MODELE DE TURBULENTA

Intr-o miscare turbulenta, este necesara medierea ecuatiilor Navier-Stokes, iar inchiderea sistemului de ecuatii necesita modelarea tensiunilor Reynolds si a fluxurilor turbulente de caldura printr-un model de turbulenta. La ora actuala nu exista un model de turbulenta acceptabil pentru orice miscare turbulenta; toate modelele cunoscute prezinta limite care restrang gama domeniului lor de aplicabilitate.

O clasificare a modelelor de turbulenta se poate face dupa numarul de ecuatii diferentiale cu derivate partiale (sau ecuatii de transport) care se ataseaza sistemului de ecuatii Reynolds pentru inchiderea acestuia. Astfel, intalnim modele de turbulenta cu zero ecuatii diferentiale (modele algebrice), modele cu o ecuatie de transport etc. Se mentioneaza ca modelul cel mai complex cuprinde 12 ecuatii diferentiale cu derivate partiale. In prezent, cele mai utilizate modele in aplicatiile practice ale miscarilor turbulente sunt modelele algebrice, modelele cu o ecuatie si modelele cu doua ecuatii de transport.

SCARI DE TURBULENTA

O miscare turbulenta este considerata ca o suprapunere de miscari de diverse dimensiuni, numite structuri turbulente. Aceste structuri (asimilate unor turbioane) au caracter tridimensional, fiind puternic deformate spatial si interactioneaza intre ele prin fenomenul de cascada energetica. Scarile reprezinta valori caracteristice pentru lungimi, viteze si timp. Se observatia ca, intre scara de lungimi , scara de viteze si scara de timp asociate unei structuri turbulente, exista o relatie de legatura ( ceea ce pune in evidenta ca aceste scari nu sunt independente. Exprimarea cantitativa a scarilor de turbulenta se poate face riguros prin utilizarea analizei spectrale. Intr-o miscare turbulenta, ecuatiile de impuls pun in evidenta existenta a trei tipuri de miscari: o miscare generala de convectie, o difuzie turbulenta si o difuzie vascoasa. Pentru toate cele trei miscari putem pune in evidenta scarile caracteristice, precum si relatiile dintre acestea.

Difuzia turbulenta se face prin intermediul unor miscari de amplitudine mare care au un ordin de marime proportional cu grosimea stratului limita. Astfel, se poate obtine o scara de lungimi pentru aceste structuri. Mai mult, analiza spectrala pune in evidenta ca aceste miscari sunt asociate cu o parte importanta din energia cinetica turbulenta, de unde poate rezulta ca o viteza caracteristica u pentru miscarile de amplitudine mare este data de relatia:

. )

unde k este energia cinetica turbulenta:

. )

Scarile de lungimi si de viteze determina o scara de timp , care reprezinta timpul in care o particula se deplaseaza pe o distanta (de ordinul grosimii stratului limita). O ipoteza a stratului limita turbulent arata ca timpul caracteristic al turbulentei si timpul caracteristic al miscarii de convectie sunt egali:

. )

unde U si L sunt marimi caracteristice pentru miscarea generala de convectie. Aceasta relatie pune in evidenta ca, pentru stratul limita, scara de timp a turbulentei este impusa de miscarea generala de convectie. In alte situatii nu scara de timp este cea impusa de curgerea generala, ci scara de lungimi (de exemplu, la curgerile prin conducte). Pentru o miscare de forfecare va trebui, de asemenea, sa comparam scara de timp a turbulentei cu fenomenul care sta la originea turbulentei (viteza de forfecare) si vom avea:

. )

care, de asemenea, se constituie intr-o ipoteza a stratului limita. Aceeasi ipoteza se regaseste si pentru curgerile prin conducte, in dare sau jeturi.

Pentru difuzia vascoasa pe directia transversala, o scara caracteristica de timp este data de . Raportul dintre timpul caracteristic difuziei vascoasa si timpul caracteristic difuziei turbulente determina un numar Reynolds caracteristic turbulentei:

. )

Cum pentru structurile mari Re_t este foarte mare, rezulta ca si deci se poate neglija difuzia vascoasa in raport cu cea turbulenta.

