REPREZENTAREA DREPTEI

REPREZENTAREA DREPTEI.

1. Tripla proiectie ortogonala a dreptei. Diedrele strabatute de dreapta. Intersectia cu planele bisectoare.

O dreapta este determinata de doua puncte. Cunoscand doua puncte, A si B, apar-tinand dreptei, au proiectiile a si b pe [H], a' si b' pe [V] si a' si b' pe [L]. In figura 13 avem reprezentarea in spatiu, iar in figura 14 reprezentarea in epura.

Prin unirea proiectiilor de acelasi nume : a-b, a'-b', a'-b' , se obtine tripla proiectei ortogonalǎ a dreptei sau epura dreptei. Se noteaza cu d- proiectia orizontala, d'- proiectia verticala, d'- proiectia laterala, figura 13.

Punctele in care dreapta intersecteaza planele de proiectie se numesc urmele dreptei. Acestea sunt : urma orizontala H de coordonate (h,h',h'), urma verticala V (v,v',v') si urma laterala L ( l, l', l" ). Daca dreapta este data prin proiectiile d, d' si d' urmele dreptei se determina astfel : se prelungeste proiectia d pana intersecteaza linia de pamant, (axa O_x), obtinand punctul v, ridicand perpendiculara in acest punct la intersectia cu d' obtinem punctul v'; similar proiectia d' intersecteaza linia de pamant in h', coborand perpendiculara la intersectia cu d obtinem punctul h.

Fig. 13. Tripla proiectie ortogonala a dreptei in spatiu,

Fig.14. Tripla proiectie ortogonala a dreptei; in epura,

Cunoscand urmele dreptei se pot determina diedrele, (triedrele), strabatute de dreapta, conform figurii 15. Determinarea se face stiind ca proiectia d ne da semnul pentru coordonata y, proiectia d' pentru coordonata z, si ca in punctele h' si v are loc schimbarea de semn.

Fig. 15. Stabilirea diedrelor srabatute de dreapta.

Fig. 16. Determinarea punctelor de intersectie cu planele bisectoare.

Determinarea punctelor de intersectie a dreptei cu planele bisectoare se face tinand cont de faptul ca punctele apartinand planelor bisectoare au departarea egala cu cota in valoare absoluta, adica I y I = I z I.

Un punct apartinand planului bisector unu [B I], poate fi situat in diedrul unu, avand ambele coordonate pozitive, (+y =+z) , sau in diedrul trei avand ambele coordonate negative, ( -y = -z ). In epura proiectiile punctului sunt de o parte si de cealalta a axei Ox.

Un punct apartinand planului bisector doi [ B II ], poate fi situat in diedrul doi, avand coordonatele: ( -y = +z) , sau in diedrul patru coordonatele:( +y = -z ). In epura proiectiile punctului sunt confundate.

Pornind de la aceste considerente vom determina puncte, apartinand dreptei, aflate in unul din cazurile enumerate mai sus. Avand proiectiile dreptei (d,d'), figura 16, punctul de intersectie a proiectiilor d si d' este un punct apartinand planului bisector doi deoarece avem departarea egala cu cota, dar de semne contrare, b2 ≡ b'

Pentru a determina punctul de intersectie cu planul bisector unu [B I] construim dreapta simetrica fie fata de proiectia orizontala d a dreptei, fie fata de proiectia verticala d' a dreptei, prin punctele in care acestea intersecteaza axa Ox, v respectiv h'.

Luam in compas din punctul h' o raza oarecare r si trasam un arc de cerc. Arcul de cerc se intersecteaza cu axa Ox obtinem punctul 1, iar cu proiectia verticala d' in punctul Din punctul 1 luam in compas segmentul de arc de cerc 12 si obtinem la intersectia cu primul arc de cerc trasat punctul 3. Unind punctul h' cu punctul 3 obtinem dreapta simetrica d'_s fata de d'. Punctul de intersectie al dreptei simetrice d'_s cu proiectia orizontala d a dreptei este punctul b₁. Trasand o linie de ordine verticala la intersectia cu d' obtinem punctul b'₁. Constructia geometrica a dus la obtinerea egalitatii: b_1xb₁= b_1xb'₁, adica departarea egala cu cota, adica un punct apartinand planului bisector unu.

