Analiza matematica

Analiza matematica

Siruri de numere reale

Monotonia sirurilor

un sir este strict crescator, daca exista astfel incat pentru orice , , .

un sir este strict descrescator, daca exista astfel incat pentru orice , , .

un sir este crescator, daca exista astfel incat pentru orice , , .

un sir este descrescator, daca exista astfel incat pentru orice , , .

un sir este strict monoton daca este strict crescator sau strict descrescator.

un sir este monoton daca este crescator sau descrescator.

Marginirea sirurilor

• un sir este marginit superior daca exista (majorant) astfel incat pentru orice , si in acest caz se numeste marginea superioara a sirului .
• un sir este marginit inferior daca exista (minorant) astfel incat pentru orice , si in acest caz se numeste marginea inferioara a sirului .
• un sir este marginit daca este margnit superior si este marginit inferior, adica exista astfel incat pentru orice , .

Observatie Un sir este marginit daca si numai daca exista astfel incat pentru orice sa avem .

Teorema. (Weierstrass) Orice sir monoton are limita, adica:

• daca sir crescator si nemarginit superior ;
• daca sir descrescator si nemarginit inferior ;
• daca sir monoton si marginit, atunci astfel incat .

Teorema. (Criteriul clestelui) Fie , si trei siruri care satisfac conditiile:

, (sau , unde fixat)

.

Atunci sirul este convergent si .

Teorema. (Criteriul raportului) Fie un sir de numere reale strict pozitive si , . Daca , atunci .

Teorema. (Stolz - Cesaro, cazul ) Fie si doua siruri cu urmatoarele proprietati:

1). , , strict crescator si nemarginit superior ().

2). sirul are limita , .

Atunci sirul are limita si in plus .

Consecinte

1). Fie un sir de numere reale care are limita. Atunci:

.

2). Fie un sir de numere reale pozitive care are limita. Atunci: .

3). (Criteriul lui Cauchy - d'Alembert) Fie un sir de numere reale strict pozitive. Daca sirul are limita, atunci: .

Observatie a). Daca si , atunci ;

b). Daca si , atunci ; .

Limitele sirurilor tip. Siruri remarcabile.

. .

. Daca , atunci .

. Fie functia polinomiala de grad cu coeficienti reali, , . Atunci: .

. Fie doua functii polinomiale reale, , , , , , . Atunci:

.

. Daca este un sir convergent la 0 , , atunci:

.

. Sirul cu termenul general este strict crescator si marginit: . Se

noteaza , . Exista inegalitatea . In plus avem:

a). Daca , atunci ;

b). Daca , , atunci ;

c). Daca , , atunci ;

d). .

Limite de functii

1. Limita functiei polinomiale , , unde si .

,

2. Limita functiei rationale , , unde , .

Daca , atunci .

Daca , atunci:

daca si obtin cazul de nedetermninare .

daca , atunci:

daca

daca

3. Limita functiei radical (de ordin par) , , .

,

.

(de ordin impar) , .

,

4. Limita functiei exponentiale , , unde .

5. Limita functiei logaritmice , , unde .

6. Limitele functiilor trigonomtrice directe

7. Limitele functiilor trigonometrice inverse

8. Limite de functii compuse    Fie si , , punct de acumulare pentru , . Daca:

1. 
2. 
3. 

atunci .

9. Limite de puteri    Fie , , punct de acumulare pentru . Presupunem , atunci este definita.

Teorema. Daca , si daca are sens, atunci functia are limita in si .

Cazuri exceptate (nedeterminari):

.

10. Limite remarcabile

11. Cazuri de nedeterminare , , , , , , .

Observatie. 1. In aceste cazuri se recomanda utilizarea limitelor remarcabile sau a regulii lui L'Hospital.

2. (Nu este caz de nedeterminare)

12. Trecerea la limita in inegalitati

Teorema. Fie , , punct de acumulare pentru , vecinatate a lui .

Daca , , si daca au limita in , atunci .

Corolar. In ipoteza de mai sus:

Daca , , , atunci .

Daca , , , atunci .

Daca , , , atunci .