O miscare turbulenta este caracterizata de superpozitia a unui ansamblu de miscari de scari foarte diferite. Analiza spectrala arata ca energia este repartizata pe o gama foarte larga de frecvente. Dar unei frecvente ii corespunde o perioada sau un timp caracteristic. In interiorul miscarilor de talie mare se formeaza miscari de talie mai mica, care la randul lor genereaza miscari de talie si mai mica si asa mai departe. Formarea miscarilor de talie din ce in ce mai mica este rezultatul neliniaritatii ecuatiilor Navier-Stokes si a caracterului tridimensional al miscarii turbulente. Cu toate acestea, exista o limita inferioara pentru scarile caracteristice structurilor turbulente, care este dependenta de vascozitate. Intr-adevar, pe masura ce scara de lungimi se micsoreaza, numarul Reynolds asociat va descreste si vascozitatea isi poate indeplini rolul sau de a transforma energia cinetica in caldura. Pentru structurile mari, numarul Reynolds asociat este mare; fortele de vascozitate sunt neglijabile in raport cu cele de inertie si disipatia energiei cinetice este neglijabila. Din contra, pentru structurile de talie mica, disipatia este foarte intensa. Dar energia structurilor mici provine din energia structurilor mari, care ele insele se alimenteaza din miscarea medie. Talia structurilor mici se determina din conditia ca rata de disipatie sa nu depaseasca posibilitatea de extragere a energiei.

Scarile corespunzatoare structurilor mici sunt numite scarile Kolmogorov:

. )

unde este scara de timp, scara de lungimi, v scara de viteze iar este disipatia turbulenta:

. )

Observatii. 1. Numarul Reynolds corespunzator structurilor de talie mica este egal cu unitatea:

. )

2. Disipatia turbulenta depinde doar de caracteristicile miscarilor de talie mare, deci are sens ca ordinul de marime al I disipatiei sa fie dat de structurile de talie mare:

. )

3. Se poate pune in evidenta raportul dintre scarile structurilor mari (responsabile cu transportul turbulent) si scarile structurilor mici (responsabile de disipatia turbulenta):

. )

unde Ret este dat de (3.3). Se remarca faptul ca ecartul dintre scarile structurilor mari si cele ale structurilor mici creste odata cu cresterea numarului Reynolds.

4. O viteza de referinta a turbulentei pentru zona din imediata vecinatate a peretelui poate fi considerata viteza de frecare :

. )

unde este tensiunea de frecare la perete, deoarece experienta arata ca, in aceasta regiune, intr-o miscare bidimensionala in medie, au acelasi ordin de marime cu. In vecinatatea separarii stratului limita, viteza de frecare nu mai este reprezentativa.

ZONAREA STRATULUI LIMITA

Intr-un strat limita turbulent, exista minim doua zone distincte. O zona departe de perete, care este controlata de turbulenta si o zona in vecinatatea peretelui controlata de vascozitate. Zona de la perete este numita zona interna, iar zona externa se constituie in zona de turbulenta dezvoltata. Aceasta zonare deriva direct din analiza datelor experimentale referitoare la tensiunea totala din fluid. Se constata ca tensiunea totala este data practic de componenta turbulenta pe aproape toata grosimea stratului limita (aproximativ 90%) cu exceptia unei mici vecinatati a peretelui unde vascozitatea devine predominanta.

In zona interna, se poate pune in evidenta existenta a trei subzone:

substratul vascos in care legea de variatie a vitezelor se constituie intr-o lege universala:

. )

unde:

. )

Acest substrat, denumit uneori incorect si substrat laminar (deoarece fluctuatiile vitezei sunt prezente) acopera zona de la perete pana la y⁺ 4;

substratul inertial (sau logaritmic) se caracterizeaza de asemenea printr-o lege universala de distributie a vitezelor:

. )

unde = 0,41 este constanta lui von Karman, iar C este o constanta universala a carei valoare este aproximativ 5 (uzual C = 5,25). Legea logaritmica (3.14), numita si legea la perete, este o proprietate foarte importanta a stratului limita si a curgerilor turbulente in general. Experientele arata ca legea logaritmica exista in conditii foarte variate, cum ar fi curgerile cu gradient puternic de presiune (in cazul gradientului advers de presiune pana in vecinatatea punctului de separare), sau curgeri turbulente la numere Reynolds mici. Comparatiile cu experienta arata ca legea logaritmica este verificata pentru y⁺ > 40. Pentru regimul compresibil Van Driest, obtine urmatoarea forma a legii la perete:

. )

unde:

. )

iar este o constanta universala;

substratul tampon (sau de buffer), dezvoltat intre substratul vascos si cel inertial deci, corespunzator intervalului 4 < y⁺ < 40, fig. 3.1.

Fig. . Legea la perete

In zona externa a stratului limita, curgerea este controlata in intregime de turbulenta, iar tensiunea vascoasa este neglijabila in raport cu cea turbulenta. Se arata ca, in aceasta zona este verificata legea vitezelor deficitare:

. )

unde U_e este viteza la frontiera stratului limita, iar o functie ce depinde doar de . Functia nu este o functie universala, fiind influentata de numerosi parametri cum sunt: gradientul de presiune, numarul Reynolds, istoria miscarii, conditiile de dezvoltare a miscarii in amonte etc.

In consecinta, profilul de viteze in stratul limita are comportari distincte si independente in zona interna fata de zona externa. Este deci necesara introducerea unei zone de racordare in care profilul de viteze sa satisfaca simultan si legea logaritmica (3.14) si legea vitezelor deficitare (3.17). Metoda dezvoltarilor asimptotice pune in evidenta ca legea la perete (3.14) si legea vitezelor deficitare (3.17) trebuie sa se racordeze la extremitatea comuna a domeniului lor de validitate, deci pentru si . Cum:

. )

se constata ca descompunerea in doua zone distincte a stratului limita este posibila doar pentru cazul in care .

Impunand conditia de racordare pentru viteza de forfecare, se obtine o forma asimptotica pentru legea vitezelor deficitare:

. )

unde B nu este o constanta universala. Deoarece am admis ca racordarea are loc pentru y⁺ - oo, putem considera ca, teoretic, legea logaritmica este valabila pentru .

Aditionand relatiile (3.18) si (3.14), in domeniul unde acestea sunt simultan valabile, se obtine legea de frecare:

. )

unde coeficientul de frecare C_f este definit de:

. )

COMPORTARI ASIMPTOTICE

In modelarea tensiunilor turbulente si a fluxurilor termice turbulente, un rol important il au comportarile asimptotice ale fluctuatiilor si tensiunilor aparente in imediata vecinatate a peretelui. Acestea sunt puse in evidenta, atat prin rezultatele experimentale, cat si prin simulari numerice directe ale sistemului Navier-Stokes. Evident, conditia de aderenta impune anularea fluctuatiilor la perete. Langa perete, in substratul vascos, rezultatele experimentale sugereaza pentru fluctuatiile vitezei dezvoltari in serie functie de distanta la perete y, de forma:

. )

iar din ecuatia de continuitate rezulta:

. )

in aceste conditii, pentru energia cinetica turbulenta (3.2), dezvoltarea asimptotica, in zona peretelui, va fi de forma:

. )

iar disipatia turbulenta (3.7) va tinde catre o valoare nenula la perete:

. )

in ceea ce priveste tensiunea turbulenta , se pune in evidenta din (3.22) si (3.23), o dezvoltare de forma:

. )

care este probata si de simularile numerice directe. Totusi Hinze, arata ca rezultatele experimentale pun in evidenta faptul ca parametrul d este foarte mic, iar curba se grupeaza mai bine in vecinatatea lui y⁴.

Pentru fluxurile termice aparente, (3.22) si (3.23) sugereaza o relatie de forma:

. )

O alta serie de rezultate de referinta se refera la zona turbulentei complet dezvoltate a stratului limita (zona exterioara). Aceasta zona prezinta o importanta deosebita, dat fiind extinderea ei (90% din grosimea stratului limita). Astfel, in aceasta zona:

. )

unde valoarea constantei este aproximativ 0,3 (in zona logaritmica constanta este ceva mai mica, o valoare aproximativa fiind 0,25). De asemenea, o valoare constanta are si coeficientul de corelatie:

. )

Desi rapoartele nu sunt constante, totusi, in prima aproximatie, se poate considera:

. )

IPOTEZA BOUSSINESQ

Boussinesq (1877) propune exprimarea tensiunilor aparente (turbulente) functie de vitezele medii de deformatie, prin intermediul unei vascozitati aparente (sau turbulente):

. )

unde k este energia cinetica turbulenta (3.2). Pentru problema stratului limita, ipoteza Bousssinesq (3.31) devine:

. )

in care u este viteza medie. Aceste relatii se bazeaza pe analogia dintre transportul de impuls prin agitatia turbulenta si agitatia moleculara, cu toate ca aceasta analogie nu este justificata. Agitatia moleculara este independenta de miscare si subzista intr-un fluid in repaus, pe cand fluctuatiile turbulente sunt intrinsec legate de miscare. Totusi, aceasta ipoteza poate fi justificabila, daca vom admite ipoteza Prandtl-Kolmogorov:

. )

unde si reprezinta scarile locale de viteze si, respectiv, de timp ale turbulentei. Astfel, s-a aratat ca in stratul limita:

. )

iar din (3.32) obtinem:

. )

adica tocmai relatia (3.4), care reflecta ipoteza stratului limita conform careia, timpul caracteristic turbulentei este impus de viteza de forfecare medie.

Prin analogie directa cu transportul de impuls turbulent, fluxul termic turbulent se propune a fi exprimat in functie de gradientul de temperatura:

. )

unde este coeficientul de difuzie termica turbulenta. Analogia Reynolds dintre transportul de impuls si transportul de caldura presupune ca difuzivitatea termica aparenta, este legata de vascozitate turbulenta, , printr-o relatie de forma:

. )

unde Pr_t este numarul Prandtl turbulent, care se considera, uzual, constant. Totusi cercetari recente au pus in evidenta o variatie a numarului Prandtl turbulent pe grosimea stratului limita, iar calcule mai exacte ale transferului termic turbulent se fac la ora actuala cu renuntarea la ipoteza numarului Prandtl turbulent constant. In aceste conditii, coeficientul de difuzie termica aparenta, se pune in relatie cu scarile de turbulenta:

. )

unde este o scara de viteze, iar este o scara mixta de timp, care depinde de scara de timp pentru viteze, , si scara de timp pentru temperatura, . De regula, scara mixta se ia de forma:

. )

unde constantele reale l si n satisfac relatia l + n = 1.

Avand drept criteriu utilizarea ipotezei Boussinesq (3.31), se pun in evidenta doua categorii de modele de turbulenta: modele de vascozitate aparenta (care fac apel la ipoteza Boussinesq) si modele cu ecuatii de transport a tensiunilor Reynolds (care nu introduc conceptul de vascozitate aparenta). Remarcam faptul ca marea majoritate a modelelor utilizate in calcule ingineresti sunt modele de vascozitate aparenta.

MODELE ALGEBRICE DE TURBULENTA

Modelele algebrice sunt cele mai simple modele turbulenta. Aceste modele utilizeaza ipoteza Boussinesq pentru a exprima tensiunile Reynolds ca produsul dintre vascozitatea aparenta si tensorul vitezelor de deformatii medii (3.31). In general, vascozitatea aparenta este exprimata functie de o lungime de amestec care este dedusa prin analogie cu liberul parcurs molecular al unui gaz (modelul lungimii de amestec Prandtl). Deoarece vascozitatea aparenta si lungimea de amestec depind de miscarea particulara considerata, ele trebuie cunoscute a priori, ceea ce face ca modelele algebrice sa fie considerate modele incomplete. Domeniul lor de aplicabilitate este limitat, in general, la miscari in straturi subtiri fara gradient de presiune sau cu gradienti de presiune moderati (favorabili sau adversi, dar fara separare). In general, modelele algebrice presupun turbulenta in echilibru local, adica o situatie in care productia de energie cinetica turbulenta echilibreaza disipatia acesteia, existand totusi variante in care se renunta la aceasta ipoteza (de exemplu, modelul Johnson-King).

Modelul lungimii de amestec. In cazul unui strat limita bidimensional, pe baza analogiei cu modelul agitatiei moleculare din teoria cinetico-moleculara a gazelor, Prandtl (1925) considera vascozitatea aparenta (3.32) proportionala cu viteza de forfecare:

. )

unde l_m este numita lungime de amestec. Pentru stratul limita tridimensional sau pentru miscarea in straturi subtiri, o relatie mai generala este:

. )

Aceste formulari raman incomplete pentru ca ipoteza lui Prandtl, (3.40) - (3.41), inlocuieste problema determinarii vascozitatii turbulente cu problema determinarii lungimii de amestec.

Modelul Prandtl postuleaza ca lungimea de amestec este proportionala cu distanta la perete. Aceasta noua ipoteza se dovedeste a fi bine verificata doar pe o zona limitata a stratului limita turbulent, si anume zona inertiala. intr-adevar, impunand conditiile urmatoare: a) profilul de viteze satisface legea logaritmica (3.14), b) tensiunile vascoase sunt neglijabile in raport cu cele turbulente, c) tensiunea totala este aproximativ constanta, deci:

. )

se obtine:

. )

Relatia (3.43) nu este aplicabila pe intreaga grosime a stratului limita, ci doar in zona inertiala. Eforturi considerabile au fost facute pentru a gasi reprezentari ale lungimii de amestec pe intreaga grosime a stratului limita. Se prezinta, in continuare, cateva dintre extensiile cele performante ale modelului lungimii de amestec.

Modelul Van Driest. In anul 1956 Van Driest, propune ca lungimea de amestec (3.43) sa fie afectata de o functie de amortizare, f_l, pentru a extinde reprezentarea acesteia pana la perete:

. )

Functia de amortizare trebuie sa satisfaca conditiile:

. )

unde y⁺ este definit de relatia (3.13):

. )

Pe baza unor consideratii teoretice, dar in special dupa analiza rezultatelor experimentale, Van Driest propune:

. )

unde A⁺ = 26 este o constanta. Formula Van Driest estimeaza insa o comportare asimptotica la perete (), de forma , care este in concordanta cu rezultatul obtinut de Hinze, desi in prezent cei mai multi autori considera .

Modelul Clauser. In zona externa a stratului limita, modelul lungimii de amestec nu mai este valabil. Admitand in continuare ipoteza Boussinesq, Clauser, pe baza unor rezultate experimentale, trage concluzia ca vascozitatea aparenta este bine reprezentata prin:

. )

unde este grosimea de deplasare (dislocatie) a stratului limita incompresibil, U_e (x) viteza la frontiera stratului limita, iar este o constanta empirica:

. )

Modelul Klebanoff. Corrsin si Kistler, precum si Klebanoff, in urma a numeroase cercetari experimentale arata ca, in zona externa, spre frontiera stratului limita, curgerea nu este in permanenta turbulenta. Intervale scurte de timp in care miscarea are caracteristici laminare se succed cu intervale la fel de scurte in care miscarea este turbulenta. Aceasta comportare poarta numele de intermitenta. In consecinta, tensiunea turbulenta, respectiv, vascozitatea turbulenta, ar trebui sa depinda de un factor de intermitenta, notat de regula cu F_Kleb, de forma:

. )

unde este grosimea stratului limita. Functia F_Kleb poarta numele de functia lui Klebanoff si reprezinta o masura a intermitentei miscarii in zona externa a stratului limita.

Modelul Cebeci-Smith. Modelul Cebeci-Smith, face parte din categoria modelelor numite cu doua straturi, pentru ca stratul limita este divizat in doua zone (interna si, respectiv, externa) in care vascozitatea aparenta, , este estimata prin legi distincte:

. )

unde y_m este cea mai mica valoare a distantei la perete pentru care .

Pentru substratul intern, se generalizeaza modelul lungimii de amestec Prandtl:

. )

iar lungimea de amestec l_m este estimata prin functia Van Driest:

. )

unde A⁺ = 26 pentru curgerea fara gradient de presiune. Pentru includerea efectului gradientului de presiune, se propune:

. )

In substratul extern:

. )

unde este functia lui Klebanoff, U_e este viteza la frontiera stratului limita, constanta empirica α = 0,0168, iar reprezinta grosimea de viteza a stratului limita:

. )

care este identica cu grosimea de deplasare a stratului limita incompresibil.

Se poate estima, in prima aproximatie, punctul de racordare intre zona interna si cea externa. Astfel, se prevede ca punctul de racordare sa fie in zona logaritmica, unde functia de amortizare Van Driest poate fi considerata de ordinul unitatii si putem aproxima:

. )

In acelasi timp, punctul de racordare va apartine si zonei externe, dar destul de aproape de perete pentru a accepta , si deci:

. )

Egaland acum (3.57) cu (3.57), se obtine:

. )

si, cum o valoare tipica pentru stratul limita turbulent este , vom gasi ca .

Un al doilea model Cebeci-Smith, mai complex, ia in considerare o serie de efecte suplimentare: injectia (succiunea) la perete, curbura peretelui, rugozitatea suprafetelor, gradientul de presiune, compresibilitatea etc. Vascozitatea aparenta este calculata, in continuare, cu relatiile (3.51) - (3.53), dar parametru A va fi dat de relatia:

. )

unde:

      . )

( . )

In aceste expresii, indicele e se refera la valorile de la frontiera stratului limita, indicele w, la valorile de la perete, iar cele fara indice la valorile in punctul de calcul. De asemenea, parametrii si A⁺ nu mai sunt constanti, ci functii de numarul Reynolds :

. )

( . )

Modelul Baldwin-Lomax. Baldwin si Lomax, formuleaza un model care prezinta avantajul ca poate fi aplicat si in cazul in care o serie de proprietati ale stratului limita, cum ar fi grosimea sau grosimea de viteza , sunt dificil de estimat. Astfel de situatii apar pentru curgerile cu separare si in special in miscarile in prezenta undelor de soc. Ca si modelul Cebeci-Smith, modelul Baldwin si Lomax este un model cu doua straturi:

in substratul intern

. )

unde:

. )

iar este modulul rotorului vitezei:

. )

in substratul extern

. )

unde:

. )

. )

iar este distanta fata de perete unde produsul atinge valoarea maxima. Celelalte marimi reprezinta constante empirice ale modelului

iar U_dif este viteza la frontiera (pentru problema stratului limita), sau diferenta dintre viteza maxima si valoarea vitezei u la y = y_max (pentru miscarile de forfecare libere).

Modelul Johnson-King. Modelul Johnson-King, este un model algebric pentru "turbulenta departe de echilibru'. Ideea de baza este aceea ca tensiunile aparente, pentru o turbulenta departe de echilibru, nu mai verifica o simpla relatie algebrica. In literatura, el mai este cunoscut si ca un model cu o jumatate de ecuatie diferentiala deoarece introduce o ecuatie diferentiala ordinara si nu una cu derivate partiale. Modelul Johnson-King a fost aplicat cu succes la curgeri cu separare. |

Punctul de start il constituie modelul algebric de echilibru in care vascozitatea aparenta este:

. )

iar stratul limita este divizat in doua zone: interna si, respectiv, externa. in zona interna, expresia vascozitatii aparente este similara cu cea din modelele Cebeci-Smith sau Baldwin-Lomax. Singura diferenta este inlocuirea gradientului vitezei cu distanta la perete, prin intermediul a doua scari de viteze si u_m:

. )

unde:

. )

( . )

( . )

iar indicele m se refera la valorile in punctul y = y_m, in care tensiunea aparenta atinge valoarea maxima,.

Pentru determinarea lui , se deduce o ecuatie diferentiala ordinara:

unde este valoarea lui pentru turbulenta de echilibru (). Caracterul de turbulenta departe de echilibru este simulat prin parametrul Aceasta ecuatie este rezolvata simultan cu ecuatiile mediate Reynolds si permite determinarea valorii .

Parametrul se determina astfel ca maximul tensiunii aparente sa fie dat de relatia:

. )

ceea ce reprezinta conditia ca distributia vascozitatii aparente, , sa fie in concordanta cu . Se va nota ca procedeul de rezolvare este iterativ deoarece, valoarea parametrului nu este cunoscuta a priori.

In stratul extern, se foloseste o expresie similara cu cea din modelul Cebeci-Smith:

. )

Constantele empirice ale modelului sunt:

. )

Comentarii asupra modelelor algebrice. Modelele algebrice sunt cele mai simplu de utilizat si de implementat numeric. Datorita simplitatii lor, rareori cauzeaza dificultati numerice. Din aceste motive, ele vor fi inlocuite cu modele mai complicate doar in situatiile care ies din domeniul lor de aplicabilitate.

Trebuie sa avem intotdeauna in vedere ca modelele algebrice sunt modele incomplete de turbulenta. Aceasta inseamna ca este nevoie sa calibram modelul pentru fiecare tip de problema in parte, ceea ce necesita un volum mare de date experimentale de referinta, care, de regula, nu sunt accesibile.

Modelele algebrice corespund unei turbulente in echilibru. Din acest motiv, modelarea tensiunilor Reynolds prin intermediul lungimii de amestec, in imediata vecinatate a peretelui, conduce la erori relativ mari.

Modelele Cebeci-Smith si Baldwin-Lomax pot fi aplicate cu succes la calculul stratului limita turbulent incompresibil cu gradienti de presiune moderati. Dupa cum s-a aratat mai sus, cele doua modele sunt aproape identice, dar modelul Baldwin-Lomax devine mai general deoarece este independent de estimarea grosimii de deplasare, care este dificil de estimat pentru curgeri complexe. Desi exista incercari in aplicarea acestor modele si la curgerile cu separare, rezultatele nu sunt semnificative, iar concluzia generala este ca aceste modele nu functioneaza pentru zona de separare.

Modelul Johnson-King, ramane in continuare un model incomplet, dar ofera posibilitatea simularii unor curgeri cu separare. Desi este mult mai dificil de implementat ca modelele Cebeci-Smith sau Baldwin-Lomax, si desi se dovedeste foarte sensibil la geometria corpului si a grilei de calcul, modelul este performant pentru calculul in regim transonic, acolo unde modele mai moderne se dovedesc greoi de utilizat.

MODELE CU O ECUATIE DE TRANSPORT

Un important progres in dezvoltarea modelelor de turbulenta a fost modelarea, pe de o parte, unei legaturi directe intre scara fluctuatiilor vitezei si gradientul vitezei medii si, pe de alta parte, a unei ecuatii de transport care sa permita determinarea scarii de viteze. Exista doua tipuri de modele diferentiale de ordinul intai: modele de vascozitate aparenta si modele de transport a tensiunilor Reynolds.

Modele de vascozitate aparenta (modelul k). Daca se considera ca fluctuatiile vitezei sunt caracterizate de o singura scara de turbulenta, atunci, din punctul de vedere fizic, cea mai semnificativa marime este energia cinetica turbulenta k (3.2). Conform definitiei, k este o masura directa a intensitatii turbulentei pe cele trei directii spatiale. Cum energia cinetica este continuta in cea mai mare parte in structurile de talie mare, apare ca reprezinta o scara de viteze pentru structurile de talie mare.

Vascozitatea aparenta se exprima utilizand ipoteza Prandtl-Kolmogorov:

. )

unde este o constanta empirica, iar este o scara de lungimi. Pentru determinarea energiei cinetice turbulente, se poate deduce o ecuatie de transport plecand de la ecuatiile Navier-Stokes:

. )

Aceasta ecuatie exacta nu este direct utilizabila datorita corelatiilor complexe din termenii de difuzie si de disipatie turbulenta . Prin analogie cu relatiile constitutive admise pentru o serie de fenomene de difuzie (legea lui Fick, legea lui Fourier sau ipoteza Boussinesq), se admite ipoteza gradientului:

( . )

unde este o constanta empirica.