Pozitii particulare ale dreptei.

1. Drepte paralele cu planele de proiectie.

a) Dreapta orizontala, numita si dreapta de nivel, este paralela cu planul orizontal, [H] ; ca urmare toate punctele dreptei au aceeasi cota (z). Dreapta se proiecteaza in adevarata marime pe planul [H], la fel si unghiul α dintre dreapta si planul vertical, figura 17. Proiectia verticala d' este paralela cu linia de pamant, iar proiectia laterala d' cu axa O_y1.

b) Dreapta frontala, numita si dreapta de front, este paralela cu planul vertical, [V] ; ca urmare toate punctele au aceeasi departare (y). Dreapta se proiecteaza in adevarata marime pe planul [V], la fel unghiul β dintre dreapta si planul orizontal, figura 18. Proiectia orizontala d este paralela cu axa O_x, iar proiectia laterala d' este paralela cu axa O_z.

c) Dreapta de profil, este paralela cu planul lateral de proiectie, [L] ; ca urmare toate punctele au aceeasi abscisa (x). Dreapta se proiecteaza in adevarata marime pe planul [L], la fel unghiul dintre dreapta si planul orizontal, figura 19. Proiectia orizontala d este paralela cu axa O_y, iar proiectia verticala d' este paralela cu axa O_z.

a. b.

Fig.17. Dreata orizontala. a-in spatiu, b-in epura,

a. b.

Fig. 18. Dreapta frontala. a- in spatiu, b- in epura,

a. b.

Fig. 19. Dreapta de profil. a- in spatiu, b- in epura,

Drepte perpendiculare pe planele de proiectie.

a) Dreapta verticala, este perpendiculara pe planul orizontal de proiectie [H], implicit paralela cu planul vertical [V] si planul lateral [L], figura 20. Dreapta se proiecteaza in adevarata marime pe planul vertical si planul lateral. Proiectia verticala d' este perpendiculara pe axa 0_x, iar proiectia laterala d'' pe axa 0_y. Proiectia pe planul orizontal, d este un punct h≡d.

Fig. 20. Dreapta verticala : a-in spatiu, b-in epura,

b) Dreapta de capat, este perpendiculara pe planul vertical de proiectie [V], implicit paralela cu planul orizontal [H] si planul lateral [L], figura 21. Dreapta se proiecteaza in adevarata marime pe planul orizontal si planul lateral. Proiectia orizontala d este perpendiculara pe axa O_x, iar proiectia laterala d'' este perpendiculara pe axa O_z. Proiectia pe planul vertical d' este un punct, v'≡d'.

Fig. 21. Dreapta de capat. a-in spatiu, b-in epura,

c) Dreapta fronto-orizontala, este perpendiculara pe planul lateral de proiectie [L], implicit paralela cu planul orizontal [H] si planul vertical [V], figura 2 Dreapta se proiecteaza in adevarata marime pe planul orizontal si vertical. Proiectia orizontala d este perpendiculara pe axa O_y, iar proiectia verticala d' este perpendiculara pe axa O_z. Proiectia pe planul lateral d''este un punct i"≡ d".

Fig.2 Dreapta fronto-orizontala. a- in spatiu, b- in epura,

3. Drepte apartinand planelor bisectoare.

Dreptele apartinand planelor bisectoare se caracterizeaza prin faptul ca multimea punctelor care formeaza dreapta au cota egala cu departarea, de acelasi semn in primul plan bisector si de semne contrare in cel de-al doilea plan bisector.

Considerand o dreapta apartinand primului plan bisector, [B I], situata in diedrul I, figura 23.a, avem: m'm_x = m_xm.

Considerand o dreapta apartinand planului bisector doi, [B II], situata in diedrul II, figura 23.b, avem: n'n_x = -n_xn.

Fig.23. Dreapta apartinand planelor bisectoare. a- dreapta apartinand [B I],

b- dreapta apartinand [B II],

3. Pozitia relativa a doua drepte.

3.1. Drepte paralele. Doua drepte, D si L, paralele in spatiu, au proiectiile orizontala, verticala si laterala paralele intre ele, figura 24, adica : d II l, d' II l', d'' II l'',

Fig.24. Drepte paralele. a- in spatiu, b- in epura,

3. Drepte concurente, se intersecteaza in spatiu avand un punct comun I. In epura, proiectiile de acelasi nume se intersecteaza in punctele i, i', i'', situate pe aceeasi linie de ordine, figura 25.

Fig.25. Drepte concurente. a- in spatiu, b- in epura,

3.3. Drepte disjuncte, sunt situate in spatiu intr-o pozitie oarecare si nu au nici un punct comun. Proiectiile de acelasi nume ale dreptelor se inter-secteaza in puncte care nu sunt situate pe aceeasi linie de ordine, figura 26.

Fig.26. Drepte disjuncte.

3.4. Drepte perpendiculare, sunt doua drepte concurente care formeaza intre ele un unghi drept. In figura 27.a. este prezentat cazul general a doua drepte perpendiculare, dreapta perpendiculara pe dreapta prin punctul exterior A. Pentru determinarea punctului N de intersectie a celor doua drepte se construieste triunghiul AO₁F₁ in care dreptele O₁O₂ si F₁F₂ sunt inaltimi, deci punctul M este ortocentrul triunghiului. Drepta AN este tot inaltime, deci unind punctul A cu punctul M vom obtine punctul N de intersectie a celor doua perpendiculare.

Fig. 27. Drepte perpendiculare. a- in spatiu, b- in epura,

In epura, figura 27.b, pentru a usura determinarea, dreapta AO₁ se va lua o dreapta orizontala, iar dreapta AF₁ se va lua o dreapta frontala. Avand proiectiile dreptei, d si d', vom construi prin punctul A(a,a') dreapta orizontala H(h,h'). Construim mai intai proiectia verticala h' prin punctul a' ; la intersectia cu d' rezulta punctul O₁' ; ducand linia de ordine verticala, la intersectia cu d rezulta punctul O₁ ; unind punctul a cu punctul O₁ obtinem proiectia orizontala a dreptei :h. Construim dreapta frontala pornind din punctul a ; la intersectia proiectiei orizontale f cu d obtinem punctul f₁ ; ducand linia de ordine verticala la intersectia cu d' rezulta punctul f₁' ; unind cu punctul a' obtinem proiectia verticala a dreptei frontale f '. In planul orizontal din punctul f₁ ducem perpendiculara la proiectia orizontala h si obtinem punctul f₂ ; ducand linia de ordine verticala la intersectia cu h' obtinem punctul f₂'. In plan vertical prin punctul O₁' ducem perpendiculara la proiectia verticala a dreptei frontale f ' si obtinem punctul O₂' ; ducand linia de ordine obtinem punctul O₂ la intersectia cu proiectia orizontala f a frontalei.

Intersectia dreptelor formate din punctele f₁f₂ si O₁O₂ duce la obtinerea punctului m. Constructia similara din planul vertical va duce la obtinerea punctului m'. Unind proiectiile punctului A(a,a') cu ale punctului M(m,m') vom obtine proiectiile p si p' ale perpendicularei cautate, si punctul N(n,n') de intersectie cu dreapta

Cazurile particulare sunt variantele in care dreapta este paralela cu unul dintre planele de proiectie.

Fig.28. Drepte perpendiculare. Cazuri particulare: a- II [H]; b- II [V]; c- II [L];

In figura 28.a. dreapta este o orizontala, unghiul drept proiectandu-se in adevarata marime pe planul orizontal.

In figura 28.b. dreapta este o frontala, unghiul drept proiectandu-se in adevarata marime pe planul vertical

In figura 28.c. dreapta este o dreapta de profil, unghiul drept proiectandu-se in adevarata marime pe planul lateral.

Probleme si aplicatii referitoare la dreapta.

4.1. Probleme rezolvate.

Problema 1.

Sa se reprezinte in spatiu si in epura (dubla proiectie), dreapta (d,d') determinata de punctele A(25, 5, 35) si B(65, 15, 10). Sa se traseze urmele dreptei ₁(d₁,d'₁), simetrica dreptei fata de planul orizontal de proiectie [H]. Sa se specifice diedrele strabatute de cele doua drepte.

