CQC (combinare patratica completa). In anumite situatii, cand perioadele proprii de vibratie succesive (T_k+1 < T_k ) se afla in relatia T_k+1 0.9 T_k, raspunsurile modale se combina prin adunarea valorilor absolute (abssum).

- regula de combinare SRSS: (C13)

Aceasta regula se va aplica la structuri cu perioade naturale distincte cu contributii semnificative la raspuns.

- regula de combinare ABSSUM: (C14)

Aceasta regula, care presupune obtinerea raspunsurilor modale maxime in acelasi moment de timp, se va aplica la structuri cu perioade naturale foarte apropiate T_k+1 0.9 T_k.

- regula de combinare CQC : (C15)

in care E_E reprezinta eforturile sau deplasarile totale, iar E_E,k si E_E,l reprezinta eforturile sau deplasarile in modurile de vibratie k si l

reprezinta coeficientul de corelatie intre modurile k si l si are valori pozitive ( cu pentru k=l )

Semnele eforturilor, deplasarilor si fortelor seismice static echivalente de nivel obtinute prin suprapunere modala se vor considera identice cu cele obtinute pentru modul fundamental de vibratie.

Etapa a III-a consta in introducerea unui caz suplimentar de incarcare statica, numai cu momente de torsiune la fiecare nivel. Aceste momente de torsiune reprezinta produsul dintre fortele seismice de nivel si marimea exccentricitatilor accidentale definite cu relatia (4.2) din sectiunea 4.5.2.1, paragraful (1). In aceasta etapa se parcurg urmatorii pasi:

a)      combinarea fortelor seismice modale static echivalente de nivel conform relatiilor (C13-C15)

b)      calculul momentelor de torsiune suplimentare pentru fiecare directie principala de actiune seismica

(C16)

in care F_ix, F_iy sunt fortele seismice static echivalente de nivel obtinute in pasul anterior

c)      calculul eforturilor si deplasarilor asociate momentelor de torsiune obtinute cu relatia (C16) aplicate in centrul maselor la fiecare nivel

d)      suprapunerea raspunsurilor eforturi, deplasari si reactiuni obtinute in etapele II si III de mai sus. Pentru stabilirea celei mai defavorabile situatii se vor considera toate combinatiile care rezulta prin schimbarea sensului celor doua actiuni:

in care - raspunsul obtinut conform etapei a II-a din suprapunerea raspunsurilor modale

- raspunsul obtinut in etapa a III-a din momente suplimentare de torsiune

Etapa a IV-a efectueaza combinarea raspunsurilor structurii la actiunea seismica pentru cele doua directii principale de miscare a bazei de rezemare. Raspunsurile aferente celor doua directii de actiune se combina conform regulilor din paragraful 4.5.3.6 folosind relatiile 4.14 si 4.15

sau regula de combinare SRSS