Organizarea invatarii matematicii in gradinita

Organizarea invatarii matematicii in gradinita

Conform teoriei studiate a lui J. Piaget "Organizarea invatarii se realizeaza in functie de stadiul dezvoltarii copilului, de succesiunea structurilor de cunoastere si a operatiilor specifice" Obiectivele specifice activitatilor matematice surprind succesiunea treptelor de organizare in domeniul cognitiv, iar organizarea invatarii matematicii se realizeaza tinand cont de urmatoarele implicatii ale dezvoltarii studiate :

"ordinea achizitiilor matematice sa fie constanta" - achizitia conceptului de numar este ulterioara achizitiei multimii, in succesiunea operatiilor ce pregatesc numarul existand o ordine logica, de la prezenta permanentei perceptive la grupare, clasificare, ordonare, seriere, conservare, numar ;

"fiecare stadiu se caracterizeaza printr-o structura"- cunoasterea conditiilor specifice fiecarui nivel intermediar ce articuleaza dezvoltarea, joaca un rol important in metodologia obiectului ;

1 - M.Neagu, G.Beraru - "Activitati matematice in gradinita", Editura ASS, Iasi, 1995, pag.7

2 - J.Piaget, B.Inhelder - "Psihologia copilului "(traducere), Bucuresti, 1976, pag.60

3 - Z.P.Dienes, E.W.Golding - "Les premiers pas en mathematique"

4 - "Logique et jeux logiques", vol.I, Editura O.C.D.L., Paris, 1970, pag.13 - pag.14

"caracterul integrator al structurilor"- structurile specifice unui substadiu devin parte integranta in structurile varstei urmatoare si determina implicatii matematice in achizitia conceptului. Astfel achizitiile matematice dintr-un anumit stadiu sunt preluate si valorificate in conditii noi la nivelul urmator.

Z.P.Diens valorifica implicatiile matematice ale teoriei lui J.Piaget in elaborarea unui sistem de invatare a conceptelor matematice cu accent pe invatarea prin

actiune si experienta proprie a copilului si folosirea materialelor structurale (piese logice, riglete).

Astfel "structurile matematice sunt dobandite sub forma actiunii, imaginii sau simbolului, materialele structurale constituind mijloace de constructie prin actiune a structurilor." (Z.P.Diens, 1970, pag.13). 3

Valoarea materialului structurat crestein masura in care el reuseste sa evidentieze atributele esentiale ale notiunii.

"Prin jocul logic se inlesneste dobandirea notiunii de multime, relatie si a elementelor de logica.:(Z.P.Diens, 1970, pag.14). 4

Diens identifica trei stadii in formarea conceptelor matematice la varsta prescolara :

Stadiul preliminar - in care copilul manipuleaza si cunoaste dimensiuni, culori, forme in cadrul unor jocuri preliminarii, fara un scop aparent ;

Stadiul jocului dirijat - in scopul evidentierii constantelor si variabilelor multimii prin jocuri structurate ;

Stadiul de fixare si aplicare a conceptelor - ce asigura asimilarea si explicitarea conceptelor matematice in asa numitele jocuri "practice" si "analitice".

Z.P.Diens elaboreaza si patru principii de baza, de care trebuie sa se tina cont in conceperea oricarui model de instruire centrat pe formarea unui concept matematic :

Principiul constructivitatii - orienteaza invatarea conceptelor intr-o succesiune logica, de la nestructurat, in scopul precizarii notiunilor ;

Principiul dinamic - experientele realizate de prescolar in contactul nemijlocit cu materialul adecvat, sub forma de joc, conduc la formarea unui concept.

In acest mod invatarea progreseaza de la un stadiu nestructurat, "de joc", la un stadiu mai structurat, "de constructie", in care se asigura intelegerea si se structureaza apoi intr-o structura matematica.

Principiul variabilitatii matematice - asigura formarea gandirii matematice ce are la baza procesul de abstractizare si generalizare.

Astfel, fiecare concept matematic este dobandit prin experiente in cat mai multe variante.

Principiul variabiliatii perceptuale - presupune ca formarea unei structuri matematice sa se realizeze sub forme perceptuale variate.