De asemenea, se introduce ipoteza ca disipatia turbulenta depinde doar de caracteristicile miscarilor de talie mare (3.7), deci:

. )

in care Cd este tot o constanta empirica.

In aceste conditii, ecuatia de transport a energiei cinetice turbulente (3.83) se va scrie astfel:

. )

in care vascozitatea aparenta, , este data de (3.82):

. )

Observatii. 1) Valorile uzuale ale constantelor empirice sunt:

. )

De remarcat faptul ca, in ceea ce priveste constantele si nu sunt importante valorile lor individuale, ci numai produsul acestora, conform relatiei (3.88).

2) Pentru inchiderea modelului trebuie specificata scara de lungimi Pentru aceasta, scara de lungimi se pune in legatura cu lungimea de amestec; dar aceasta posibilitate este limitata la aplicatii de tip curgeri in straturi subtiri. Astfel, pentru cazul turbulentei in echilibru local, rezultatele experimentale sugereaza ca productia de energie cinetica turbulenta echilibreaza disipatia acesteia, deci se poate aproxima:

. )

si, daca tinem seama de ipoteza Prandtl-Kolmogorov (3.87), obtinem:

. )

Comparand cu (3.40), se obtine

. )

Se probeaza astfel ca modelul lungimii de amestec corespunde modelarii turbulentei in echilibru local. In cazul unor miscari mai complicate decat cea in straturi subtiri, este foarte dificil de exprimat scara de lungimi . Studii sistematice asupra determinarii scarii de lungime sunt publicate in anul 1974 de Bernard si col. Se pune in evidenta ca scara de lungimi rezulta ca o combinatie intre o scara de lungimi pentru zonele de productie dominanta si o scara de lungimi corespunzatoare zonelor de convectie dominanta.

3) Modelul introdus mai sus corespunde zonei de turbulenta dezvoltate si nu este aplicabil pentru substratul vascos.

In literatura, sunt publicate extinderi ale modelului pentru substratul vascos. in general, aceste extinderi aditioneaza o componenta vascoasa la termenul de difuzie, iar constantele empirice sunt exprimate functie de un numar Reynolds turbulent, definit de .

Modelul Bradshaw. Bradshaw si col., elaboreaza un model diferential cu o ecuatie de transport, fara a mai utiliza conceptul de vascozitate aparenta. Ecuatia de transport a modelului se refera la singura corelatie prezenta in ecuatiile stratului limita . Deoarece rezultatele experimentale sugereaza ca, pentru zona externa a stratului limita (3.28) se poate scrie:

. )

Prin urmare, ecuatia energiei turbulente (3.83) devine:

. )

Singura diferenta care apare fata de ecuatia (3.83) este in exprimarea termenului de difuzie. Astfel, ramanand consecventi principiului de a renunta la ipoteza gradientului, se considera ca referinta o scara de viteze data de

Parametrul G din expresia termenului de difuzie este:

. )

unde este o functie empirica. Scara de lungimi l se determina prin intermediul unei alte functii empirice

. )

Modelul Bradshaw a fost aplicat cu succes la o mare varietate de curgeri de tip strat limita. Pentru curgeri in straturi subtiri (conducte, dare, jeturi), modelul nu mai este valabil deoarece energia cinetica turbulenta pastreaza semn constant, dar tensiunea aparenta isi poate modifica semnul, punand in discutie relatia (3.92), care a stat la baza deducerii modelului.

Comentarii asupra modelelor cu o ecuatie de transport. Modelele cu o ecuatie de transport sunt, ca si modelele algebrice, modele incomplete de turbulenta, deoarece este necesara specificarea scarii de lungimi pentru fiecare tip de aplicatie in parte. Singurul avantaj al modelelor cu o ecuatie il reprezinta efortul mai mic de calcul fata de un model de ordinul doi, precum si evitarea unor probleme numerice dificile care apar la implementarea modelelor cu doua ecuatii de transport. Domeniul de aplicabilitate al modelelor cu o ecuatie este acelasi ca pentru modelele algebrice: stratul limita turbulent, de preferinta incompresibil, fara posibilitatea de a simula curgeri cu separare.