4.1 Generalitati

Conicele sunt curbe plane care se pot obtine la intersectia unui con cu un plan. Se considera, asemanator capitolelor precedente, spatiul punctual bidimensional , raportat la un reper cartezian . Se poate identifica cu . Se pot descrie astfel conicele prin ecuatii =i inecuatii carteziene.

Fie , definita prin:

unde .

4.1 Definitie Se nume=te conica sau curba algebrica de ordinul al doilea multimea:

4.2 Observatie a) Conica va fi notata in general prin G

b) Conform definitiei, conicele sunt puncte din plan care satisfac ecuatia:

unde .

c) Conica poate fi scrisa matricial sub forma:

d) Se poate imparti ecuatia unei conice dupa unul din coeficientii (nenul), ceea ce inseamna ca sunt suficiente cinci conditii pentru determinarea unei conice (de exemplu cinci puncte).

Astfel, date fiind cinci puncte , , ecuatia conicei care trece prin aceste puncte este:

(ecuatia unei conice prin cinci puncte date)

in conditia , unde:

,.

4.3 Exemple a) Conica G care trece prin punctele , , , , este de ecuatie (cercul care are centrul in originea sistemului de coordonate =i are raza ).

b) Conica G care trece prin punctele , , , , este de ecuatie (pereche de drepte concurente).

c) Conica G care trece prin punctele , , , , este de ecuatie (pereche de drepte paralele).

d) Conica G care trece prin punctele , , , , este de ecuatie este de ecuatie (hiperbola).

4.2 Fascicul de conice

4.4 Definitie Fie , , o familie finita de conice. Multimea conicelor de forma:

: , ,

se nume=te fascicul de conice determinat de familia

4.5 Observatii a) Fiecare conica face parte din fascicolul pe care il determina.

b) Nu intotdeauna reprezinta o conica. Spre exemplu pentru familia de conice : , : , atunci : , care nu este o conica.

4.6 Teorema a) Fasciculul de conice circumscrise unui patrulater ABCD are ecuatia:

: ,

unde este membrul int`i din ecuatia generala a dreptei .

b) Fasciculul de conice circumscrise unui triunghi ABC are ecuatia:

: , .

c) Fie conica , =i : o dreapta ce taie conica in punctele A =i B.

Multimea conicelor care taie conica in punctele A =i B =i sunt tangente la in aceste puncte (bitangente la ) , formeaza fasciculul:

: , .

4.7 Aplicatie a) Sa se determine fasciculul de conice care trec prin punctele , , , .

b) Sa se determine fasciculul de conice circumscrise triunghiului ABD dat de , , .

c) Sa se determine conicele tangente la cercul in punctele , .

Solutie a) Se obtin ecuatiile:

; ; ; ,

de unde rezulta ca ecuatia fasciculului este:

, .

b) Ecuatiile laturilor triunghiului sunt:

; ; .

Ecuatia fasciculului este:

,

c) Dreapta are ecuatia , deci ecuatia fasciculului conicelor bitangente la in B =i C este:

, .

4.3 Forma canonica a conicelor

Orice conica se poate incadra in unul din urmatoarele tipuri:

Cerc

Elipsa

Hiperbola

Parabola

Pereche de drepte concurente

Pereche de drepte paralele

Pereche de drepte confundate

Punct

I Elipsa

Conica data printr-o ecuatie de forma:

,

se nume=te elipsa. Urmatoarele notiuni sunt asociate elipsei (fig. 43):

a - semiaxa mare;

b - semiaxa mica;

- distanta focala a elipsei;

- excentricitatea elipsei;

, , , - v`rfurile elipsei;

, - focarele elipsei;

- dreptele directoare de ecuatii ;

, - axele de simetrie ale elipsei;

- produsul dintre excentricitate =i distanta de la un focar la dreapta directoare cea mai apropiata.

4.8 Observatii a) Elipsa poate fi scrisa =i prin ecuatii parametrice:

.

b) Elipsa (data de ecuatia ) este locul geometric al punctelor M pentru care

, .

c) Elipsa (data de ecuatia ) este locul geometric al punctelor M pentru care este adevarata una din cele doua relatii:

sau .

d) Ata=`nd unui punct coordonatele sale polare , relative la reperul polar, cu polul in focarul =i semiaxa polara semidreapta , au loc formulele de trecere de la coordonatele carteziene la coordonatele polare:

, .

}nlocuind in ecuatia elipsei se obtine ecuatia polara a elipsei:

,.

e) Daca , atunci se obtine tot o elipsa cu semiaxa mare b, semiaxa mica a, distanta focala , focarele =i dreptele directoare .

f) }n cazul particular , ecuatia elipsei devine:

care este ecuatia cercului cu centrul in origine =i de raza r. }n aceasta situatie , , . Acest lucru se poate traduce astfel: cercul este locul geometric al punctelor egal departate de un punct dat.

4.9 Exemple Urmatoarele ecuatii reprezinta elipse pe ecuatii carteziene canonice:

;;;

iar cele de mai jos cercuri:

; .

II Hiperbola

Conica data printr-o ecuatie de forma:

, ,

se nume=te hiperbola. Urmatoarele notiuni sunt asociate hiperbolei (fig. 44):

a - semiaxa mare;

b - semiaxa mica;

- distanta focala a hiperbolei;

- excentricitatea hiperbolei;

, - v`rfurile hiperbolei;

, - focarele hiperbolei;

- dreptele directoare ale hiperbolei de ecuatii ;

, - axele de simetrie ale hiperbolei, axa transversa, axa netransversa;

- produsul dintre excentricitate =i distanta de la un focar la dreapta directoare cea mai apropiata.

4.10 Observatii a) Hiperbola poate fi descrisa =i prin ecuatii parametrice:

b) Hiperbola (data de ecuatia (4)) este locul geometric al punctelor M pentru care

, .

c) Hiperbola (data de ecuatia ) este locul geometric al punctelor M pentru care este adevarata una din cele doua relatii:

sau .

d) Ata=`nd unui punct coordonatele sale polare relative la reperul polar cu polul in focarul =i semiaxa polara semidreapta , au loc formulele de trecere de la coordonatele carteziene la coordonatele polare:

.

}nlocuind in ecuatia hiperbolei se obtine ecuatia polara :

,,

,.

e) Conica data printr-o ecuatie de forma:

, ,

descrie tot o hiperbola, numita hiperbola conjugata hiperbolei . Aceasta are semiaxa mare b, semiaxa mica a, focarele , v`rfurile , , acelea=i asimptote, axa transversa, netransversa, dreptele directoare

f) }n cazul particular , ecuatia hiperbolei devine:

care este ecuatia hiperbolei numita echilatera.

4.11 Exemple Urmatoarele ecuatii reprezinta hiperbole pe ecuatii carteziene canonice:

;;,

iar cele de mai jos hiperbole echilatere:

, .

III Parabola

Conica data printr-o ecuatie de forma:

, ,   

se nume=te parabola.

Urmatoarele notiuni sunt asociate parabolei (fig. 45):

- distanta focala a parabolei;

-v`rful parabolei

focarul parabolei;

dreapta directoare a parabolei de ecuatie

axa de simetrie a parabolei, axa transversa, axa tangenta.

4.12 Observatii a) Parabola poate fi descrisa =i prin ecuatii parametrice:

b) Parabola (data de ecuatia ) este locul geometric al punctelor M pentru care:

c) Ata=`nd unui punct coordonatele sale polare relative la reperul polar cu polul in focarul =i semiaxa polara semidreapta , au loc formulele de trecere de la coordonatele carteziene la coordonatele polare:

.

}nlocuind in ecuatia parabolei se obtine ecuatia polara :

,,

d) Conica data printr-o ecuatie de forma:

, ,   

descrie tot o parabola =i anume simetrica parabolei date relativ la axa .

4.13 Exemple Urmatoarele ecuatii reprezinta parabole pe ecuatii carteziene canonice:

;;.

iar cele de mai jos hiperbole echilatere:

; .

IV Pereche de drepte concurente

Conica data printr-o ecuatie de forma:

,

se nume=te pereche de drepte concurente. (fig. 46)

}ntr-adevar, ecuatia se poate scrie =i sub forma:

care reprezinta o reuniune de drepte concurente .

V Pereche de drepte paralele

Conica data printr-o ecuatie de forma:

,

se nume=te pereche de drepte paralele.

}ntr-adevar, ecuatia se poate scrie =i sub forma:

sau ,

care reprezinta o reuniune de drepte paralele.

}n situatia in care:

atunci dreptele sunt confundate.

VI Punct dublu

Conica data printr-o ecuatie de forma:

, ,

reprezinta originea .

VII Multimea vida

Ecuatia carteziana, av`nd una din formele:

, , ,    ,

determina multimea vida.

}n cele ce urmeaza, va fi descrisa procedura urmata pentru a incadra o conica data printr-o ecuatie carteziana generala prezentata, deci pentru a preciza tipul conicei.

}n acest scop se aplica o rototranslatie de reper cartezian care realizeaza trecerea de la reperul cartezian la un reper orientat pozitiv =i numit reper canonic.

Relativ la acest nou reper, conica va avea forma canonica.

Se observa prin calcul direct ca prin trecerea de la reperul initial la cel canonic polinomul asociat conicei se schimba in , unde este tot o forma patratica.

Se poate verifica deasemenea prin calcul direct ca in urma acestei schimbari de reper cartezian, ram`n neschimbate urmatoarele numere ata=ate polinomului :

Aceste numere se numesc invarianti metrici ai conicelor.

4.14 Exemplu Fie conica data de:

asupra careia se aplica rotatia de unghi , data de:

=i translatia:

adica rototranslatia;

Cu aceasta transformare, se obtine:

adica o parabola.

Se observa ca:

, ,

=i

, , .

}n fig. 48 este reprezentata parabola in noul sistem de coordonate:

4.15 Definitie Se nume=te centru de simetrie al unei conice G (in cazul in care acesta exista), un punct din plan fata de care conica, privita ca o multime de puncte, este o figura geometrica simetrica. }n acest caz conica se nume=te conica cu centru.

4.16 Exemplu Conica

admite drept centru de simetrie punctul . }ntr-adevar, daca , atunci =i simetricul fata de G este pe conica (satisface ecuatia conicei).

Astfel, odata cu un punct arbitrar, pe conica se afla =i simetricul sau fata de centrul de simetrie C.

Se poate determina daca o conica admite sau nu centru de simetrie =i se pot calcula coordonatele acestuia pe baza urmatorului rezultat:

4.17 Teorema Conica admite centru de simetrie daca =i numai daca invariantul este nenul. }n acest caz acesta este unicul punct critic al functiei , iar coordonatele sale sunt solutiile sistemului liniar:

Demonstratie Determinantul acestui sistem este , deci sistemul are o unica solutie doar daca este nenul. Ram`ne de aratat ca este centru de simetrie al conicei. Efectu`nd translatia

ecuatia conicei devine

unde :

Simetria fata de punctul C (originea noului sistem de coordonate) revine la a arata ca odata cu un punct al conicei, atunci =i care este simetricul sau fata de C apartine conicei.

Conditia ca sa apartina conicei este:

Relatiile =i au loc simultan, doar daca:

Cum punctul M a fost ales arbitrar pe conica aceasta relatie are loc doar daca satisface sistemul .

4.18 Observatii a) Conicele cu centru sunt:

• cercul,
• elipsa,
• hiperbola,
• perechea de drepte concurente,
• punct
• multimea vida.

Ecuatia unei conice redusa la centru este:

unde termenul liber este dat de:

b) }n cazul in care , functia nu are punct critic, deci conica nu admite centru de simetrie.

Conica fara centru este parabola.

c) }n cazul in care , atunci functia are o dreapta de puncte critice, deci conica are o dreapta de centre.

Conicele care au o dreapta de centre sunt:

perechile de drepte paralele sau confundate,

multimea vida.

4.19 Definitie Fie conica =i invariantii metrici ai conicei. Atunci:

daca (elipsa, multime vida) se spune ca G are gen eliptic;

daca (hiperbola, pereche de drepte concurente) se spune ca G are gen hiperbolic;

daca (parabola, drepte paralele sau confundate, multimea vida)se spune ca G are gen parabolic;

daca se spune ca G este o conica nedegenerata;

daca se spune ca G este o conica degenerata.

4.4 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei conice

Se considera o conica descrisa de ecuatia generala:

, unde .

Scopul este ca printr-o schimbare de reper ce consta dintr-o rotatie =i o translatie, sa se obtina reperul canonic al conicei. Vor fi descrise in continuare modul in care se afla ecuatiile schimbarii de reper determinate de matricea de rotatie =i de vectorul de translatie.

Se disting urmatoarele situatii:

a) atunci se face mai int`i o rotatie descrisa de unul din cele doua procedee de mai jos, dupa care se efectueaza o translatie;

b) se efectueaza o translatie, in care originea se muta in centrul conicei. Translatia se poate obtine =i efetu`nd reduceri in patrate.

I Metoda valorilor proprii

1. Se asociaza ecuatiei forma patratica :

Matricii i se asociaza polinomul caracteristic:

Se determina radacinile polinomului caracteristic, acestea fiind reale =i distincte, matricea A fiind simetrica.

3. Daca:

- au semne contrare atunci conica este de gen hiperbolic;

- au acela=i semn atunci conica este de gen eliptic;

- ( d 0) atunci conica este de gen parabolic.

4. Se rezolva sistemul de ecuatii liniare

afl`nd coordonatele vectorilor proprii , care in cazul valorilor proprii distincte sunt ortogonali. }n cazul unei valori proprii duble, se ortogonalizeaza folosind procedeul Gramm Schmidt.

5. Se normeaza familia ortogonala , =i se obtine astfel baza ortonormata , . Daca ace=tia reprezinta versorii axelor de simetrie ale conicei.

6. Se construie=te matricea:

a rotatiei formata din coordonatele versorilor , a=ezate pe coloane, cu rezerva ca daca determinantul acesteia este negativ, se vor inlocui in matrice coloanele. Ecuatiile schimbarii de reper cartezian data de rotatie exprima legatura dintre coordonatele ata=ate vechiului reper =i ale reperului rotit .

7. Pe baza acestor relatii expresia formei devine canonica:

.

De asemenea se inlocuiesc in ecuatia conicei coordonatele date de =i se obtine ecuatia conicei relativ la sistemul rotit :

4.20 Observatii a) }n cazul in care ambele valori proprii sunt nenule, atunci se pot restr`nge in continuare patratele, obtin`nd:

unde sunt coordonatele centrului de simetrie al conicei relativ la reperul rotit.

Pentru

se obtine ecuatia canonica a conicei:

b) }n expresia

Prin urmare, ecuatia canonica a unei conice poate fi determinata doar cunosc`nd invariantii metrici .

c) }n cazul conicelor cu centru, se poate determina mai int`i centrul =i efectua tranlatia, dupa care se efectueaza rotatia data de metoda valorilor proprii.

d) }n cazul doar una din cele doua valori proprii poate fi nula, forma patratica fiind nenula prin definitie. Se formeaza mai int`i un patrat perfect (fort`ndu-se in prealabil valoarea proprie nenula factor comun), iar continutul parantezei este o noua coordonata =i se grupeaza termenul liber ramas fort`nd coeficientul monomului de gradul int`i factor, iar continutul parantezei va fi cealalta, noua, coordonata. Egalitatile obtinute reprezinta ecuatiile translatiei sistemului rotit av`nd ca rezultat sistemul canonic.

4.21 Exemple

1) Sa se determine ecuatia canonica a conicei:

Solutie Conica este nedegenerata =i fara centru . Ecuatia caracteristica este Þ , .

Versorii vor fi:

=i .

Se aplica, prin urmare, transformarea :

}nlocuind in ecuatia conicei se obtine:

Restr`ng`nd in patrate se obtine;

Efectuam deci translatia:

=i ecuatia canonica este:

care este ecuatia unei parabole.

S-a aplicat rototranslatia:

Determinati ecuatia canonica a conicei:

Solutie Conica este nedegenerata are centru de simetrie =i este de gen hiperbolic. Ecuatia caracteristica este Þ , .

Versorii vor fi

=i .

Se aplica transformarea :

}nlocuind in ecuatia conicei se obtine:

Restr`ng`nd in patrate se obtine;

Se efectueaza, prin urmare translatia:

=i ecuatia canonica este:

care este ecuatia unei hiperbole.

II Metoda rototranslatiei

Se poate determina rotatia sistemului de coordonate afl`nd unghiul q cu care se rote=te reperul dat. Matricea de rotatie care duce versorii reperului initial in cei ai sistemului rotit, este ortogonala, de determinant 1 =i are pe coloane, coordonatele versorilor rotiti relativ la baza initiala. Bazele fiind ortonormate, coeficientii noilor versori sunt exact cosinu=ii directori ai directiilor lor, adica:

Urmatoarea teorema permite determinarea matricii de rotatie prin intermediul unghiului de rotatie q

4.22 Teorema Fie conica cu centru , care are proprietatea ca . Atunci, efectu`nd rotatia reperului initial cu unghiul q care satisface ecuatia:

atunci ecuatia conicei in reperul rotit , nu mai contine monomul .

Demonstratie Dupa efectuarea rotatiei de unghi q

aceasta va avea drept coficient pentru monomul :

In conditia ca aceasta sa fie identic nula are loc relatia din ipoteza.

4.23 Observatie }n practica, pentru unghiuri care nu pot fi determinate explicit, se folosesc formulele:

, , .

4.24 Teorema Fie conica fara centru , care are proprietatea ca . Atunci, efectu`nd rotatia reperului initial cu unghiul q care satisface ecuatia:

atunci ecuatia conicei in reperul rotit , , nu mai contine monomul .

Demonstratie Deoarece se observa ca formulele =i sunt echivalente.

4.25 Observatii a) Dupa aplicarea rotatiei reperul canonic se obtine printr-o translatie fie restr`ng`nd patratele, fie grup`nd termenii liniari rama=i fie translat`nd originea O in centrul conicei.

4.26 Exemplu Sa se determine ecuatia canonica a conicei:

Solutie Conica este nedegenerata =i fara centru . Deoarece , se efectueaza o rotatie de unghi q determinat din ecuatia Þ .

}n urma aplicarii transformarii :

se obtine:

Restr`ng`nd in patrate se obtine:

Efectu`ndu-se translatia:

ecuatia canonica este:

care este ecuatia unei parabole.

4.5 Intersectia dintre o dreapta si o conica

Scopul este de a determina intersectia dintre conica =i dreapta D reprezentata parametric:

, .

}nlocuind coordonatele punctului de pe dreapta in ecuatia conicei, rezulta ecuatia in variabila t:

unde este forma patratica asociata formei afine .

Adopt`nd notatiile:

se disting urmatoarele cazuri:

1. Daca atunci ecuatia este de gradul doi. Pentru t discriminantul ecuatiei:

a) Daca , atunci ecuatia are doua radacini reale =i dreapta taie conica in doua puncte .

b) Daca, atunci ecuatia are doua radacini reale egale =i dreapta taie conica in doua puncte confundate .

c) Daca, atunci ecuatia nu are radacini reale =i dreapta nu taie conica.

2. Dacaatunci ecuatia este de gradul int`i =i:

a) Daca , atunci ecuatia are o solutie unica =i dreapta taie conica intr-un singur punct;

b) Daca =i atunci ecuatia nu are solutii =i dreapta nu taie conica;

c) Daca =i atunci ecuatia are o infinitate de solutii =i prin urmare dreapta este o submultime a conicei.

4.27 Observatii a) Din orice punct exterior unei conice se pot duce cel mult doua tangente la conica;

b) Daca, atunci ecuatia tangentei la conica in A este;

Aceasta ecuatie se poate obtine =i prin dedublarea ecuatiei conicei cu coordonatele punctului , deci efectu`nd urmatoarele substitutii in ecuatia conicei:

; ; .

Daca, atunci ecuatia normalei la conica in A (dreapta care trece prin A =i este perpendiculara pe tangenta) este;

4.28 Definitie Fie o conica nedegenerata =i o directie in planul conicei data de vectorul nenul . Directia se nume=te directie asimptotica pentru conica G daca satisface relatia:

O dreapta a carei directie este asimptotica, taie conica in cel mult un punct.

4.29 Observatii Se disting urmatoarele cazuri:

a) Pentru (hiperbola) exista doua directii asimptotice;

b) Pentru (elipsa) nu exista directii asimptotice;

c) Pentru (parabola) exista o directie asimptotica, cea a axei de simetrie.

4.30 Definitie Se nume=te asimptota a unei conice nedegenerate o dreapta care nu taie conica =i a carei directie este asimptotica.

4.31 Teorema Daca este o directie asimptotica a unei conice nedegenerate, atunci ecuatia carteziana a asimptotei este:

4.32 Observatii a) Hiperbola are doua asimptote care trec prin centrul conicei;

b) Elipsa nu are directie asimptotica, deci nu are asimptota;

c) Parabola admite o directie asimptotica, pentru care ecuatia este o identitate, deci parabola nu are asimptota.

4.6 Pol si polara

4.33 Observatie a) Dedublata ecuatiei de gradul al doilea in punctul este:

b) }n cazul in care coeficientii din ecuatia nu sunt simultan nuli, aceasta este ecuatia unei drepte. Aceasta dreapta se nume=te polara lui A in raport cu conica G, iar punctul A se nume=te polul dreptei.

c) Polara unui punct A in raport cu o conica nu depinde de sistemul de coordonate ales.

4.34 Teorema Daca D este polara punctului A in raport cu conica G, atunci:

1) Punctul A apartine conicei daca =i numai daca se afla pe polara sa relativ la conica. }n acest caz polara este tangenta la conica dusa prin A.

2) Daca =i D este polara lui B fata de conica, atunci .

Demonstratie 1) , adica devine ecuatia tangentei in A la conica.

2) Ecuatia polarei punctului A fata de conica este simetrica relativ la coordonatele punctelor A =i B din D.

4.35 Observatii (Pentru conice nedegenerate )

a) Ecuatia polarei D a punctului fata de conica G se poate scrie =i:

de unde rezulta ca o dreapta : este polara punctului fata de conica G daca:

Reciproc, daca polara este data, din ecuatiile de mai sus se poate gasi polul.

b) Corespondenta intre punct =i polara este bijectiva pentru:

- Daca : ( mai putin centrul conicei ) - (dreptele din plan mai putin cele care trec prin centrul conicei)

- Daca: ( mai putin punctele de pe axa parabolei ) - (dreptele din plan mai putin axa parabolei)

c) Polarele a doua puncte AB se intersecteaza in polul dreptei AB. }n particular, tangentele duse la conica prin doua puncte A =i B se intersecteaza in polul dreptei AB. Reciproc, daca printr-un punct exterior unei conice se duc tangente la conica, punctele de tangenta determina polara acestuia.

d) Polarele a trei puncte coliniare care determina dreapta D sunt concurente =i se intersecteaza in polul dreptei D.

4.36 Observatii (Pentru conice nedegenerate )

- Daca atunci polara oricarui punct trece prin centrul conicei;

- Daca atunci toate polarele sunt paralele.

4.7 Diametru conjugat cu o directie data

4.37 Definitie Fie conica =i o directie in plan data de vectorul . Se nume=te diametrul conicei conjugat directiei , dreapta:

4.38 Teorema Daca directia data de vectorul nu este asimptotica relativ la conica atunci locul geometric al mijloacelor corzilor care au directia este inclus in diametrul conjugat acestei directii.

Demonstratie Directia , fasciculul de drepte paralele de directie intersecteaza conica. O asemenea dreapta are ecuatiile parametrice:

.

Punctele de intersectie ale dreptei cu conica sunt solutii ale ecuatiei:

Pentru , rezulta conditia ceruta.

4.39 Observatii a) Daca A, B sunt punctele de intersectie ale diametrului conjugat unei directii fata de conica, atunci tangentele duse la conica prin cele doua puncte A =i B au directia .

b) Daca diametrii conjugati cu directii arbitrar formeaza un fascicul concurent de drepte cu v`rful in centrul conicei.

Daca =i (parabola) atunci diametrii conjugati cu directii arbitrare formeaza un fascicul de drepte paralele.

4.39 Definitie Doi diametrii de directii care satisfac relatia:

se numesc diametrii conjugati unul altuia.

4.40 Observatie Fie D : diametrul conicei conjugat directiei . Directia acestui diametru este:

Vectorul determina aceea=i directie daca are coeficientii proportionali cu ai vectorului , adica:

Û

4.8 Axele de simetrie ale unei conice

4.41 Definitie Se nume=te axa de simetrie a conicei G o dreapta care are proprietatea ca simetricul oricarui punct de pe conica in raport cu ea se afla tot pe conica.

4.42 Observatie

a) Fie o directie ortogonala pe axa de simetrie. Axa de simetrie reprezinta diametrul conjugat directiei date, deoarece contine mijloacele corzilor de directie .

Prin urmare, axa de simetrie are ecuatia =i directia data de vectorul de componente .

Deci vectorul normal la axa este coliniar cu =i din proportionalitatea coeficientilor rezulta ecuatia ce determina directiile axelor de simetrie ale conicei :

b) (ecuatiile axelor de simetrie)

- - conice cu centrul :

unde sunt solutii ale ecuatiei .

Punctele de intersectie dintre conica =i axele de simetrie se numesc v`rfurile conicei.

- =i (parabola)