Teorema. (a clestelui) Daca , , punct de acumulare pentru , vecinatate a lui . Daca:

, , .

.

Atunci are limita in si . Schematic avem: .

Asimptote

Fie o functie. Atunci:

Observatie. O functie nu poate avea simultan asimptota orizontala si asimptota oblica la acelasi infinit.

Daca functia este rationala (adica , unde , pentru a determina asimptotele verticale cautam valorile in care se anuleaza numitorul)

Functii continue

Fie cu . Spunem ca este continua in daca este indeplinita una din urmatoarele afirmatii:

;

Oricare ar fi un sir din cu ;

Observatie. 1. Spunem ca este continua pe daca este continua in fiecare punct din .

2. Functiile elementare (polinomiale, rationale, radical, putere, exponentiala, logaritmicp, trigonometrice directe si inverse) sunt continue pe intreg domeniul de definitie.

3. Daca o functie nu este continua intr-un punct spunem ca este discontinua in acel punct.

Teorema. (Weierstrass) Fie o functie continua. Atunci este marginita si isi atinge marginile.

Teorema. Daca este continua si au semne contrare, atunci astfel incat .

Spunem ca o functie are proprietatea lui Darboux pe intervalul , daca cu si intre si cu , exista astfel incat .

Teorema. Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Functii derivabile

Fie , unde este un interval sau o reuniune de intervale din . Se spune ca functia are derivata in daca exista limita (in ). In acest caz aceasta limita se noteaza cu si se numeste derivata functiei in punctul . Spunem ca functia este derivabila in daca limita exista in (adica exista si este finita). In acest caz, aceasta limita se noteaza, de asemenea, cu , adica .

Reguli de derivare

(derivata sumei este egala cu suma derivatelor).

(constanta iese in afara derivarii).

(derivata diferentei este egala cu diferenta derivatelor).

(derivata produsului este egala cu prima functie derivata inmultita cu a doua nederivata, plus prima functie nederivata inmultita cu a doua derivata).

(derivata catului este egala cu derivata numaratorului inmultita cu numitorul nederivat minus numaratorul nederivat inmultit cu derivata numitorului, totul supra numitorul la patrat).

(derivata unei functii compuse se obtine inmultind derivatele functiilor care se compun in ordinea compunerii lor).

, unde .

Proprietati ale functiilor derivabile

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Daca este o functie derivabila in , atunci tangenta la graficul functiei in punctul de abscisa are ecuatia: .

Aplicatii ale derivatelor in studiul functiilor: Fie o functie derivabila de ordinul 2 pe , unde interval. Avem:

Teorema. (Fermat) Fie o functie, unde interval real. Daca este un punct de extrem local pentru si derivabila in , atunci .

Teorema. (Rolle) Fie si continua pe , derivabila pe si cu . Atunci astfel incat .

Teorema. (Lagrange) Fie si continua pe si derivabila pe . Atunci astfel incat .

Consecinte ale teoremei lui Lagrange

I. Daca , unde interval real, este derivabila si , , atunci este constanta pe .

II. Daca sunt derivabile pe si , , atunci este constanta pe .

Fie un interval real si . Spunem ca admite primitiva pe daca exista o functie astfel incat :

1. este derivabila pe J;
2. ; .

Fie (J interval din ) o functie care admite primitive. Multimea tuturor primitivelor lui se numeste integrala nedefinita a functiei si se noteaza prin simbolul . Operatia de calculare a primitivelor unei functii (care admite primitive) se numeste integrare.

Reguli de integrare

1. (integrala sumei este suma integralelor).
2. (constanta iese in afara integrarii).
3. (integrala diferentei este diferenta integralelor).

Tabel cu primitivele uzuale

Formula de integrare prin parti : .

Formula Leibniz-Newton: Fie o functie continua, iar o primitiva a lui pe . Atunci: .

Observatie. Daca integrabila pe , atunci .

Teorema. Daca este o functie continua, atunci functia , ,

are proprietatile:

1. este continua pe , ;
2. este derivabila pe , , .

Aria subgraficului unei functii continue pozitive este: .