Probleme izoperimetrice

Probleme izoperimetrice

Exista anumite probleme de calcul variational pentru care functia ce trebuie sa extremeze functionala are cateva restrictii.Vom numi o astfel de problema o problema izoperimetrica.Dintre toate tipurile de restrictii ce pot fi impuse,o vom folosi pe urmatoarea:

Se defineste o noua functionala ,numita ,cu un alt Lagrangean,numit si se conisdera doar functiile pentru care noua functionala are o valoare data

Astfel,impreuna cu functionala:

consideram noua functionala :

si o problema izoperimetrica poate fi formulata dupa cum urmeaza:

Dintre toate curbele pentru care functionala presupune o valoare data ,se determina una pentru care functionala presupune o valoare extremala.

In ceea ce priveste Lagrangeanele L si M presupunem ca au derivate partiale de ordinul intai si doi continue pentru si pentru valori arbitrare pentru si

O problema izoperimetrica foarte cunoscuta este problema lui Dido,numita si problema lui Fisher.Dintre curbele inchise de lungime ,sa se gaseasca una care margineste suprafata cea mai mare.In acest caz,Lagrangeanele L si M sunt

In consecinta,trebuie sa gasim curba pentru care functionala

presupune o valoare data si pentru care functionala: presupune o valoare extremala.

Ne intoarcem la problema izoperimetrica in general si demonstram principal din acest context,datorat lui Euler.

Teorema

Daca o curba extremeaza functionala

cu conditiile:

si nu este extremala pentru functionala J,atunci exista o constanta astfel incat curba este extremala pentru functionala:

Demonstratie

Impreuna cu functia consideram o vecinatate a functiilor de forma:

Fiecare functie din aceasta vecinatate are aceeasi limita ca si ,

Daca calculam valoarea functionalei I intr+un punct arbitrar al acestei vecinatati,gasim o functie care depinde de si :

Dar si nu sunt independente,deoarece:

Astfel,

Daca presupunem ca J depinde de ,putem folosi teorema functiilor implicite astfel incat obtinem urmatoarele trei situatii:

1. poate fi exprimat ca o functie de

2.daca atunci ,adica

3.putem calcula derivata lui astfel:

Pentru punctul arbitrar al vecinatatii se reduce la o curba care extremeaza functionala I.Asta inseamna ca este extremala a functiei si ,conform conditiilor de extrem,avem:

(1)

Integrand prin parti,obtinem:

si cat timp    ,rezulta:

In mod similar,

si cat timp ,rezulta:

Tinand cont de acestea,conditia de extrem (1) devine:

Dar,

si relatia anterioara devine:

(2)

Pe de alta parte, integrand prin parti si tinand cont ca ,obtinem:

In acelasi mod,tinand cont ca ,obtinem:

Tinand cont de acestea in (2),obtinem:

Daca folosim notatia :

,

relatia precedenta poate fi scrisa:

Tinand cont ca satisface conditiile din lema fundamentala,obtinem urmatoarea ecuatie:

care poate fi scrisa sub forma:

In final,observam ca aceasta ecuatie este ecuatia lui Euler pentru functionala unde

si teorema e demonstrata.

Observatie

Parametrul este numit multiplicatorul lui Lagrange si este necunoscut.Ii putem determina valoarea din ecuatia:

dupa care introducem in Lagrangean expresia gasita pentru functia