PRIMITIVE

PRIMITIVE

I. 1. Sa se stabileasca daca o functie admite sau nu primitive

I. 2. Proprietati ale functiilor care admit primitive:

a)        Functia care admite primitive are proprietatea derivate

b)       Orice functie continua pe un interval admite primitive pe

c)       Daca si nu este interval, atunci nu admite primitive pe

d)       Fie o functie care admite primitive. Atunci orice functie care difera de intr-o multime finita nevida de puncte, nu are primitive.

e)        Functia care nu are proprietatea lui Darboux, nu admite primitive.

f)         functii care admit primitive si nu sunt continue ( continuitatea de speta a doua )

g)       functii care au proprietatea lui Darboux si nu au primitive.

h)       functii care au primitive si ale caror patrate nu au primitive.

Observatie

- multimea functiilor continue pe I

- multimea functiilor care admit primitive pe I

- multimea functiilor care au proprietatea lui Darboux.

I.3. Definitii:

Def.: Fief admite primitivee pe I dacaastfel incat:

1) F derivabila pe I

2)

Def.: Dacaadmite primitive, multimea primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a lui f si se noteaza

Propozitie: Fie Dacasunt doua primitive ale functiei f, atuncio constanta astfel incat

I.4. Operatii

Dacasunt doua functii care admit primitive siatunci siadmit primitive si au loc relatiile:

I.5. Tabel de integrale nedefinite (elementare)

(fise)

1.    2.

3.     4.

5.    6.

7.    8.

9.    10.

11.

(carte)

II. Integrarea prin parti

Teorema: Dacasunt functii derivabile cu derivate continue, atunci admit primitive pe I si sunt exprimate prin relatia:

III.1 Prima metoda de schimbare de variabila

Teorema: Fie si functii cu proprietatile:

1.derivabila pe I

2. f admite primitive pe J (F este o primitiva a sa). Atunci functiaadmite primitiva pe I, iareste o primitiva a luide forma:

Observatie:

Etape:

a)      Fiecare are primitive

b)      Se cautaastfel incat

c)      Se cauta o primitiva

d)      O primitiva a lui h este     adica

e)      Practic si se diferentiaza ca o egalitate sau

III.2 Primitivele functiilor rationale simple

1)

2)

cazul :

cazul :

cazul :

3)

Observatie: In cazul

4)grad grad

a) Daca are radacini simple:

b) Daca are radacini multiple:

c) Daca nu are radacini reale:

d) Daca nu are radacini reale::

e) Daca are in componenta descompunerile a,b,c,d atunci:

Observatii:

Se determina constantele de la numarator si integram fiecare expresie in parte.

Pentru,se trateaza cu a,b,c,d,e (form.)

III.3 Primitivele functiilor rationale simple

1.

a)

b) R impara in

c) R impara in

d) R para,

2.

3.     substitutia:

4.     substitutia:

5.    

6.    

7.     Substitutie:

8.    

9. Substitutiile Euler:

a.

b.

10.     Substitutie:

11. Substitutii pentru functii binome (Cebarsev):

a.

b.

c.

12.    grad Q = grad P-1

Coeficientii polinomului Q sise determina prin derivare si identificare.

13., grad Q = grad P

14. sise determina prin derivare si identificare.