PLANIFICARE CALENDARISTICǍ Clasa a IX a A Semestrul I MATEMATICA

Unitatea de

invatare

Competente specifice vizate

Continuturi

Nr. ore

Saptamana

Multimi si elemente de logica matematica

Identificarea in limbaj cotidian sau in probleme a unor notiuni specifice logicii matematice si teoriei multimilor

Utilizarea proprietatilor algebrice ale numerelor, a estimarilor si aproximarilor in contexte variate, inclusiv folosind calculatorul

Alegerea formei de reprezentare a unui numar real si utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calcului cu numere reale

Caracterizarea unor multimi de numere si a relatiilor dintre acestea utilizand limbajului logicii matematice si teoria multimilor

Analiza unor contexte uzuale si matematice (de exemplu: redactarea solutiei unei probleme) utilizand limbajului logicii matematice si teoria multimilor

Transpunerea unei situatii-problema in limbaj matematic, rezolvarea problemei obtinute si interpretarea rezultatului

Multimea numerelor reale:

-operatii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale,

- modulul unui numar real, aproximari prin lipsa sau prin adaos ;

S1

- partea intreaga, partea fractionara a unui numar real;

-operatii cu intervale de numere reale.

S2

Propozitie, predicat, cuantificatori.

Operatii logice elementare (negatie, conjunctie, disjunctie, implicatie, echivalenta), corelate cu operatiile si relatiile cu multimi (complementara, intersectie, reuniune, incluziune, egalitate, regulile lui De Morgan).

S3

Evaluare

Tipuri de rationamente logice: inductia matematica.

-inductia in demonstrarea unor egalitati

S4

-inductia in demonstrarea unor inegalitati;

-inductia in demonstrarea unor probleme de divizibilitate

S5

Probleme de numarare.

• Evaluare

S6

S7

S8

S9

Functii

Recunoasterea unor corespondente care sunt siruri, progresii, functii

Utilizarea unor modalitati variate de descriere a functiilor in scopul caracterizarii acestora

Descrierea unor siruri/functii utilizand reprezentarea geometrica a unor cazuri particulare si rationament inductiv

Caracterizarea unor siruri folosind reprezentarea grafica sau proprietati algebrice

Analiza unor valori particulare in vederea determinarii formei analitice a unei functii definite pe N prin rationament de tip inductiv

Transpunerea unor situatii‑problema in limbaj matematic utilizand functii definite pe N

Siruri

Modalitati de a defini un sir,

siruri marginite, siruri monotone; exemple simple

Tipuri de siruri: progresii aritmetice, formula termenului general in functie de un termen dat si ratie, suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Progresii geometrice, formula termenului general in functie de un termen dat si ratie, suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice.

Conditia ca n numere sa fie in progresie aritmetica sau geometrica pentru n ≥ 3.

Evaluare

Identificarea valorilor unei functii folosind reprezentarea grafica

Caracterizarea egalitatii a doua functii prin utilizarea unor modalitati variate de descriere a functiilor

Operarea cu functii reprezentate in diferite moduri si caracterizarea calitativa a acestor reprezentari

Caracterizarea unor functii prin utilizarea graficului functiei si a ecuatiei asociate

Analiza unor situatii practice si descrierea lor cu ajutorul functiilor

Deducerea unor proprietati ale functiilor numerice prin lectura grafica

• Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de multimi numerice.
• Functia: definitie, exemple, exemple de corespondente care nu sunt functii, modalitati de a descrie o functie, lecturi grafice.

• Egalitatea a doua functii, imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functie, graficul unei functii, restrictii ale unei functii.
• Functii numerice (F = ), proprietati ale functiilor numerice introduse prin lecturi grafice:
• reprezentarea geometrica a graficului, intersectia cu axele de coordonate, rezolvari grafice de ecuatii si inecuatii de forma f(x)=g(x) (≤, <, >,≥ ) : marginire, paritate, imparitate (simetria graficului fata de axa Oy sau origine), simetria graficului fata de drepte de forma x = m, mIR sau fata de puncte oarecare din plan, periodicitate,
• monotonie

S10

• Compunerea functiilor;exemple pe functii numerice.

