Progresii aritmetice si geometrice

Progresii aritmetice si geometrice

Progresia aritmetica

Definitie: Un sir de numere in care fiecare termen, incepand cu al doilea se obtine din cel precedent prin adaugarea aceluiasi numar, se numeste progesie aritmetica.

Sirul de numere:

este o progresie aritmetica daca, pentru orice k1 avem

Din definitie rezulta ca, intr-o progresie aritmetica, diferenta dintre orice termen si predecesorul sau este egala cu acelasi nr. r

Numarul r se numeste ratia progresiei aritmetice.

Progresia Aritmetica (an) este complet determinata daca se cunosc primul termen a si ratia r

Orice termen al unei progresii aritmetice incepand cu al doilea, este media aritmetica a termenilor vecini lui, adica pentru orice incepand cu n1

Reciproca: Daca un sir de numere are proprietatea ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media aritmetica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie aritmetica.

Aceasta inseamna ca diferenta dintre orice termen al sirului an si predecesorul sau este egala cu acelasi numar si deci an este o progresie aritmetica.

Observatie: Proprietatea semnalata mai inainte justifica denumirea de progresie aritmetica.

Termenul general al unei progresii aritmetice este dat de formula:

Fie numerele . In progresie aritmetica.

Atunci:

Formula in care suma primilor n termini ai unei progresii aritmetice se exprima in functie de primul termen, ratie si numarul termenilor este:

Progresii geometrice

Definitie: Un sir de numere al carui prim termen este nenul, iar fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin inmultirea cu un acelasi numar nenul, se numeste progresie aritmetica.

Din definitie rezulta ca intr-o progresie geometrica catul dintre orice termen si predecesorul sau este egal cu acelasi numar q.

Numarul q se numeste ratia progresiei geometrice.

Progresia beometrica (bn) este complet determinate daca se cunosc primul termen b si ratia q.

O progresie geometrica cu termini pozitivi are urmatoarea proprietate importanta care, in particular, justifica denumirea de progresie geometrica:

Orice termen al unei progresii geometrice cu termini pozitivi incepand cu al doilea, este media geometrica a vecinilor lui, adica pentru orice n

Reciproca: Daca un sir de numere cu termini pozitivi are proprietatea ca e fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este medie geometrica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie geometrica.

Asadar,catul dintre orice termen al sirului (bn) si predecesorul sau este egal cu acelasi numar si deci (bn) este o progresie geometrica.

Termenul general al unei progresii geometrice este dat de formula:

Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egal cu produsul numerelor extreme.

Formula primilor n termini ai unei progresii geometrice este: