CATEGORII DOCUMENTE |
Gradinita |
PROIECT DIDACTIC
Data: 2007
Clasa: a XII-a D
Profil tehnologic, 3 ore saptamana, M2
Profesor:
Unitatea de invatamant: G.S.,, Traian Demetrescu'' Craiova
Unitatea de invatare: Grupuri
Titlul lectiei: Morfisme si izomorfisme de grupuri
Tipul lectiei: Predare de noi cunostinte
Durata: 50 minute
Locul desfasurarii: sala de clasa
COMPETENTE GENERALE:
CG1. Folosirea corecta a terminologiei specifice matematicii in contexte variate de aplicare.
CG2. Exprimarea si redactarea corecta si coerenta in limbaj formal sau cotidian a rezolvarii sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme
CG3.Analiza unei situatii problematice si determinarea ipotezelor necesare pentru obtinerea concluziei
CG4.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual, cuprinse in enunturi matematice
CG5. Utilizarea corecta a algoritmilor matematici in rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate, sau pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete
CG6. Generalizarea unor proprietati prin modificarea contextului initial de definire a problemei sau prin imbunatatirea si generalizarea algoritmilor
COMPETENTE SPECIFICE:
CS1. Utilizarea unor modalitati elementare variate de identificare a morfismelor sau a izomorfismelor
CS2. Determinarea si verificarea poprietatilor unei structuri algebrice
CS3. Utilizarea proprietatilor operatiilor pentru identificarea legaturilor intre structuri (izomorfe sau neizomorfe)
CS4.Utilizarea aplicatiilor liniare pentru a identifica proprietati si legaturi intre structuri
CS5.Transformarea intre structuri izomorfe a datelor initiale si a rezultatelor pe baza proprietatilor operatiilor, corelarea proprietatilor unor structuri algebrice prin intermediul unei functii bijective
STRATEGII DIDACTICE
Principii didactice:
- Principiul participarii si invatarii active
- Principiul asigurarii progresului gradat al performantei
- Principiul explicativ-demonstrativ(conversatia si exercitiul)
- Principiul conexiunii inverse (feed-back)
Metode de invatare instruire:
- Conversatia euristica
- Explicatia
- Exercitiul
- Problematizarea
- Descoperirea dirijata
Forme de organizare a clasei:
- Frontala
- Individuala
- Pe grupe
Forme de evaluare:
- Observatia
- Prin lucru individual
Resurse materiale
-Materiale didactice: fise de lucru,manual, proiect didactic
-Mijloace de invatamant: tabla, creta
Resurse procedurale:
- Investigatia stiintifica
- Observarea sistematica a elevului
- Rezolvarea de probleme/ situatii problema
Resurse psihologice:
Capacitatea de invatare de care dispune clasa: elevii poseda cunostinte legate de legi de compozitie, notiunea de grup, functii surjective, injective, bijective, compunerea functiilor
Elevii prezinta interes pentru lectie deoarece li s-a descris campul de aplicabilitate al acesteia
Etapele activitatii didactice:
I. Moment organizatoric( 2 minute)
Notarea absentelor in catalog, asigurarea conditiilor ergonomice necesare lectiei, verificarea materialului didactic necesar.
II. Reactualizarea si verificarea cunostintelor asimilate anterior:
(7 minute)
Se reamintesc definitiile functiilor injective, surjective, bijective si compunerea functiilor, precum si notiunea de grup.
III. Anuntarea competentelor (1minut)
IV. Prezentarea continutului lectiei noi (24minute)
Fie (G ) si (G ) doua grupuri.
DEFINITII
■ Functia f : G→G se numeste morfism (omomorfism) de grupuri daca:
f (xy) =f(x) f(y), x ЄG
■ Functia f : G→G se numeste izomorfism de grupuri daca f este morfism de grupuri si este functie bijectiva
■ Grupurile (G ) si (G ) se numesc grupuri izomorfe si se scrie
G G, daca intre ele exista cel putin un izomorfism de grupuri.
Fie (G, ) un grup
■Un morfism f: G→G, se numeste endomorfism al grupului G
■Un izomorfism f: G→G, se numeste automorfism al grupului G.
Multimea endomorfismelor unui grup se noteaza End (G), iar multimea automorfismelor lui G se noteaza Aut(G).
