Astronomie	Biofizica	Biologie	Botanica	Carti	Chimie	Copii
Educatie civica	Fabule ghicitori	Fizica	Gramatica	Joc	Literatura romana	Logica
Matematica	Poezii	Psihologie psihiatrie	Sociologie

AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Matematica

+ Font mai mare | - Font mai mic

 

Daca media mobila se va calcula dintr-un numar par de termeni, fiecare medie mobila se va plasa intre 2 termeni. Pentru a putea face ajustarea, cu aceste medii mobile, se vor calcula in continuare medii mobile din cate 2 termeni, obtinandu-se mediile mobile definitive .

Seria de date empirice: y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ y₇ y₈

Medii mobile initiale

Medii mobile definitive:

In functie de marimea ciclului de variatie se alege numarul termenilor din care se face media, adica k.

1.2. Ajustarea prin metoda grafica - se reprezinta grafic seria de date empirice (cronograma) si apoi se traseaza dreapta sau curba care uneste punctele extreme ale graficului astfel incat sa aiba abateri minime fata de pozitia valorilor reale in grafic:

OY

Cronograma:

1.3. Metode de ajustare mecanice

1) Metoda modificarii absolute medii: se utilizeaza atunci cand modificarile absolute cu baza in lant au valori apropiate ceea ce indica o tendinta de evolutie sub forma unei progresii aritmetice, a carei ratie este aproximata prin modificarea absoluta medie:

;

2) Metoda indicelui mediu - se utilizeaza atunci cand indicii cu baza in lant au valori apropiate, ceea ce arata ca fenomenul analizat tinde sa varieze in progresie geometrica, a carei ratie este aproximata prin indicele mediu:

;

1.4. Metode analitice

Metoda celor mai mici patrate

Metoda celor mai mici patrate este o    metoda analitica de ajustare deoarece utilizeaza functiile matematice. Alegerea celei mai potrivite functii pentru ajustare se face pe baza graficului si a indicatorilor absoluti si relativi.

Astfel, functia liniara se utilizeaza cand modificarile absolute cu baza in lant au valori apropiate.

Functia exponentiala se alege atunci cand indicii cu baza in lant au valori apropiate.

Functia de gradul II, se alege atunci cand graficul prezinta un punct de maxim sau de minim.

Parametrii functiei de ajustare se determina cu ajutorul metodei celor mai mici patrate care spune ca "suma patratelor abaterilor valorilor reale de la valorile ajustate este minima".

Fie: Y_i sau = valorile ajustate

y_i = valorile reale

Metoda celor mai mici patrate spune ca: .

Metoda celor mai mici patrate a mai fost utilizata la estimarea parametrilor functiilor de regresie (cap. 7), numai ca in cazul seriilor cronologice in locul variabilei independente x de la regresie utilizam variabila timp (t).

Valorile variabilei timp (t) se masoara cu ajutorul scalei de interval, in cadrul careia originea scalei si unitatea de masura pot fi alese arbitrar.

Pentru usurinta calculelor valorile lui t se aleg astfel incat .

Putem distinge doua situatii:

- daca seria are un numar impar de termeni, atunci originea scalei va fi termenul central:

- daca seria cronologica are un numar par de termeni, atunci originea scalei (t = 0) se va gasi intre cei doi termeni centrali ai seriei. Cei doi termeni centrali vor primi valorile -1 si respectiv 1, iar ceilalti termeni ai seriei cronologice vor fi distribuiti simetric fata de cei doi termeni centrali la distanta de doua unitati (pentru ca distanta dintre fiecare doi termeni succesivi trebuie sa fie egala):

Cele mai utilizate functii analitice pentru determinarea trendului sunt:

1) Functia liniara:

Metoda celor mai mici patrate spune:

derivatele sumei in raport cu parametrii a si b se anuleaza T

Deoarece T

;

a - reprezinta media variabilei y_t calculata ca o medie aritmetica simpla a termenilor seriei;

b - reprezinta panta dreptei de tendinta (de trend), iar valoarea sa arata cu cat se modifica in medie fenomenul analizat daca variabila timp se modifica cu o unitate (an, luna, trimestru).

2. Procedee de apreciere a calitatii ajustarii

Atunci cand se utilizeaza mai multe procedee diferite pentru ajustarea aceleiasi serii cronologice, in final trebuie sa alegem cea mai buna metoda de ajustare comparand rezultatele teoretice cu valorile reale:

se reprezinta pe acelasi grafic valorile reale si valorile teoretice obtinute prin diferite procedee de ajustare. Comparand valorile de pe grafic alegem valorile teoretice cele mai apropiate de valorile reale;

compararea sumei valorilor reale cu suma valorilor teoretice:

calcularea sumei patratelor abaterilor valorilor ajustate de la cele reale:

se calculeaza coeficientul de variatie al valorilor teoretice fata de cele reale pentru fiecare metoda de ajustare folosita:

Cu cat v este mai mic cu atat metoda de ajustare este mai buna.

Exemplu

Pentru exemplificarea metodelor de ajustare a seriilor cronologice se va utiliza aceeasi serie pentru care s-au calculat si indicatorii statistici:

Sursa: The New York Times (2 Aprilie 2003)

a) Ajustarea prin metode mecanice:

a₁) Ajustarea seriei cronologice prin metoda modificarii absolute medii:

a fost calculat in exemplul de la subcapitolul 8.4.1.

a₂) Ajustarea seriei cronologice prin metoda indicelui mediu:

a fost calculat in exemplul de la subcapitolul 8.4.1.

b) Ajustarea seriei cronologice prin metode analitice.

Pentru a putea ajusta seria prin metode analitice trebuie sa reprezentam grafic seria cronologica prin cronograma:

Scara de reprezentare: 1 cm OY = 2 USD

Ajustarea prin functie liniara:

Se poate observa de pe grafic ca punctele sunt grupate in jurul unei drepte, deci pentru ajustare putem utiliza functia liniara:

Estimarea parametrilor a si b ai functiei liniare se face cu ajutorul metodei celor mai mica patrate:

Acest sistem se rezolva in ipoteza in care .

Deci, vom avea:

Deoarece , va trebui sa renumerotam anii:

a fost determinat in exemplul de la subcapitolul 8.4.1.

Deci:

Pentru:

Alegerea celei mai bune metode de ajustare:

1) Se calculeaza suma abaterilor luate in valoare absoluta intre datele empirice si cele ajustate pentru toate metodele folosite. Se considera cel mai potrivit procedeu acela pentru care .

Deoarece este minim pentru metoda lui si pentru functia liniara vom utiliza si un alt criteriu pentru alegerea celei mai bune metode de ajustare.

Extrapolarea seriilor cronologice

Estimarea valorilor viitoare ale unui fenomen porneste de la tendinta de evolutie inregistrata anterior. Daca se considera ca nu sunt probabile modificari in aceasta tendinta de evolutie in perioada urmatoare atunci se pot determina valorile viitoare ale fenomenului studiat folosind aceeasi metoda de ajustare prin prelungirea axei timpului.

Extrapolarea tarifului practicat de companie pentru anul 2003 va fi:

Anul 2003 este anul 4: