Experimentul Stern - Gerlach. Devierea unui fascicul de atomi printr-un camp magnetic variabil.

Descrierea dispozitivului experimental.

Fig. 1

Dispozitivul experimental consta intr-o sursa de atomi de argint in stare fundamentala, un sistem electromagnetic ce creeaza un camp magnetic puternic variabil, si un ecran sensibil, pe care se inregistreaza incidentele atomilor de argint (Fig. 1).

Se poate observa, in urma experimentului, ca fasciculul de particule nu ramane coerent, ci se scindeaza in doua subfascicule. Problema nu a putut fi explicata prin teoria clasica, ci au trebuit introduse notiuni noi, cum ar fi spinul electronic, momentul magnetic de spin, interactiunea spin-orbita. In cele ce urmeaza este prezentata explicatia acestui fenomen si un calcul teoretic al devierii pe verticala a fasciculului.

Considerente teoretice.

Momentul cinetic in mecanica cuantica.

Corectarea cuantificarii date de Niels Bohr momentului cinetic, , a fost adusa mai tarziu, fundamentata de Schrdinger si Heisenberg. Cuantificarea oricarui moment cinetic din mecanica cuantica se face dupa o regula simpla: , unde l este numarul cuantic corespunzator.

Inca o regula data de mecanica cuantica este cea a cuantificarii unui moment cinetic rezultant. Daca avem doua momente cinetice si , care se cuantifica dupa regulile , respectiv , atunci momentul cinetic rezultant, se cuantifica dupa regula , unde .

Momentul cinetic orbital, numarul cuantic orbital, momentul magnetic orbital, numarul cuantic magnetic.

Momentul cinetic orbital se cuantifica dupa regula cunoscuta, , unde . De asemenea, se cuantifica si proiectia acestui moment cinetic pe o axa preferentiala (de exemplu - a unui camp magnetic), prin formula , unde m_l este numarul cuantic magnetic, .

Corespunzator momentului cinetic orbital este un moment magnetic orbital, dat de formula binecunoscuta, . Daca introducem atomul intr-un camp magnetic va aparea o energie de interactiune magnetica, data de formula . Dar , si avem , unde se numeste magneton Bohr.

Momentul cinetic de spin, numarul cuantic de spin, momentul magnetic de spin, numarul cuantic magnetic de spin.

Spinul electronic a fost introdus fara suport intuitiv, pentru ca s-a demonstrat ca electronul nu poate avea o miscare efectiva de rotatie in jurul axei proprii. Spinul electronic trebuie privit ca o proprietate intrinseca a electronului, ca si momentul cinetic (se observa din cuantificare ca momentul cinetic poate fi si nul, ceea ce contrazice firescul).

Momentul cinetic de spin se cuantifica identic cu celelalte momente cinetice: . In cuantificare, s este numarul cuantic de spin. S-a aratat ca acesta nu poate lua decat valoarea . De asemenea, proiectia acestui moment cinetic pe o axa preferentiala se cuantifica: , unde m_s se numeste numar cuantic magnetic de spin si ia doua valori: .

Corespunzator momentului cinetic de spin apare un moment magnetic de spin. Apare insa o anomalie fata de momentul magnetic orbital, factorul de proportionalitate se schimba: , nu cum ne-am fi asteptat. Proiectia momentului magnetic de spin pe o directie preferentiala se cuantifica de asemenea: .

Interactiunea spin-orbita. Momentul cinetic total. Momentul magnetic total. Momentul magnetic efectiv.

S-a introdus interactiunea spin-orbita ca o orientare a in campul magnetic produs de miscarea orbitala ( ). Energia electronului in atom depinde nu doar de miscarea in jurul nucleului, ci si de spin.

Momentul cinetic total al atomului este . Acesta se cuantifica dupa regula cunoscuta: , unde , deoarece .

De asemenea vom avea un moment magnetic total . Interactiunea dintre aceste momente cinetice se manifesta sub forma unei precesii a cuplului spin-orbita ( ), dar si a unei precesii a lui in jurul unei axe preferentiale.

Componenta este cuantificata dupa regula , unde .

Se mai observa ca, datorita anomaliei ce a aparut la proportionalitatea dintre momentul cinetic si cel magnetic de spin, directia lui nu corespunde directiei lui . Datorita precesiei, si vectorii si , deci si vor efectua o precesie in jurul directiei lui . Aceasta ne permite sa introducem un moment magnetic efectiv al atomului, obtinut prin mediere pe mai multe perioade a vectorului . Notam acest moment magnetic efectiv cu (figura 2). Acest moment magnetic efectiv poate fi calculat. Observam ca:

. Cosinusurile respective le vom obtine din teorema cosinusului aplicata in triunghiul respectiv al momentelor cinetice:

, respectiv . Vom folosi urmatoarele identitati:

, . Acum putem scrie:

, sau, dupa simplificari si aducerea la acelasi numitor:

. Acum folosim faptul ca si pentru celelalte momente cinetice analog, deci vom avea expresia lui doar in functie de numerele cuantice respective:

Daca in formula de mai sus notam cu , vom avea . Vectorial, putem scrie:

Coeficientul g se numeste factor Land de proportionalitate a momentului magnetic efectiv fata de momentul cinetic total. Tinand cont de expresia magnetonului Bohr, putem scrie si o formula alternativa a momentului magnetic efectiv: , expresie care seamana ca forma cu cele ale sau .

Atomul, plasat intr-un camp magnetic suficient de mic astfel incat sa nu strice cuplajul spin-orbita, va avea o energie suplimentara de interactiune magnetica: , unde .

Explicatia scindarii fasciculului de atomi de Ag

Stern si Gerlach au folosit atomi de Ag pentru faptul ca au doar un singur electron pe ultimul strat, si acesta este oarecum ecranat de celelalte straturi. Similaritatea cu atomul de Hidrogen este foarte mare. Atomii de Ag erau in stare fundamentala. Explicatia o vom da prin analogie cu atomii de Hidrogen in stare fundamentala.

Atomul de hidrogen in stare fundamentala are numerele cuantice . In acest caz, factorul Land are valoarea . Energia de interactiune magnetica va avea urmatoarele valori posibile: .

In camp magnetic variabil, energia potentiala de interactiune magnetica este variabila si da nastere unei forte (este forta care imparte fasciculul in doua). Matematic, aceasta forta este data de relatia binecunoscuta:

In formula de mai sus sunt versorii celor trei axe ( ).

Cum campul in experiment variaza puternic doar pe directia z, pe celelalte doua fiind constant, formula de mai sus se simplifica:

Dar si . Iata ca asupra atomilor actioneaza forte proportionale cu gradientul campului magnetic, in doua sensuri. O parte din atomi vor avea si o parte vor avea , de aceea se imparte fasciculul de atomi in doua.

Daca lungimea sectorului cu camp magnetic variabil este x si distanta pe care atomii se misca liber (distanta de la electromagnet pana la ecran) este D, atunci se arata usor ca devierea fasciculului are formula:

Iata cum am putut explica scindarea fasciculului de atomi de Ag cu ajutorul analogiei cu modelul atomului de Hidrogen. Experimentul Stern-Gerlach este de referinta in evolutia mecanicii cuantice, confirmand presupunerile fizicienilor cu privire la spinul electronic si interactiunea spin-orbita.