Probleme petntru olimpiada - matematica

Probleme petntru olimpiada - matematica

1. Demonstrati ca pentru orice , multimea

este marginita si determinati . Exista max ?

Solutie

Daca , atunci si ; de aici rezulta ca ecuatia

, care trebuie sa aiba solutii reale.

Asadar , de unde rezulta

.

Asadar este marginita si in plus

Si .

2. Aratati ca multimea este marginita.

Solutie

Tinand cont ca , deducem ca daca atunci adica este un minorant pentru multimea si se verifica usor ca . Pentru a arata ca este marginita superior, sa remarcam ca , deoarece aceasta se reduce la inegalitatea , care se demonstreaza prin inductie matematica. Cum , adica este marginita superior.

3. Calculati limita de mai jos:

L (fixat).

Solutie

Fie , vom avea

Daca avem L=0

Daca p>0, atuncisi suntem in cazul de nedeterminare

Scriem pe si folosind conjugata expresiei de forma pe care o notam cu c(n), avem

L==

Unde am tinut cont ca . Obtinem:

L=

4. Fie punctele A, B, C de afixe a, b, c si G - centrul de greutate al triunghiului ABC de afix g. Sa se arate ca tringhiul ABC este echilateral daca si numai daca:

.

Solutie

Avem 3g = a+b+c

a = b = c adica trinughiul ABC este echilateral.

5. Fie , ,.

Sa se arate ca .

Solutie

=

Dar ,