DIDACTIC Clasa: a XII-a Morfisme si izomorfisme de grupuri

PROIECT DIDACTIC

Data: 2007

Clasa: a XII-a D

Profil tehnologic, 3 ore saptamana, M2

Profesor:

Unitatea de invatamant: G.S.,, Traian Demetrescu'' Craiova

Unitatea de invatare: Grupuri

Titlul lectiei: Morfisme si izomorfisme de grupuri

Tipul lectiei: Predare de noi cunostinte

Durata: 50 minute

Locul desfasurarii: sala de clasa

COMPETENTE GENERALE:

CG1. Folosirea corecta a terminologiei specifice matematicii in contexte variate de aplicare.

CG2. Exprimarea si redactarea corecta si coerenta in limbaj formal sau cotidian a rezolvarii sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme

CG3.Analiza unei situatii problematice si determinarea ipotezelor necesare pentru obtinerea concluziei

CG4.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual, cuprinse in enunturi matematice

CG5. Utilizarea corecta a algoritmilor matematici in rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate, sau pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete

CG6. Generalizarea unor proprietati prin modificarea contextului initial de definire a problemei sau prin imbunatatirea si generalizarea algoritmilor

COMPETENTE SPECIFICE:

CS1. Utilizarea unor modalitati elementare variate de identificare a morfismelor sau a izomorfismelor

CS2. Determinarea si verificarea poprietatilor unei structuri algebrice

CS3. Utilizarea proprietatilor operatiilor pentru identificarea legaturilor intre structuri (izomorfe sau neizomorfe)

CS4.Utilizarea aplicatiilor liniare pentru a identifica proprietati si legaturi intre structuri

CS5.Transformarea intre structuri izomorfe a datelor initiale si a rezultatelor pe baza proprietatilor operatiilor, corelarea proprietatilor unor structuri algebrice prin intermediul unei functii bijective

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice:

- Principiul participarii si invatarii active

- Principiul asigurarii progresului gradat al performantei

- Principiul explicativ-demonstrativ(conversatia si exercitiul)

- Principiul conexiunii inverse (feed-back)

Metode de invatare instruire:

- Conversatia euristica

- Explicatia

- Exercitiul

- Problematizarea

- Descoperirea dirijata

Forme de organizare a clasei:

- Frontala

- Individuala

- Pe grupe

Forme de evaluare:

- Observatia

- Prin lucru individual

Resurse materiale

-Materiale didactice: fise de lucru,manual, proiect didactic

-Mijloace de invatamant: tabla, creta

Resurse procedurale:

- Investigatia stiintifica

- Observarea sistematica a elevului

- Rezolvarea de probleme/ situatii problema

Resurse psihologice:

Capacitatea de invatare de care dispune clasa: elevii poseda cunostinte legate de legi de compozitie, notiunea de grup, functii surjective, injective, bijective, compunerea functiilor

Elevii prezinta interes pentru lectie deoarece li s-a descris campul de aplicabilitate al acesteia

Etapele activitatii didactice:

I. Moment organizatoric( 2 minute)

Notarea absentelor in catalog, asigurarea conditiilor ergonomice necesare lectiei, verificarea materialului didactic necesar.

II. Reactualizarea si verificarea cunostintelor asimilate anterior:

(7 minute)

Se reamintesc definitiile functiilor injective, surjective, bijective si compunerea functiilor, precum si notiunea de grup.

III. Anuntarea competentelor (1minut)

IV. Prezentarea continutului lectiei noi (24minute)

Fie (G ) si (G ) doua grupuri.

DEFINITII

■ Functia f : G→G se numeste morfism (omomorfism) de grupuri daca:

f (xy) =f(x) f(y), x ЄG

■ Functia f : G→G se numeste izomorfism de grupuri daca f este morfism de grupuri si este functie bijectiva

■ Grupurile (G ) si (G ) se numesc grupuri izomorfe si se scrie

G G, daca intre ele exista cel putin un izomorfism de grupuri.

Fie (G, ) un grup

■Un morfism f: G→G, se numeste endomorfism al grupului G

■Un izomorfism f: G→G, se numeste automorfism al grupului G.

Multimea endomorfismelor unui grup se noteaza End (G), iar multimea automorfismelor lui G se noteaza Aut(G).

Exemple:

▪Functia f: Z→, f(n)=(-1) este izomorfism intre grupurile (Z, +) si

▪Functia f : R→ (0, ∞), f(x)= este izomorfism intre grupurile (R, +) si

TEOREMA

Fie (G ) si (G ) doua grupuri cu elementele neutre e si e, si

f : G→G, un morfism de grupuri. Atunci :

a) f(e1)= f(e2)

b) f(x)=(f(x)) , x ЄG

c) f(x )= ( f(x)) , x ЄG si nЄZ

OBSERVATIE

In scriere aditiva, relatiile anterioare se scriu:

a)     f(0)= 0

b)    f(-x)= - f(x), oricare x Є G

c)     f(nx)= nf(x), x ЄG si n x Є Z

TEOREMA:

Fie grupurile (G1,), (G2,) si (G3,).

a)    Daca f: G1→G2 si g: G2→G3 sunt morfisme de grupuri, atunci h: G1→G3, h=g◦f este morfism de grupuri.

b)    Daca f: G1→G2 este izomorfism de grupuri, atunci f ¹: G2→G1este izomorfism de grupuri.

Demonstratie

a)     Avem succesiv: h(xy)=g(f(xy))=g(f(x) f(y))=g(f(x))g(f(y))=h(x)h(y),x,y ЄG

b)    Functia f ¹: G2→G1 este bijectiva.

Fie y si y G2. Deoarece f bijectiva, rezulta ca exista xsi x G1, astfel ca f(x)=ysi f(x)= y .

Avem:

f ¹( y y f ¹(f(x f(x f ¹(f(x x x x f ¹( y f ¹( y

Deci, f ֿ ¹ este izomorfism de grupuri.

TEOREMA

Fie (G, ) un grup. Atunci:

a) (End(G), ) este monoid;

b) Aut(G), ) este grup.

V. Realizarea feed-back-ului

Fisa de lucru

1. Fie ( C, +) grupul aditiv al numerelor complexe. Sa se arate ca f: C→ C unde f(z)= este automorfism de grupuri.

2. Fie ( C, ) grupul multiplicativ al numerelor complexe.

Sa se arate ca f: C→ C, f(z)= este automorfism de grupuri

3. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor intregi.

a) Sa se determine monoidul ( End (Z),

b) Sa se determine Aut(Z) si sa se arate ca grupurile (Aut(Z), ) si (Z, +) sunt  izomorfe .

4.Sa se arate ca functia f: C R, f(z)= este morfism intre grupurile (C,) si (R,)

5. Se considera :

M = .

Sa se arate ca :

a)    (M, +) este grup.

b)    f: R→M, f(x)= A (x) este izomorfism de grupuri intre (R,+) si (M, +)

6. Pe multimea R se definesc legile de compozitie:

xy=x+y+a, x┴y =x+ay-1.

Sa se determine a si b real pentru care f: R→R, f(x) =x+b, sa fie izomorfism intre grupurile (R, ◦) si (R,┴).

7. Fie F= unde f : R→ Rsi f₁(x)= x, f₂= -x, f₃=

f . Sa se arate ca:

a) (F, ) este grup comutativ

b) (F, ) este izomorf cu grupul lui Klein

Nota :

Exercitiile din fisa vor constitui si tema pentru acasa.

Fisele de lucru, insotite de rezolvari vor completa portofoliul elevului