| CATEGORII DOCUMENTE |
| Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
| Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
| Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
FILTRAREA DATELOR EXPERIMENTALE FECTATE DE ZGOMOTE
OBIECTIVELE LUCRARII
Studiul posibilitatilor de diminuare a zgomotelor care insotesc datele experimentale recoltate in scopul identificarii unui sistem.
BREVIAR TEORETIC
Datele experimentale sunt insotite de cele mai multe ori de zgomote. Figurile 5.1.si 5.2. ilustreaza raspunsul normalizat al unui sistem liniar de ordinul I la intrare treapta unitara neafectat, respectiv afectat de prezenta zgomotului.
Fig. 5.1. Raspunsul normalizat al unui sistem de ordinul
I la intrare treapta unitara, neafectat de zgomote.
Timp
Fig. 5.2. Raspunsul normalizat al
unui sistem de ordinul I la intrare treapta unitara, afectat de
zgomote.
Pentru identificarea sistemului prin metoda indiciala este necesara evaluarea derivatei intr-un moment oarecare, in particular in origine, si apoi intersectarea dreptei tangente la curba cu dreapta y=1. Diferenta absciselor punctului in care se evalueaza derivata si a celui de intersectie a tangentei cu orizontala regimului stationar este exact constanta de timp t a sistemului. Evaluari ale derivatelor si a functiei raspuns se cer si pentru alte sisteme de ordine variate. Daca evaluarile pot fi acceptate in cazul datelor putin (sau deloc) afectate de zgomot, pentru situatiile cand zgomotul devine important, evaluarile pe calea clasica, in esenta o cale grafica, sunt imposibile.
O metoda de a netezi curbele experimentale de genul celor prezentate anterior este filtrarea printr-un filtru trece-jos. Este vizibil faptul ca fenomenul tranzitoriu este relativ lent, asadar este reprezentat de frecventele joase ale spectrului, in timp ce fluctuatiile datorate zgomotului sunt fenomene considerabil mai rapide, legate prin urmare de frecvente mai ridicate din spectru. Pentru semnale analogice se pot utiliza filtre trece-jos analogice. Un simplu divizor RC cu iesirea pe capacitate, de exemplu, este un filtru trece-jos, fara calitati deosebite, dar este un filtru care atenueaza cu precadere frecventele inalte.
Datele recoltate uzual sunt date numerice de tip esantioane prelevate cu o anumita regularitate ale unor functii definite pe intervale de timp dense pe axa reala a timpului. Exista o varietate de filtre numerice de tipul trece-jos care pot fi utilizate pentru diminuarea zgomotului.
Filtrele numerice cele mai simple sunt filtrele de mediere. Iesirea unui astfel de filtru se prezinta ca media aritmetica a unui numar de esantioane succesive
(5.1)
Graficele care urmeaza ilustreaza efectul filtrarii prin medierea a trei sau a cinci valori consecutive.
Timp
Timp
Fig.5. 3. Efectul filtrarii prin medierea valorilor consecutive
Se observa evolutia calitativa a datelor pe masura ce numarul de esantioane mediate creste: trei pentru figura (3), cinci pentru figura (4).
Datele brute, nefiltrate sunt reprezentate in figura (2). Se reia pentru ilustrare si graficul (1) cu raspunsul neafectat de zgomot.
Graficele au fost generate cu secventa MATLAB urmatoare:
% Programul realizeaza filtrarea unui semnal afectat de zgomot
%Sintaxa de apelare este Filtrare(k,a,m)
%k-coeficientul din functia de transfer
%a-timpul de intarziere al sistemului
%m-numarul de date luate in fiecare medie facuta
Function Filtrare(k,a,m)
sis=tf(k,[a,1];
[y,t]=step(sis);
hold on;
z=rand(size(y));
y1=y+(z-5)*.05;
pause;
plot(t,y1);
for j=1:109-m;
s=0;
forI=j:j+m;
s=s+y1(I);
end
y2(j)=1/(m+1)*s;
end
hold off;
pause;
plot(t,y2,'g');
pause;
Filtrarea prin mediere nu este singura modalitate de a obtine din date afectate de zgomot, date mai putin marcate de fluctuatiile satistice. Un efect de filtrare trece-jos are si interpolarea raspunsului din esantioanele sale prin mijlocirea functiei sinc
sinc(x)= 
(5.2)
combinata cu o fereastra finita.
Se cunoaste faptul ca un semnal de banda limitata se poate reconstitui pe baza relatiei:
(5.3)
daca frecventa esantioanelor este cel putin egala cu dublul frecventei celei mai mari din spectrul de frecvente al semnalului. Relatia de mai sus, cunoscuta si sub numele de teorema esantionarii, care contine amintita functie sinc, este nepractica din cauza sumei infinite pe care o contine. Se recurge, de aceea, la un numar finit de esantioane ceea ce se poate interpreta ca "privirea" esantioanelor printr-o fereastra rectangulara, descrisa de relatia
1, (5.4)
0, in rest
si care este de largime finita a, definita in jurul originii dar centrata succesiv pe momente de timp variate, momente in care se urmareste a fi (re)evaluat semnalul s(t) din esantioanele sale. Relatia de interpolare se modifica dupa cum urmeaza
(5.5)
si cu toate ca valorile extreme ale indicelui dupa care se face insumarea au fost mentinute aceleasi, infinite, insumarea se face de fapt pe un numar finit de esantioane, cele cuprinse in fereastra. Formula de interpolare cu fereastra data mai sus se utilizeaza si pentru semnale de banda nelimitate (semnalul observat la iesirea unui sistem cand la intrarea lui se aplica o variatie treapta este de aceasta natura)
cu pierderi de componente din partea superioara a spectrului. De aici utilul si asteptatul efect de filtrare/diminuare a zgomotelor insotitoare ale unui semnal.
Utilizarea ferestrei rectangulare este in toate privintele echivalenta cu filtrarea prin mediere daca esantioanele sunt ponderate astfel ca suma ponderilor sa fie egala cu unitatea. Stabilirea acestor ponderi se face simplu prin normalizarea esantioanelor unui semnal cuprinse in fereastra.
Fereastra rectangulara nu este singurul tip de fereastra utilizat in calcule de filtrare. Exista posibilitatea de a alege intre mai multe tipuri de ferestre si de a selecta o deschidere anume pentru fereastra retinuta pentru calcule. Sunt date imediat cateva ferestre dintre cele mai utilizate.
Fereastra Bartlett
in rest pentru
(5.6)
Fereastra Blackmann
in rest
(5.7)
Fereastra Gauss
in rest
(5.8)
Ferestrele Hann si Hamming, foarte asemanatoare, diferite numai prin parametrul a a=0.5, respectiv a
in rest
(5.9)
Fereastra Kaiser cu parametrul ajustabil a care controleaza cat de rapid se apropie de zero laturile ferestrei
in rest
(5.10)
cu I0(x) functia Bessel modificata de ordinul zero.
Fereastra Lanczos, lobul central al functiei sinc extinsa la un interval dat
in rest
(5.11)
Fereastra Parzen, o aproximare cubica pe portiuni a ferestrei Gauss de intindere doi.
in rest
(5.12)
Fereastra Welch, descrisa de relatia (5.13)
in rest pentru
(5.13)
In figura 5.4. este reprezentat grafic un semnal sinusoidal, iar in figurile 5.5. si 5.6, acelasi semnal sinusoidal filtrat utilizand, respectiv, ferestrele Bartlett si Kaiser.
Graficele au fost generate cu urmatoarea secventa de program :
function grafice(tau,alfa)
t=1;
for x=-tau-1:.1:tau+1;
y(t)=sin(sin(10*x)/7+cos(9.5*x/2)/10)/2;
t=t+1;
end
x=-tau-1:.1:tau+1;
figure
qq=polyfit(x,y,3);
pp=polyval(x,qq);
xx=-tau-1:.001:tau+1;
nnv=spline(x,y,xx);
plot(xx,nnv);
title('Semnal sinusoidal sin(sin(10*x)/7+cos(9.5*x/2)/10)/2');
hold on;
grid;
t=1;
figure;
for x=-tau-1:.1:tau+1;
if ((x>=-tau)&(x<=tau))
bartlett(t)=1-abs(x)/tau;
else
bartlett(t)=0;
end
t=t+1;
end
x=-tau-1:.1:tau+1;
qq=polyfit(x,bartlett,3);
pp=polyval(x,qq);
xx=-tau-1:.001:tau+1;
nnv=spline(x,bartlett,xx);
plot(xx,nnv,'r');
%title('Fereastra Bartlett');
hold on;
t=1;
yt1=y+bartlett;
qq=polyfit(x,yt1,3);
pp=polyval(x,qq);
xx=-tau-1:.001:tau+1;
nnv=spline(x,yt1,xx);
plot(xx,nnv);
title('Filtrarea cu ajutorul ferestrei Bartlett')
grid;
t=1;
figure;
for x=-tau-1:.1:tau+1;
if ((x>=-tau)&(x<=tau))
kaiser(t)=besseli(0,x)*(alfa*(1-(x/tau)^2)^(1/2)/besseli(0,alfa));
else
kaiser(t)=0;
end
t=t+1;
end
x=-tau-1:.1:tau+1;
qq=polyfit(x,kaiser,3);
pp=polyval(x,qq);
xx=-tau-1:.001:tau+1;
nnv=spline(x,kaiser,xx);
plot(xx,nnv,'r');
hold on;
%title('Fereastra Kaiser');
t=1;
%figure
yt2=y+kaiser;
qq=polyfit(x,yt2,3);
pp=polyval(x,qq);
xx=-tau-1:.001:tau+1;
nnv=spline(x,yt2,xx);
plot(xx,nnv);
title('Filtrarea cu ajutorul ferestrei Kaiser')
grid;
Fig.5.4. Semnal sinusoidal nefiltrat
Fig.5.5. Semnal sinusoidal filtrat cu fereastra Bartlett
Fig.5.6. Semnal sinusoidal filtrat cu fereastra Kaiser
In identificarea prin metoda indiciala se utilizeaza derivarea curbei raspunsului la intrarea treapta. Pentru evaluarea derivatei exista posibilitatea utilizarii functiei cosc, de forma
pentru pentru
(5.14)
care este derivata functiei sinc mentionata mai devreme. Derivarea termen cu termen a sumei din teorema esantionarii produce o suma de functii cosc cu coeficienti proportionali cu esantioanele semnalului. Prin utilizarea unor ferestre din cele prezentate mai sus se pot obtine estimari ale derivatei semnalului.
3. MODUL DE LUCRU
Se genereaza o secventa de esantioane ale raspunsului indicial al unui alt sistem liniar de ordinul I si se observa efectul zgomotului si efectul filtrarii trece-jos prin mediere.
Se elaboreaza programe care definesc functii capabile sa filtreze un semnal prin mijlocirea celorlalte ferestre din cele prezentate in Breviar teoretic - Blackmann, Gauss, Hann, Hamming, Parzen, Lanczos. Se observa efectul filtrarii trece-jos realizate.
Se elaboreaza programul de implementare al unui algoritm de calcul al derivatei cu functia cosc si fereastra rectangulara. Se observa efectul de filtrare la evaluarea derivatei pe baza datelor-esantioane.
Se evalueaza derivata raspunsului cu functia cosc si fereastra rectangulara in conditii variate de zgomot.
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1339
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
