Logica propozitiilor - Operatori logici

Logica propozitiilor

In logica, prin propozitie intelegem un enunt care poate fi ori adevarat ori fals. Oricarei propozitii i se asociaza o valoare de adevar: este sau adevarata - si atunci spunem ca are valoarea de adevar - sau este falsa - si atunci spunem ca are valoarea de adevar . Nici o propozitie nu este in acelasi timp si adevarata si falsa.

Exemple de propozitii:

"Bucuresti este capitala Romaniei"

"5 este numar prim"

Prima din aceste propozitii are valoarea de adevar , celelalte doua au valoarea de adevar

Propozitiile interogative sau exclamative ale limbii nu sunt propozitii in logica. De asemenea, definitiile nu sunt propozitii. De exemplu, enuntul 'un numar intreg divizibil cu 2 se numeste numar par' nu este o propozitie. Insa enuntul "orice numar par este divizibil cu 2" este propozitie si are valoarea de adevar

Operatori logici

Cu ajutorul operatorilor logici, din una sau doua propozitii date se pot forma noi propozitii a caror valoare de adevar depinde numai de valoarea de adevar a propozitiilor date. Vom indica aceasta valoare de adevar cu ajutorul unor tabele: in partea stanga a tabelului apar toate valorile de adevar posibile ale propozitiilor date iar in partea dreapta, valoarea de adevar a propozitiei nou formate.

Operatorii logici sunt: (negatia), (disjunctia) (conjunctia),  (implicatia), (echivalenta).

Negatia

a b a

Negatia unei propozitii a este propozitia 'non a' sau 'nu este adevarat ca a' care se noteaza a. Propozitia a este adevarata daca si numai daca propozitia a este falsa. Valoarea de adevar a propozitiei a in este indicata in tabelul alaturat (tabla de adevar a negatiei):

Exemplu

Propozitia b = 'nu este adevarat ca 9 este numar par' care coincide cu '9 nu este numar par' este negatia propozitiei

a = '9 este numar par'

Propozitia a este falsa si propozitia b = a este adevarata.

Disjunctia propozitiilor

a b a b

Disjunctia propozitiilor a si b este propozitia 'a sau b' care se noteaza a b. Propozitia a b este falsa daca si numai daca ambele propozitii a si b sunt false. Tabla de adevar a disjunctiei este prezentata in tabelul alaturat.

Exemplu

Propozitia: este numar prim sau este numar impar' este adevarata. fiind disjunctia a doua propozitii dintre care una este adevarata.

Conjunctia propozitiilor

a b a b

Conjunctia propozitiilor a si b este propozitia 'a si b' care se noteaza a b. Propozitia a b este adevarata daca si numai daca ambele propozitii a si b sunt adevarate. Tabla de adevar a conjunctiei este prezentata in tabelul alaturat.

Exemplu

Propozitia: este numar prim si este numar impar' este o propozitie falsa fiind conjunctia a propozitiilor: este numar prim' si este numar impar", prima fiind adevarata iar a doua falsa.

Implicatia propozitiilor

a b a  b

Implicatia propozitiilor a si b este propozitia 'a implica b' care se mai poate citi 'daca a atunci b' sau 'din a rezulta b' si se noteaza a b. Propozitia a b se mai numeste si implicatia de sursa a si capat b, Ea este o propozitie falsa, daca si numai daca sursa este o propozitie adevarata, iar capatul o propozitie falsa. Tabla de adevar a implicatiei este prezentata in tabelul alaturat.

Exemple

Propozitia: 'daca este numar prim, atunci este o propozitie falsa fiind o implicatie a carei sursa este o propozitie adevarata, In timp ce capatul este o propozitie falsa.

Propozitia 'daca , atunci este numar impar' este adevarata fiind o implicatie a carei sursa este o propozitie falsa.

Daca propozitia a   b este adevarata, scriem a T b si spunem. ca, b este o consecinta logica a lui a

De exemplu avem:

T este numar impar'

dar nu avem (nu este adevarat ca) este numar prim' T

Echivalenta propozitiilor

a b a b

Echivalenta propozitiilor a si b este propozitia 'a echivalent cu b' care se mai poate citi 'a daca si numai daca b' si se noteaza a b. Propozitia a b este o propozitie adevarata daca si numai daca propozitiile a si b au aceeasi valoare de adevar. Tabla de adevar a echivalentei este prezentata in tabelul alaturat.

Exemplu

Propozitia: 4 > 5 daca si numai daca este o propozitie adevarata, fiind echivalenta a doua propozitii ambele false.

Daca propozitia a   b este adevarata, scriem a   b si spunem ca propozitiile a si b sunt echivalente logic.

Legile calculului propozitional

Calculul propozitional studiaza din punct de vedere logic expresiile obtinute din literele p q r, , cu ajutorul operatorilor logici: dupa anumite reguli. Literele p q r, , se numesc variabile propozitionale sau formule elementare iar expresiile obtinute din ele cu ajutorul operatorilor logici se numesc formule, regulile de formare a formulelor fiind urmatoarele:

variabilele propozitionale p q r, , sunt formule;

daca A si B sunt formule, atunci A A B A B A B si A B sunt formule.

Exemple

Expresiile:

p p r s p r s p p q p q

sunt formule ale calculului propozitional.

Deoarece abundenta parantezelor in unele formule devine greoaie, perechea de paranteze exterioare nu se mai scrie, iar ordinea in care se aplica operatorii logici este urmatoarea: . Astfel, expresiile date ca exemple mai sus se scriu astfel:

p p r s p r s p p q p q

Daca intr-o formula in scrierea careia intra variabilele propozitionale p q r, inlocuim aceste variabile cu diverse propozitii, obtinem o noua propozitie a carei valoare de adevar depinde numai de valoarea de adevar atribuita variabilelor propozitionale componente. O formula a calculului propozitional se numeste lege, tautologie sau formula identic adevarata daca orice valoare de adevar ar avea variabilele propozitionale care intra in compunerea sa, valoarea de adevar a propozitiei obtinute este

Pentru a demonstra ca o anumita formula a calculului propozitional este o tautologie, atribuim variabilelor propozitionale care intra in compunerea ei valori de adevar in toate modurile posibile si calculam de fiecare data, pe baza tabelelor de adevar ale operatorilor logici, valoarea de adevar a formulei; daca de fiecare data valoarea de adevar obtinuta este , inseamna ca formula respectiva este o tautologie.

Exemple:

Legea tertului exclus

Legea negarii implicatiei:

Legea silogismului:

In virtutea acestor tautologii putem scrie:

p q p q

p q q r T p r

Alte exemple de tautologii, ale caror demonstratii se pot realiza in mod analog, sunt:

Legile calculului propozitional si in special cele date mai sus ca exemple sunt importante deoarece pe baza lor se fac rationamentele logice si deci demonstratiile in matematica.