"Integrarea in practica educationala ale acestor patru principii, conduce la dobandirea unor reprezentari matematice si concepte sub forma concretizarilor pe materiale structurate ce transmit aceeasi structura matematica prin actiune dirijata, imagine si simbol verbal sau nonverbal."(Z.P.Diens, 1970, pag.15). 1

Procesul de formare a notiunii de operatie

la copiii prescolari

In procesul de formare a notiunii de operatie aritmetica, are loc interiorizarea actiunii externe. Copilul adauga unitatea termenului secund numarand in continuare trei - patru, fara sprijin pe obiecte.

In planul limbajului intern copilul adauga la primul termen al doilea termen, luatitotalitate , 3 si cu 1 fac 4".

Acest stadiu marcheaza conceptualizarea operatiei, copilul facand abstractie de natura obiectelor, de pozitia lor spatiala, generalizeaza operatia, se produce automatizarea ei, transformandu-se in stereotip dinamic.

" Cunoasterea si intelegerea procesului de formare, pe etape, a reprezentarilor si conceptelor matematice, genereaza cerinte de ordin psiho - pedagogic ce se cer respectate in conceperea actului didactic."(M.Neagu, G.Beraru, 1995, pag.16). 1

Aceste cerinte sunt :

Orice achizitie matematica sa fie dobandita de copil prin actiune insotita de cuvant

Copilul sa beneficieze de o experienta concreta, variata si ordonata in sensul implicatiilor matematice ;

Situatiile de invatare trebuie sa favorizeze operatiile mentale, copilul amplificandu-si experienta cognitiva ;

Invatarea sa respecte ,caracterul integrativ al structurilor" urmarindu-se "transferul vertical intre nivelele de varsta si logica formarii conceptelor ; " (G.Beraru, M.Neagu)

Dobandirea reprezentarilor conceptuale sa decurga din actiunea copilului asupra obiectelor spre a favoriza reversibilitatea si interiorizarea operatiei ;

Actiunile de manipulare si cele sa conduca treptat spre simbolizare. 2

In prezentarea prescolarilor au prioritate insusirile functionale, componentele prin care se actioneaza, chiar daca acestea nu sunt dominante.

Reprezentarea este deci ce apare in conditii speciale.

Dobandirea unei anumite structuri matematice sa fie rezultatul unor actiuni concrete, cu obiecte, imagini sau simboluri, ce reflecta acelasi continut matematic;

In reprezentarile prescolarilor au prioritate insusirile functionale, componentele prin care se actioneaza, chiar daca acestea nu sunt dominante.

Reprezentarea este deci o constructie ce apare in conditii speciale.

J.Piaget considera ca reprezetarea rezulta din imitaaia conduitei umane.

"Operaaiile de imitare organizate vor sprijini reproducerea prin imagine a obiectului daca sunt integrate intr-un context operational perceptiv ce trebuie sa fie reprezentativ pentru copil."( L.Piaget, 1965, pag.57). 2

Astfel, functia de simbolizare pe care o indeplineste reprezentarea este determinata de contextul activitatii.

Accelerarea dezvoltarii psihice a prescolarului se poate obtine prin introducerea de orientari intuitive sau verbale adecvate in actiune.

In perioada prescolara, orientarea verbala este superioara celei intuitive.

Cuvantul asociat cu intuitivul (reprezentarile) devine eficient posibilitatilor sale avand rol activizator, in activitatile matematice fiind utila valorificarea posibilitatilor sale functionale.

"Cuvintele pot indeplini functii de planificare in actiune numai daca semnificatia lor reflecta o anumita experienta legata de obiectele cu care se actioneaza."(M.Neagu, G.Beraru, pag.10). 3

Prescolarii inteleg raporturile spatiale indicate prin cuvintele "sub", "deasupra" si actioneaza corect numai daca aceste cuvinte se refera la raporturi obisnuite, normale dintre lucruri si actiuni cunoscute : sarcina "pune acoperisul deasupra cuvantului.

La varsta de 3 - 4 ani copilul, dar nu explica, experienta ce constituie suportul semantic al cuvintelor fiind de ordin senzorio - motor si perceptive.

Gandirea ce insoteste limbajul copilului este prelogica (inteligenta intuitiv - actionala). Ea nu opereaza cu concepte abstracte.

J.Piaget afirma ca "logica gandirii infantile este intuitia. Exista o legatura si o interactiune intre planul concret actional si cel verbal ", ele aflandu-se in stransa corelatie, se imbogatesc reciproc. 1

La varsta de 5 - 6 ani "actiunile verbale nu mai sunt subordonate situatiilor sincretice ci se supun logicii obiectelor in masura in care sunt dirijate de reguli." 3

Vigotski introduce in procesul invatarii cuvantului si limbajul ca "instrumentele de instruire" in completarea perceptiei, observatiei si actiunii. 3

"Formarea notiunii matematice necesita relevarea, compararea si reunirea unor caracteristici ca : numarul obiectelor intr-o multime, relatiile cantitative intre multimi si altele, particularitati ce determina procesele activitatii perceptive obiectuale si a celei mentale, necesare in formarea notiunilor corespunzatoare. 4

Pentru a-si forma reprezentari conceptuale concrete "copilul trebuie sa-si insuseasca procedee de activitate mentala cu ajutorul carora se realizeaza sinteza caracteristicilor unei anumite clase de obiecte.

Operatiile mentale corespunzatoare si structurile cognitive (reprezentarile si conceptele) rezulta din actiunile practice, se fixeaza in cuvinte si in operatiile cu cuvinte si sunt orientate prin scopul si conditiile practice." 5

La varsta de 3 ani, copilul percepe multimea ca o colectie nedeterminata care nu are inca structura si limite precise.

El diferentiaza prin limbaj obiectele singulare de grupuri de obiecte (un copil - multi copii), dar multimea nu este perceputa ca un grup distinct.

Copiii de 3 - 4 ani percep multimea in mod nedeterminat si numai daca este compusa din acelasi fel de obiecte (jucarii).

Perceptia diferentiala a cantitatii se reflecta in limbaj (papusa - papusi).

Copiii nu percep limitele si nici criteriul de grupare (relatia logica dintre elemente).

De asemenea copiii nu percep schimbarile cantitative ce pot interveni (nu observa daca dintr-o multime cu 6 - 7 obiecte se iau 2 - 3 obiecte si nici insusirile cantitative. Culoarea si forma sunt dominante sub raport perceptiv.

Intuitiile elementare ale numarului sunt prenumerice, lipsite de conservare (copiii observa daca din 5 bomboane ii lipsesc 3, dar nu observa absenta unei singure bomboane).

La varsta de 4 - 5 ani reprezentarile despre multimi se dezvolta si copilul percepe multimea ca o totalitate spatial - structurala.

Actiunea manuala insotita de cuvant si de perceptie vizuala conduce la intelegerea multimii, copilul putand face abstractie de determinarile concrete ale elementelor sale.

Totusi, el ramane subordonat conditiilor spatiale concrete in care percepe multimea.

Derularea procesului parcurs "de la actiunea insotita de cuvant pana la concept"a fost schematizata de J.Piaget si L.S.Vigotski in patru trepte :

Treapta I - "contactul copil obiecte " : curiozitatea copilului declansata de noutati il face sa intarzie perceptiv asupra lor, sa le observe ;

Treapta a-II-a - "explorare actionala" : copilul descopera diverse atribute ale clasei de obiecte, iar cunoasterea analitica il conduce la obtinerea unei sistematizari a calitatilor perceptive ale multimii ;

Treapta a-III-a - "explicativa" : copilul intuieste si numeste relatii intre obiecte, clasifica, ordoneaza, seriaza si observa echivalente cantitative ;

Treapta a-IV-a - "dobandirea conceptului desemnat prin cuvant" : cuvantul constituie o esentializare cu privire la clasa de obiecte pe care o denumeste.1

Z.P.Dienes sintetizeaza       procesul schematizat de J.Piaget si L.S.Vigotski in patru trepte astfel :

Si afirma ca :

"In cazul multimii, pe primele trepte intervin determinant activitatile de identificare, triere, sortare, clasificare, seriere, apreciere globala, ce conduce spre dobandirea conceptului. Notiunea de multime joaca un rol unificator al conceptelor matematice, iar numarul apare ca proprietate numerica a multimii. Numarul si numeratia reprezinta abstractiuni care se formeaza pe baza analizei proprietatilor spatiale ale obiectelor si a clasificarilor." 2

Dupa J.Piaget si B. Inhelder, operatiile fundamentale in formarea numarului sunt : clasificarea si seriera.

"Numarul este expresia unei caracteristici obiective a lucrurilor si este o insusire de grup. Aceasta caracteristica nu rezulta spontan din perceptia lucrurilor doar analiza prin perceptie constituie punctul de plecare. Procesul de formare a numarului parcurge trei etape :

Senzorial - motrica = operare cu grupe de obiecte ;

Operare cu relatii cantitative pe planul reprezentarilor = operare cu numere concrete ;

Intelegerea raportului cantitativ ce caracterizeaza multimea = operare cu numere abstracte ."

"Numarul, ca abstractiune, ca insusire de grup, apare intr-un proces de indepartarea tuturor celorlalte insusiri ale multimii si ale obiectelor ei, copilul retinand numai componenta numerica si generalizand insusiri numerice desemnate verbal." 1

Numarul 2 se insuseste ca denumire de grup, dar pentru 3 - 5 obiecte la denumirea de grup se ajunge cu ajutorul numeratiei.

Majoritatea prescolarilor de 3 - 5 ani reproduc corect sirul numeric pana la 3 - 5 obiecte si numesc apoi numere pe sarite, deoarece un sir de obiecte este mult mai dificila, ca sarcina, decat reproducerea mecanica a sirului numeric natural, ce constituie un automatism verbal, fara semnificatie reala.

Numararea unui grup de obiecte solicita asociatii verbale automatizate si atribuirea unui continut adecvat deoarece, s-a constatat experimental ca exista o legatura intre sirul numeric si obiectele numarate.

Numarul si numeratia sunt rezultatul analizei si sintezei efectuate pe diverse nivele asupra obiectelor.

"Numeratia necesita o perfectionare a mecanismelor analitico - sintetice implicate in perceptie, reprezentare si conceptualizare. Numai dupa ce perceptia global - sincretica a realitatii este depasita si se ajunge la o percepere diferetiala, apare posibilitatea constituirii treptate a operatiei numerice si a generalizarii numerice pe nivelul formal de conceptualizare a numarului natural." 2

La varsta de 3 - 4 ani numeratia are un "caracter concret si analitic", numarul fiind socotit cu o simpla insusire a obiectului pe care il desemneaza in procesul numararii, prescolarii confundand numarul cu insusi procesul numararii. 3

Astfel, numarul este inteles ca o insusire a obiectului.

Esenta notiunii de numar o constituie raportul cantitativ care caracterizeaza multimile.Copilul nu are formata capacitatea de a sesiza aspectul cantitativ ce caracterizeaza multimea si reduce formal sirul numerelor cardinale la sirul ordinal.

Deci, initial, numarul nu este inteles sub aspectul sau cardinal, ci ordinal, ca termen al seriei ordonate de la mic la mare, ca reper intr-o succesiune cantitativa. Abia atunci cand copilul ajunge sa sesizeze raportul dintre multime si unitate, numarul dobandeste "caracter sintetic" si desemneaza o proprietate de grup, ceea ce implica dobandirea capacitatii de sinteza.

In formarea unui numar sunt implicate analiza in activitatea practica cu obiecte din procesul numararii, si sinteza in reprezentarea multimii ce inglobeaza obiectele numarate.

"Reprezentarea numerica are un caracter spatial, componenta numerica fiind legata de spatialitate in reprezentare ca si in perceptie. Componenta spatiala sprijina reprezentarea numerica si o limiteaza datorita faptului ca reprezentarile, ca si perceptiile cuprind un spatiu limitat." 1

Numarul cardinal este o clasa, o structura alcatuita din elemente neintuitive. Apare deci necesitatea realizarii unei noi sarcini de invatare.

Este indicat ca serierea sa se faca in ambele sensuri si prin dispunerea aleatorie a elementelor, indiferent de forma lor concreta, elementele fiind concepute ca unitati.

Astfel, ordonatia este absorbita in numarul cardinal prin clasificare, sinteza operatorie si includerea seriei in clase dispuse gradat."Constituirea perceptiei obiectuale si categoriale (clasificare, ordonare) creaza dificultati in formarea unui alt mod de caracterizare a multimilor, ce solicita ignorarea insusirilor variate ale obiectelor si aici apare rolul esential al invatarii dirijate, in scopul de a-l orienta si angaja pe copil la o analiza si sinteza numerica." 2

"Conceptul de numar se considera format daca se dezvolta raporturi reversibile si se realizeaza sinteza sirului numeric. Copilul interiorizeaza operatia de numarare spre 6 - 7 ani, cand urmareste numai cu privirea obiectele ce alcatuiesc o anumita grupare. Are loc un proces de transpunere a operatiei externe in operatie interna, adica o interiorizare a actiunii externe, si se dobandeste nivelul formal." 3

J.Piaget caracterizeaza operatia aritmetica ca fiind un "act de gandire ce este pregatit de coordonari senzorio - motrice si de reglarile reprezentative preoperatorii". 4

Operatia aritmetica decurge din situatiile matematice din viata, fiind expresia unei operatii mintale, ce corespunde unei actiuni reale, caracterizata prin realizarea transformarii matematice, deci simbolice a actiunilor."Orice operatie aritmetica porneste de la o situatie matematica, inamplatoare sau provocata, ce prin observatie, descoperire,

actiune, declanseaza un act rational, de gandire. Interventia prin actiune provoaca o shimbare a situatiei matematice ce sufera in acest mod o transformare.

Aceasta interventie prin actiune este tocmai operatia aritmetica. Sensul transformarii (adaugare, marire, micsorare, etc) conduce la precizarea sensului operatiei (adunare, scadere)." 5

Invatarea sensului operatiilor parcurge trei etape :

Operatia se traduce prin actiune afectiva de interventie directa (ia, adauga, pune la un loc), ce va fi exprimata prin simbolul corespunzator ;

Se renunta la manipulare directa si operatia presupune o cautare ( ce trebuie adaugat sau se efectueaza operatia inversa) ;

Abstractizare si operarea simbolica .

Dupa J.Piaget, determinarea operatiei aritmetice care corespunde unei actiuni reale presupune "dobandirea conservarii cantitatii si reversibilitatii", indiferent de natura, forma si pozitia spatiala.(1)

Reversibilitatea operatiei se dobandeste dupa varsta de 6 ani si necesita :

Inversare - reversibilitatea prin inversare ;

Reciprocitate - reversibilitate prin compensare.

Fara reversibilitate nu se pot invata operatiile directe (adunarea) si inverse (scaderea).In gradinita, activitatile ce au ca scop invatarea operatiilor aritmetice de adunare si scadere, efectuate cu obiecte, sunt accesibile copiilor de 3 - 5 ani, dar corectitudinea rezolvarii lor decurge din numarul de obiecte folosite. Operatia se rezolva cu usurinta in cazul cand se executa practic, copilul utilizand frecvent numararea unitatilor.

Efectuarea operatiilor de adunare si scadere se face pe etape, prin :

Actiune cu obiecte concrete ;

Actiune cu obiecte reprezentate grafic sau prin reprezentari simbolice ;

Actiune cu numere abstracte.

"Operatiile in care termenii depasesc 3 - 4 obiecte reale sunt numai in aparenta concrete, copilul neputand sa-si reprezinte grupe numerice. De exemplu : un grup de 4 mere la care se adauga inca 5 mere. In aceste cazuri el renunta la operarea cu reprezentari si revine la operarea prin numarare, caci copilul prefera sa foloseasca procedee cu care este familiarizat si apeleaza la scheme operatorii deja automatizate.(2)".

"In formarea unei operatii aritmetice, ca actiune mentala, punctul de plecare il constituie actiunea externa, materiala, cu obiecte. In acest proces se produc transformari semnificative in raport cognitiv. Astfel in cazul operatiei de adunare, procesul se desfasoara dupa urmatorul traseu :

In planul actiunii materiale - sub forma miscarii externe, prin deplasare sau adaugare reala a unui grup de obiecte la altul, copilul considerandu-se impreuna.

In planul limbajului extern - procesul isi pierde treptat caracterul concret, "adunarea" se face fara sprijin pe obiecte ;

In planul limbajului intern - operatia ca act de gandire verbala, procesul se transpune in plan mintal. In aceasta etapa procesul are loc prin reproducerea structurii generale a actiunii externe."(3)

In planul actiunii externe materiale - copilul formeaza multimi (aseaza langa primele trei obiecte inca un obiect, le considera impreuna, le numara cu glas tare si stabileste ca "sunt la un loc" patru obiecte.

In planul limbajului extern - copilul adauga cel de-al doilea termen, dar fara sa foloseasca actiunea, numarand doar cu privirea.