Exemple:
▪Functia f: Z→, f(n)=(-1) este izomorfism intre grupurile (Z, +) si
▪Functia f : R→ (0, ∞), f(x)= este izomorfism intre grupurile (R, +) si
TEOREMA
Fie (G ) si (G ) doua grupuri cu elementele neutre e si e, si
f : G→G, un morfism de grupuri. Atunci :
a) f(e1)= f(e2)
b) f(x)=(f(x)) , x ЄG
c) f(x )= ( f(x)) , x ЄG si nЄZ
OBSERVATIE
In scriere aditiva, relatiile anterioare se scriu:
a) f(0)= 0
b) f(-x)= - f(x), oricare x Є G
c) f(nx)= nf(x), x ЄG si n x Є Z
TEOREMA:
Fie grupurile (G1,), (G2,) si (G3,).
a) Daca f: G1→G2 si g: G2→G3 sunt morfisme de grupuri, atunci h: G1→G3, h=g◦f este morfism de grupuri.
b) Daca f: G1→G2 este izomorfism de grupuri, atunci f ¹: G2→G1este izomorfism de grupuri.
Demonstratie
a) Avem succesiv: h(xy)=g(f(xy))=g(f(x) f(y))=g(f(x))g(f(y))=h(x)h(y),x,y ЄG
b) Functia f ¹: G2→G1 este bijectiva.
Fie y si y G2. Deoarece f bijectiva, rezulta ca exista xsi x G1, astfel ca f(x)=ysi f(x)= y .
Avem:
f ¹( y y f ¹(f(x f(x f ¹(f(x x x x f ¹( y f ¹( y
Deci, f ֿ ¹ este izomorfism de grupuri.
TEOREMA
Fie (G, ) un grup. Atunci:
a) (End(G), ) este monoid;
b) Aut(G), ) este grup.
V. Realizarea feed-back-ului
Secventele activitatii didactice |
Activitatea profesorului |
Activitatea elevului |
Metode |
Procedee de evaluare |
Captarea atentiei (2 min.) |
Se verifica prezenta si se capteaza atentia elevilor |
Elevii se pregatesc pentru ora |
Conversatia |
Observatia |
Actualizare (8min) |
Se verifica prin sondaj tema de acasa Se reactualizeaza notiunea de functie injectiva, surjectiva, bijectiva, compunerea functiilor |
Elevii raspund la intrebari si noteaza in caiete definitiile si exemplele de functii |
Conversatia Explicatia |
Analiza raspunsurilor |
Anuntarea competentelor si prezentarea continutului lectiei noi (25min) |
Profesorul anunta competentele lectiei si prezinta continutul |
Elevii urmaresc notiunile prezentate la tabla, noteaza in caiet si raspund la intrebari |
Expunere Conversatia Explicatia |
Observatia Analiza raspunsurilor |
Asigurarea transferului Obtinerea de performante (8min) |
Dirijarea invatarii: -se reactualizeaza notiunile teoretice -se rezolva la tabla exercitii simple ca aplicatii la notiunile prezentate |
Elevii raspund la intrebari, rezolva exercitiile de pe fisa de lucru Se prezinta la tabla |
Explicatia Problematizarea Invatarea prin descoperire |
Analiza raspunsurilor de pe fise |
Feed-back-ul (5min) Tema pentru acasa (2min) |
Tema pentru acasa Manual(Burtea) ex1,2,pag.59si de rezolvat exercitiile din fisa |
Rezolva subiectele din chestionar Noteaza tema |
Activitate independenta pe chestionar |
Analiza raspunsurilor de pe chestionare |
Fisa de lucru
1. Fie ( C, +) grupul aditiv al numerelor complexe. Sa se arate ca f: C→ C unde f(z)= este automorfism de grupuri.
2. Fie ( C, ) grupul multiplicativ al numerelor complexe.
Sa se arate ca f: C→ C, f(z)= este automorfism de grupuri
3. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor intregi.
a) Sa se determine monoidul ( End (Z),
b) Sa se determine Aut(Z) si sa se arate ca grupurile (Aut(Z), ) si (Z, +) sunt izomorfe .
4.Sa se arate ca functia f: C R, f(z)= este morfism intre grupurile (C,) si (R,)
5. Se considera :
M = .
Sa se arate ca :
a) (M, +) este grup.
b) f: R→M, f(x)= A (x) este izomorfism de grupuri intre (R,+) si (M, +)
6. Pe multimea R se definesc legile de compozitie:
xy=x+y+a, x┴y =x+ay-1.
Sa se determine a si b real pentru care f: R→R, f(x) =x+b, sa fie izomorfism intre grupurile (R, ◦) si (R,┴).
7. Fie F= unde f : R→ Rsi f1(x)= x, f2= -x, f3=
f . Sa se arate ca:
a) (F, ) este grup comutativ
b) (F, ) este izomorf cu grupul lui Klein
Nota :
Exercitiile din fisa vor constitui si tema pentru acasa.
Fisele de lucru, insotite de rezolvari vor completa portofoliul elevului
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 5329
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved