Alte repere, alte sisteme de coordonate in E3

Alte repere, alte sisteme de coordonate in E₃

1. Coordonate polare in plan

Consideram ca in spatiul punctual euclidian E₂ avem reperul cartezian pe care-l mai notam xOy. Prin fixarea reperului avem bijectia unic determinta: .

Definitia 6.4. Se numeste reper polar plan ansamblul unde O este un punct fix din plan iar D o dreapta orientata fixa din plan care contine punctul O. Punctul O se numeste pol iar D axa polara. Fie M un punct arbitrar din plan (fig.6.10) Notam

Reperului polar (O, D) ii asociem reperul cartezian xOy luand Ox =D si Oy D (fig. 6.11)

Fig.6.11

Din triunghiul OM₁M rezulta relatiile

(6.16)

Relatiile (6.16) determina o corespondenta biunivoca intre multimile si daca si

Perechea cu conditiile constituie coordonatele polare in plan ale punctului M ceea ce notam .

Originea O are iar q este nedeterminat.

In coordonate polare ecuatia ( fiind numar real constant >0) reprezinta un cerc de raza cu centrul in polul O, iar reprezinta semidreapta OM (fig.6.10). Pentru a gasi ecuatiile carteziene ale acestora pornind de la ecuatiile lor polare (, ) folosim inversele formulelor (6.16):

(6.17)

2. Coordonate semipolare in spatiu (cilindrice)

Consideram spatiul punctual euclidian E₃ raportat la un reper cartezian Oxyz. Orice punct M I E₃ este unic determinat de coordonatele sale carteziene.

Definitia 6.5. Se numeste reper semipolar in spatiu ansamblul unde P este un plan fix in care este un reper polar plan (fig. 6.12).

Fie M(x,y,z) IE*₃ =E₃ - axa Oz (fig.6.12). Notam

Fig.6.12

coordonatele polare in plan ale lui M', unde M' este proiectia lui M pe planul P.

Intre x,y,z si r q, z avem relatiile:

(6.18)

Daca impunem conditiile , , atunci relatiile (6.24) determina o corespondenta biunivoca intre tripletele (x,y,z) si (r q, z). Deci exista o corespondenta biunivoca si intre punctele M(x,y,z) IE₃ - axa Oz si tripletele (r q, z). Rezulta ca pozitia unui punct MIE* poate fi caracterizata si de tripletul (r q,z) cu conditiile , . Numerele r q, z se numesc coordonatele cilindrice ale punctului M.

Un punct de pe Oz are determinat, iar q este nedeterminat.

Inversele formulelor (6.18) sunt

(6.19)

Suprafetele de ecuatii

se numesc suprafetele coordonate ale reperului semipolar in spatiu (Fig.6.13)

Fig.6.13

reprezinta un cilindru circular cu generatoarele paralele cu Oz. este semiplan a carui prelungire contine axa Oz si este plan paralel cu xOy fara punctul . In coordonate carteziene acestea au ecuatiile:

(6.20)

3. Coordonate polare in spatiu (sferice)

Definitia 6.6. Se numeste reper polar in spatiu ansamblul format dintr-un punct fix O, o axa fixa D care trece prin O si un plan fix p ce trece prin D numit plan polar sau plan meridian principal.

Planul determinat de un punct PIE₃ - axa D si D se numeste plan meridian al punctului P si il vom nota cu a. Unghiul diedru dintre planele a si p este determinat de unghiul q format de normalele duse in cele doua plane pe D. Notam :

(fig.6.14).

Fig.6.15

Reperului polar in spatiu ii asociem un reper cartezian Oxyz astfel: Oz =D, xOz =p, Oy p si orientata astfel incat Oxyz sa fie un reper drept (fig.6.15)

Din triunghiul OP₀P se obtin relatiile

z = r, OP₀=r (6.21)

Proiectand pe OP₀ pe Ox si Oy obtinem

, (6.22)

deci intre tripletele x,y,z si r, j q avem relatiile

(6.23)

Din (6.23) se observa ca unui triplet determinat ii corespunde un singur punct M₀ (x₀, y₀, z₀) IE₃.

Acelasi punct M₀ corespunde insa si tripletelor . Pentru a exista o corespondenta biunivoca intre punctele spatiului E₃ si tripletele ordonate trebuie sa stabilim limitele de variatie pentru r, j si q

Daca impunem conditiile r>0, atunci formulele (6.28) asigura o corespondenta biunivoca intre multimile R-Oz si , adica unui punct P nesituat pe Oz ii corespunde un singur triplet . In aceste conditii tripletul constituie un sistem de coordonate polare in spatiu(sferice). Punctele de pe Oz au q nedeterminat iar pentru originea O coordonatele polare q si j sunt nedeterminate iar r=0. Din formulele (6.23) rezulta formulele inverse

(6.24)

Coordonatele se numesc si coordonate astronomice (Fig.6.16).

Fig.6.16

Suprafetele coordonate ale reperului polar in spatiu sunt

sfera cu centrul in origine mai putin polii;

semiplan a carui prelungire trece prin Oz;

semicon fara varf (origine).

In coordonate carteziene aceste ecuatii devin

(6.25)

Comparand ecuatiile carteziene si cele polare (semipolare) ale suprafetelor coordonate in cazul reperului polar(respectiv semipolar) se observa ca cele din urma se scriu mult mai simplu decat ecuatiile carteziene. Concluzia este valabila si pentru alte suprafete. Ilustram aceasta afirmatie printr-un exemplu.

Fie suprafata . In coordonate sferice deci , iar , deci sau sau inca

4. Coordonate omogene

Coordonate omogene in spatiu. Consideram in spatiul punctual E₃ un reper cartezian Oxyz si un punct M de coordonate carteziene x,y,z( M_(x,y,z)).

Definitia 6.7. Patru numere reale X, Y, Z, T nesimultan nule () se numesc coordonatele omogene ale punctului M

daca depind de x, y, z prin relatiile

(6.26)

Din relatiile (6.26) rezulta ca daca (X,Y,Z,T) sunt coordonatele omogene ale punctului M atunci si (lX, lY, lZ, lT)( l 0) reprezinta acelasi punct. Daca luam T =1 obtinem coordonatele omogene (x,y,z,1) unde x,y,z sunt coordonatele carteziene ale punctului care se mai numesc coordonatele neomogene ale punctului M.

Daca luam T=0, din conditia X²+Y²+T² 0 rezulta ca cel putin unul din numerele X,Y,Z este diferit de zero. Fie, de exemplu X 0 si deci x =, adica M(x,y,z) este un punct de la infinit al spatiului. Ecuatia T =0 reprezinta ecuatia planului de la infinit al spatiului. Punctele de la infinit ale axelor de coordonate Ox,Oy,Oz sunt respectiv (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0 ). Originea O(0,0,0,T), T

Coordonatele omogene au o importanta mare prin aceea ca ele permit studierea punctelor de la infinit ale figurilor geometrice si a proprietatilor figurilor geometrice in aceste puncte, folosind in acest studiu numai numere (coordonatele X,Y,Z,T) finite.

Exemple

1. In coordonate omogene, ecuatia generala a planului, ax+by+cz+d =0, devine sau aX+bY +cZ +dT =0.

2. Curba plana

G: x³+y³-xy +2x -1=0 are ecuatia omogena

G: X³ +Y³-XYT +2XT² -T³ =0. Aceasta ecuatie se obtine din ecuatia neomogena trecand la coordonatele omogene ale unui punct M(x,y) din planul xOy. In plan, coordonatele omogene sunt numerele reale X,Y,T nesimultan nule (X²+Y²+T² 0) care verifica relatiile

Pentru a gasi punctele de la infinit (punctele improprii) ale curbei date intersectam curba cu dreapta de la infinit a planului xOy adica cu dreapta de ecuatie T =0. Obtinem astfel X³+Y³ =0, T =0TY=-X, T=O, deci