Dipolul electric

Dipolul electric

Se considera un dipol electric constituit din doua sarcini punctiforme de valoare egala q, dar de semne contrare, situate in aer la distanta una de alta.

a)Sa se defineasca vectorul moment electric dipolar si sa se deduca expresia acestuia;

b)Sa se deduca expresia intensitatii campului electric produs de dipol intr-un punct P aflat la distanta r, pe mediatoarea segmentului care uneste cele doua sarcini.

c)Deduceti expresia potentialului electric produs de dipol intr-un punct oarecare P din spatiu, aflat la distanta r de centrul dipolului. Se va considera .

d)Stiind ca expresia de legatura dintre intensitatea campului electric si potentialul electric intr-un punct este: , folosind expresia potentialului dedusa la punctul c), se cere sa se determine expresia vectorului intensitate a campului electric generat de dipol in punctul P.

Deduceti din relatiile obtinute expresia campului electric rezultant pe axa dipolului (y=0) si in planul median al acestuia (z = 0). Aratati ca rezultaul obtinut este identic cu cel determinat la punctul b) al problemei.

e)Se introduce dipolul electric intr-un camp electric exterior, uniform, de intensitate E, momentul dipolar facand initial unghiul q cu campul. Se cere sa se determine:

e₁)expresia vectorului moment al cuplului de forte creat de camp asupra dipolului;

e₂)expresia energiei potentiale de interactie a dipolului cu campul;

e₃)lucrul mecanic necesar pentru a inversa dipolul in camp.

f)Sa presupunem ca cele doua sarcini ale dipolului asezat orizontal, de mase de repaus m₁, respectiv m₂ sunt lasate la un moment dat libere. Calculati vitezele celor doua sarcini care se deplaseaza fara frecare, in plan orizontal, in momentul cand distanta dintre ele se reduce la jumatate.

Se presupune cunoscuta constanta:

Rezolvare

a) +q -q

q

2q

Figura 1

Dupa cum se poate vedea si din Figura 1, momentul electric dipolar este un vector aflat pe directia care uneste centrele celor doua sarcini, avand sens contrar campului electric de intensitate care apare intre acestea, adica:

(1)

b) Conform principiului superpozitiei, vectorul intensitate a campului electric in punctul P va fi dat de ecuatia vectoriala:

(2)

Acest vector este orizontal ca si directia axei dipolulului.

Datorita simetriei, valoarea intensitatii campului electric creat de fiecare dintre cele doua sarcini in punctul P este aceeasi si va avea expresia:

(3)

Urmarind figura de mai sus, se gaseste ca:

(4)

Substituind expresiile lui E, cosq in prima expresie din (4) si, tinandu-se cont de expresia momentului electric dipolar, se obtine:

(5)

In ultima aproximatie facuta s-a neglijat valoarea lui in raport cu r, asa cum se impune si prin enuntul problemei.

Ultima expresie poate fi scrisa si vectorial:

(6)

Vectorul intensitate a campului electric rezultant are deci aceeasi directie cu momentul electric dipolar si sensul contrar acestuia. De asemenea, se poate observa ca marimea acestuia scade functie de r³, spre deosebire de intensitatea campului electric generat de o singura sarcina punctiforma care scade mult mai lent, in functie numai de r².

c) Dupa cum se cunoaste, potentialul electric intr-un punct este o marime scalara, pastrand insa semnul sarcinii care-l genereaza. Expresia de definitia a potentialului este:

(7)

r, fiind distanta de la centrul sarcinii la punctul respectiv. Din Figura 2 se poate observa ca potentialul va ramane acelasi la o rotatie a punctului P in jurul axei dipolului. In aceste conditii .

