LEGEA (TEOREMA) LUI GAUSS PENTRU MEDII OMOGENE

LEGEA (TEOREMA) LUI GAUSS PENTRU MEDII OMOGENE

Pentru definirea corecta a fluxului electric, consideram in Figura 1.5.o suprafata

Figura 1.5.

inchisa, situata intr-un camp electric, (a). Suprafata a fost impartita in patrate elementare de suprafata DS fiecare, suficient de mici pentru a putea fi considerate plane. Un astfel de element de suprafata, dupa cum se poate vedea in cele trei cazuri reprezentate in (b), poate fi reprezentat printr-un vector, a carui marime este suprafata DS. Directia si sensul lui sunt cele ale normalei exterioare la fiecare element de suprafata in parte. Fiecarui element i se poate atasa vectorul camp electric exterior . Deoarece patratele au fost aleste suficient de mici, E poate fi considerat constant in toate punctele unui patrat elementar dat. Vectorii si D, ce caracterizeaza fiecare patrat fac intre ei unghiuri q. Cazurile prezentate distinct in (b) sunt, pentru unghiuri q > 90⁰,(x), q = 90⁰, (y) si q = 0 (z). Fiecarui element de suprafata i se poate atasa, de asemenea, marimea scalara. Contributia la fluxul total este negativa in cazul x, zero in cazul y si pozitiva in situatia prezentata in (z).

In Figura 1.6 este reprezentata o suprafata cilindrica intr-un camp electric uniform paralel cu axa sa de simetrie. Fluxul electric va fi nul pe suprafata laterala a cilindrului, dar si fluxul total va fi nul deoarece fluxurile la cele doua extremitati a si c sunt egale si de semne

Figura 1.6.

d S r d0 +Q

Figura 1.7

contrare. Din situatiile prezentate anterior se poate trage concluzia ca fluxul este pozitiv daca sensul liniilor de camp create este acelasi cu sensul versorului normalei la elementul de suprafata considerat si negativ in caz contrar.

Se considera o sarcina punctiforma +Q aflata in interiorul unei suprafete inchise oarecare S, vezi Figura 1.7. Fiecare element d al acestei suprafete va fi strabatut de acelasi flux cu cel care trece prin fiecare element de suprafata d al unei sfere de raza r al carei centru coincide cu locul in care este plasata sarcina. Fluxul, prin intreaga suprafata inchisa S, egal cu fluxul total prin suprafata sferei considerate, va fi:

(1.12)

Prin urmare, deoarece numarul total al liniilor de camp (fluxul electric) care trec prin suprafetele tuturor sferelor concentrice cu sarcina Q, care ar putea fi construite, este constant, aceste linii de camp pastrandu-si continuitatea, rezultatul obtinut nu depinde, dupa cum se poate observa, de raza r a sferei folosite in rationament. Cu alte cuvinte, in

afara punctului in care se afla sarcina nu pot aparea sau sa se termine linii de camp. Sarcina Q este sursa, de fapt, suportul campului electric creat.

In conformitate cu principiul superpozitiei, daca in interiorul suprafetei inchise S, exista o distributie discreta de n sarcini electrice, intensitatea campului electric rezultant se obtine prin insumarea campurilor generate de fiecare sarcina in parte si atunci se poate scrie:

      (1.13)

In Figura 1.8. este considerata o sarcina pozitiva +Q, plasata in exteriorul unei suprafete oarecare inchise S. Liniile campului electric E strabat intreaga suprafata. Am delimitat doua elemente de suprafata d si d, de versori ai normalelor , respectiv, . Din considerentele pe care le-am analizat anterior, fluxurile prin cele doua elemente de suprafata sunt egale si de semne contrare:

(1.14)

adica fluxul total creat de sarcinile aflate inafara unei suprafete inchise este nul.

Relatiile (1.13) si (1.14) reunite, exprima legea (teorema) lui Gauss:

Fluxul electric printr-o suprafata arbitrara inchisa este numeric egal cu suma algebrica a sarcinilor aflate in interiorul suprafetei supra permitivitatea dielectrica a mediului in care se afla sarcina si este nul pentru sarcinile aflate in exteriorul suprafetei inchise.

In cazul in care interiorul suprafetei contine o distributie continua, uniforma de sarcina electrica de densitate volumica r_q, in conformitate cu teorema Green-Gauss-Ostrogradsky, putem scrie:

(1.15)

Ultima relatie obtinuta este cunoscuta sub denumirea de forma locala diferentiala a legii (teoremei) lui Gauss.