Evaluare

S11

Functia de gradul I

Recunoasterea functiei de gradul I descrisa in moduri diferite

Utilizarea unor metode algebrice si grafice pentru rezolvarea ecuatiilor, inecuatiilor, sistemelor

Descrierea unor proprietati desprinse din rezolvarea ecuatiilor, inecuatiilor, sistemelor si reprezentarea grafica a functiei de gradul I

Exprimarea legaturii intre functia de gradul I si reprezentarea ei geometrica

Interpretarea graficului functiei de gradul I utilizand proprietatile algebrice ale functiei

Modelarea unor situatii concrete prin utilizarea ecuatiilor si inecuatiilor

• Definitie, intersectia graficului cu axele de coordonate, ecuatia f(x)=0, reprezentarea grafica a functiei f : R R , f(x) = ax+b, a,bIR
• Interpretarea grafica a proprietatilor algebrice ale functiei: monotonia si semnul functiei. Studiul monotoniei prin semnul diferentei f(x₁) - f(x₂) (sau studierea raportului IR,¹
• Inecuatii de forma ax + b £ ³, <, >) studiate pe R sau pe intervale de numere reale.
• Pozitia relativa a doua drepte, sisteme de tipul
• , a, b, c, m, n, p numere reale

S12

• Sisteme de inecuatii de gradul I
• Evaluare

S13

Evaluare semestriala

• Pregatirea lucrarii scrise
• Lucrare scrisa

Discutarea lucrarii scrise

S14

Functia de gradul al II-lea

Diferentierea variatiei liniare/patratice prin exemple

Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

Exprimarea proprietatilor unei functii prin conditii algebrice sau geometrice

Utilizarea relatiilor lui Viete pentru caracterizarea solutiilor si rezolvarea unor sisteme

Utilizarea functiilor in rezolvarea unor probleme si modelarea unor procese

Reprezentarea grafica a functiei

f : R R, f(x) = ax²+bx+c, a,b,cIR, a ¹ 0, intersectia graficului cu axele de coordonate, ecuatia f(x)=0, simetria fata de drepte de forma x = m, mIR .

S15

Relatiile lui Viete,

rezolvarea sistemelor de forma s,pIR.

Evaluare

S16

Identificarea unor moduri de variatie a datelor

Determinarea unor functii care satisfac anumite conditii precizate

Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuatiilor si inecuatiilor si pentru reprezentarea grafica a solutiilor

Exprimarea prin reprezentari grafice a unor conditii algebrice; exprimarea prin conditii algebrice a unor reprezentari grafice

Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea solutiilor ecuatiei asociate

Interpretarea informatiilor continute in reprezentari grafice prin utilizarea de estimari, aproximari si strategii de optimizare

Interpretarea geometrica a proprietatilor algebrice ale functiei de gradul al II‑lea

Monotonie. Studiul monotoniei prin semnul diferentei

f(x₁) - f(x₂), rata cresterii (descresterii): IR,¹, punct de extrem, (varful parabolei).

Pozitionarea parabolei fata de axa Ox, semnul functiei, inecuatii de forma ax² + bx + c £ ³ < >) studiate pe

R sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrica: imagini si preimagini ale unor intervale (proiectiile unor portiuni de parabola pe axe).

S17

Pozitia relativa a unei drepte fata de o parabola: rezolvarea sistemelor de forma a, b, c, m, nIR

Rezolvarea sistemelor de forma , a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂IR, interpretare geometrica

Incheierea mediilor

S18

SEMESTRUL II

Vectori in plan

Identificarea elementelor de geometrie vectoriala in diferite contexte

Transpunerea unor operatii cu vectori in contexte geometrice date

Utilizarea operatiilor cu vectori pentru a descrie o problema practica

Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuratii geometrice

Identificarea conditiilor necesare pentru ca o configuratie geometrica sa satisfaca cerinte date

Aplicarea calculului vectorial in rezolvarea unor

Descrierea sintetica sau vectoriala a proprietatilor unor configuratii geometrice

Caracterizarea sintetica sau/si vectoriala a unei configuratii geometrice date

Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenta sau paralelism

Trecerea de la caracterizarea sintetica la cea vectoriala (si invers) a unei configuratii geometrice date

Interpretarea coliniaritatii, concurentei sau paralelismului in relatie cu proprietatile sintetice sau vectoriale ale unor configuratii geometrice

Analiza comparativa a rezolvarilor vectoriala si sintetica ale aceleiasi probleme

Segment orientat, relatia de echipolenta, vectori, vectori coliniari.

Operatii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietati ale operatiei de adunare;

inmultirea cu scalari , proprietati ale inmultirii cu scalari, conditia de coliniaritate;

S1

descompunerea dupa doi vectori dati, necoliniari si nenuli.

Evaluare

S2

Coliniaritate, concurenta, paralelism - calcul vectorial in geometria plana

Vectorul de pozitie al unui punct.

Vectorul de pozitie al punctului care imparte un segment intr-un raport dat, teorema lui Thales (conditii de paralelism).

S3

Vectorul de pozitie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenta medianelor unui triunghi).

Teorema bisectoarei , vectorul de pozitie al centrului cercului inscris intr-un triunghi; ortocentrul unui triunghi; relatia lui Sylvester, concurenta inaltimilor.

S4

Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva.

Evaluare

S5

Elemente de trigonometrie

Identificarea legaturilor intre coordonate unghiulare, coordonate metrice si coordonate carteziene pe cercul trigonometric

Calculul unor masuri de unghiuri si arce utilizand relatii trigonometrice, inclusiv folosind calculatorul

Determinarea masurii unor unghiuri si a lungimii unor segmente utilizand relatii metrice

Caracterizarea unor configuratii geometrice plane utilizand calculul trigonometric

Determinarea unor proprietati ale functiilor prin lecturi grafice

Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvata a formulelor

Cercul trigonometric, definirea functiilor trigonometrice

sin, cos: [0; 2π ] → [-1, 1 ],

tg: [0; π ]→R;

Definirea functiilor trigonometrice:

sin: R →[-1 ; 1 ], cos: R → [-1 ; 1]

tg: RD → R, unde D=

ctg: RD → R unde D=

Formulele de reducere la primul cadran, formule trigonometrice: sin (a+b), sin (a-b), cos(a+b), cos (a-b), sin2a, cos2a, sina+sinb, sina-sinb, cosa+cosb, cosa-cosb

(transformarea sumei in produs).

Evaluare

S6

S7

S8

S9

Aplicatii ale trigonometriei si ale produsului

scalar a doi vectori in geometria plana

Identificarea unor metode posibile in rezolvarea problemelor

Aplicarea unor metode diverse pentru optimizarea calculelor de distante, unghiuri si arii

Prelucrarea informatiilor oferite de o configuratie geometrica pentru deducerea unor proprietati ale acesteia.

Analiza unor configuratii geometrice pentru optimizarea algoritmilor de rezolvare

Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distante, unghiuri si arii

Modelarea unor configuratii geometrice utilizand metode vectoriale sau sintetice

Produsul scalar a doi vectori: definitie, proprietati. Aplicatii: teorema cosinusului, conditii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic.

Aplicatii vectoriale si trigonometrice in geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

S10

Calculul razei cercului inscris si a cercului circumscris in triunghi,

S11

calculul lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcul de arii.

Evaluare

S12

Recapitularea si consolidarea cunostintelor

• Recapitularea cunostintelor de pe semestrul I

multimi

inductie

siruri, progresii

functii

S13

Recapitularea cunostintelor de pe semestrul II

functii

calcul vectorial

functii trigonometrice

aplicatii ale trigonometriei in geometria plana

S14

Evaluare

Semestrul

II

• teza
• discutia tezei

S15

• teste de evaluare finala
• incheierea mediilor

S16

S17