(8)

z

+q -q

q O y

(r₁- r₂)

y P

Figura 2

Daca in ultima expresie de mai sus se fac aproximatiile:

(9)

se obtine:

(10)

Rezultatul obtinut arata ca potentialul electric al dipolului este nul in orice punct aflat in planul median ecuatorial al dipolului.Transportul unei sarcini electrice in acest plan se va face fara consum de lucru mecanic, interactia mutuala electrostatica dintre sarcina si dipol fiind, in acest plan, nula. Potentialul are doua valori extreme, una pozitiva pentru , cealalta negativa, pentru . Se mai poate observa ca potentialul electric nu depinde separat de q si , ci numai de produsul acestora, adica de momentul electric de dipol p.

d)Din Figura 2 se observa ca dipolul este dispus in centrul planului de coordonate Oyz. In aceste conditii, se poate scrie:

(11)

Inlocuind (11) in expresia (10) a potentialului, se obtine:

(12)

Tinandu-se cont de relatia de legatura dintre intensitatea campului electric in punctul P si potentialul electric in acelasi punct, vectorul intensitate a campului electric in punctul P este dat de relatia:

(13)

unde sunt, respectiv, versorii axelor Oy, Oz.

Prin identificarea termenilor, din ultimele doua expresii, se obtine:

(14)

Punand in ultima expresie y = 0, se obtine expresia campului electric pe axa Oz a dipolului:

(15)

Punand z = 0 in expresia E_Pz, se obtine expresia campului electric in planul median al dipolului:

(16) expresie care coincide cu (5).

Dupa cum se poate observa, in conformitate si cu discutiile facute anterior, E_Py este nul atat pe axa dipolului (y = 0), cat si in planul median al acestuia (z = 0).

Cu rezultatele obtinute, expresia vectoriala a intensitatii campului electric in punctul P, devine:

(17)

e)

+q

q

O

-q

Figura 3

e₁) Asa dupa cum se poate observa din Figura 3, momentul dipolar este un vector care reprezinta dipolul in campul electric dat. Asupra sarcinilor dipolului, in camp, actioneaza doua forte egale si de semne contrare:

(18)

care creaza un moment de rotatie in jurul unei axe care trece prin centrul dipolar O:

(19)

Se observa ca actiunea campului asupra dipolului este nula atunci cand axa dipolului este paralela cu directia liniilor de camp si va fi maxima atunci cand dipolul este asezat perpendicular la aceasta directie.

e₂) Pentru a roti dipolul cu un unghi infinitezimal dq, in camp electric, este necesar a se efectua un lucru mecanic din exterior a carui valoare este egala cu variatia inversa a energiei potentiale de interactie electrostatica dintre dipol si camp:

(20)

Conform deductiilor de la punctul anterior, energia de interactie a dipolului cu campul exterior este nula atunci cand acesta este paralel cu campul. Energia electrostatica a dipolului, cand acesta face unghiul q cu directia campului, va fi deci egala cu lucrul mecanic efectuat pentru a aduce dipolul din pozitia paralela in cea considerata, adica:

(21)

e₃) A inversa dipolul in camp, inseamna a-l roti cu 180⁰. Lucrul mecanic efectuat in acest caz va fi:

(22)

f) Dipolul electric functioneaza acum ca un sistem. Energia electrostatica datorata interactiei mutuale dintre cele doua sarcini si energia cinetica a sistemului, la miscarea in plan orizontal a celor doua sarcini se conserva. Se va conserva, de asemenea, impulsul.

Dupa cum se stie, energia potentiala de interactie mutual electrostatica a doua sarcini este produsul dintre marimea unei sarcini si potentialul electric creat de a doua sarcina in punctul in care prima se afla, adica:

(23)

r - fiind distanta la momentul respectiv dintre cele doua sarcini.

Consideram ca sarcina pozitiva este in stanga si deci ea va fi atrasa in sensul pozitiv al axei orizontale de catre sarcina negativa, care se va misca in sens contrar.

Scriind legea conservarii impulsului si a energiei sistemului intre momentul initial, cand distanta dintre sarcini este , ele aflandu-se in repaus si apoi, atunci cand aceasta distanta devine , se obtine:

(24)

Rezolvand sistemul, se obtin solutiile: