| CATEGORII DOCUMENTE |
| Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
| Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
| Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Ecuatii elementare si tipuri de ecuatii trigonometrice
Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.
Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul
|
sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, a I R. |
(1) |
Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1 ) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1 ).
|
sinx = a, a I R, |
(2) |
pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |a| £ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula
|
x = (-1)narcsina + pn, n I Z, |
(3) |
unde arcsina I [-[(p)/ 2];[(p)/ 2]] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea
|
(4) |
Nota 1. Daca in ecuatia (2 ) a I solutiile ei (3 ) se scriu mai simplu, si anume
|
sinx = 0 Û x = pn, n I Z, |
|
sinx = 1 Û x = p/2 + 2pn, n I Z, |
|
sinx = -1 Û x = -p/2 + 2pn, n I Z. |
Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile: (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)
Rezolvare. a) Cum 
conform (3 )
solutiile ecuatiei date sunt
sau tinand seama ca 
se obtine
b) Similar exemplului a) se obtine 
sau, tinand seama
arcsinus ca functia este o functie impara,
c) Cum 
rezulta
ca ecuatia data nu are solutii.
|
cosx = a |
(5) |
pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |a| £ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula
|
x = arccosa + 2pn, n I Z, |
(6) |
unde arccosa I [0;p] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.
Nota 2. Daca in ecuatia (5 ) a I solutiile ei (6 ) se scriu mai simplu, si anume
|
cosx = 0 Û x = p/2 + pn, n I Z, |
|
cosx = 1 Û x = 2pn, n I Z, |
|
cosx = -1 Û x = p + 2pn, n I Z. |
Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile: (Manual clasa aXa , Marius Burtea)
a) cosx = -1/2;
b) cosx = 2/3; c) 
Rezolvare. a) Cum 
conform (6 )
solutiile ecuatiei date sunt 
sau tinand seama
ca 
se obtine 
b) Similar exemplului a) se obtine 
c) Cum 
ecuatia data nu
are solutii.
|
tgx = a, a I R |
(7) |
|
x = arctga + pn, n I Z, |
(8) |
unde arctga I (-p/2;p/2) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.
|
ctgx = a, a I R |
(9) |
are solutiile
|
x = arcctga + pn, n I Z, |
(10) |
unde arcctga I (0;p) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.
Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile : (Manual clasa aXa , Marius Burtea)
a) tgx = 1; b) tgx = -2; c) ctgx = -1; d) ctgx = 3.
Rezolvare. a) Conform (8 ) solutiile ecuatiei date sunt x
= arctg1 + pn, n I Z, sau tinand seama ca 
se obtine 
b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(-2) + pn, n I Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = -arctg2 + pn, n I Z.
c) Se tine seama de (10 ) si se obtine
x = arcctg (-1) + pn, n I Z,
sau, cum 
d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg3 + pn, n I Z.
Observatie. Ecuatiile
|
sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a |
(11) |
prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1 ).
Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile (Manual clasa aXa , Marius Burtea)
a) sin(2x - 1)
= 1; b) cos(x2 + 4) = -1; c) 
d)
ctgx3 = -2.
Rezolvare. a)
|
||||||
|
Û 2x = p/2 + 2pn + 1, n I Z Û x = p/4 + pn + 1/2, n I Z. |
b)
|
||||||||||
|
(se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative).
c) 
Û 
Û 2x = p/3 + pn, n I Z Û 
d) ctgx3 = -2 Û
x3 = arcctg(-2) + pn,
n I Z Û 
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2461
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
n
= 1,2,3,