Rezolvare.

In figura 29 avem reprezentarea in spatiu a punctelor A si B, a dreptei , a dreptei sime-trice ₁, proiectiilor in plan vertical d' si d'₁ a dreptelor, proiectiile in plan orizontala d ≡ d₁.

Fig. 29 Reprezentarea in spatiu.(problema 1)

Fig.30. Reprezentarea in epura.(problema 1)

Dreapta simetrica, ₁(d₁,d'₁) se obtine reprezentand punctele simetrice A₁ si B₁ ale punctelor A si B fata de planul orizontal. Noile coordonate ale punctelor vor fi: A₁( 25, 5, -35) si B₁( 65, 15, -10). De observat ca cele doua drepte au proiectia pe planul orizontal confundata, d ≡ d₁, figura 29.

Reprezentam in dubla proiectie ortogonala punctele A si B, unim proiectiile de acelasi nume, adica: a cu b si a' cu b' si obtinem proiectiile d si d' ale dreptei , figura 30.

Determinarea diedrelor strabatute de cele doua dreapte se realizeaza in urma studierii semnelor proiectiilor verticale si orizontale ale celor doua drepte. ( vezi subcapitolul 3.1). De observat simetria diedrelor strabatute de cele doua dreapte fata de planul orizontal de proiectie.

Problema

Se dau punctele A (100,-30,-25) si B(10, 10, 45).

Sa se traseze proiectiile (d,d') ale dreptei determinata de cele doua puncte,(dubla proiectie). Sa se determine: urmele dreptei, punctele de intersectie cu planele bisectoare si diedrele strabatute de dreapta.

Rezolvare.

Reprezentam in epura cele doua puncte si unim punctele de acelasi nume: a cu b, rezultand proiectia orizontala d a dreptei si a' cu b' rezultand proiectia verticala d' a dreptei, figura 31.

Fig. 31. Reprezentarea in epura.( problema 2)

Urmele dreptei sunt punctele in care dreapta inteapa planele de proiectie. Apartinand planelor de proiectie aceste puncte au una din coordonate de valoare egala cu zero, deci au o proiectie apartinand unei axe de coordonate, (in cazul acestei probleme axei O_x). Astfel punctul v este punctul unde proiectia orizontala d intersecteaza axa O_x; trasand o linie de ordine verticala la intersectia cu d' obtinem punctul v' ; Punctul de coordonate V(v,v') este punctul de intersectie cu planul vertical de proiectie. Similar procedam pentru urma orizontala a dreptei H(h,h'), utilizand pentru aceasta determinare proiectia verticala d' a dreptei.

Intersectia cu planele bisectoare se face conform subcapitolului 3.1. Astfel punctul de intersectie a proiectiilor dreptei d si d' este punctul B₂(b₂,b'₂) de intersectie cu planul bisector doi, [B II]. Punctul de intersctie cu planul bisector [B I] se obtine construind dreapta simetrica d_s, (in cazul acestei probleme fata de proiectia d a dreptei); punctul de intersectie dintre d_s si d' este punctul B₁(b₁, b'₁) de intersectie cu planul bisector unu.

Diedrele strabatute de dreapta rezulta in urma studierii semnelor punctelor apartinand dreptei: semnul coordonatei Y rezulta din studiul proiectiei orizontale d a dreptei, iar semnul coordonatei Z din studiul proiectiei verticale d a dreptei, tinand cont de schimbarea de semn din punctele v si h'. Astfel dreapta data strabate diedrele: D III, D II, D I.

Problema 3.

Se dau punctele A ( 10, 25, 20) si B( 30, 10, 20).

Sa se traseze proiectiile (d,d') ale dreptei determinata de cele doua puncte. Sa se determine: urmele dreptei, punctele de intersectie cu planele bisectoare si diedrele strabatute de dreapta. Observatii.

Rezolvare.

Epura dreptei este prezentata in figura 3 Observam ca punctele A si B au aceeasi cota ( z=20), deci avem proiectia verticala d' paralela cu axa O_x, adica dreapta este o dreapta de nivel, II [H]. ( vezi subcapitolul 1).

Fiind o dreapta de nivel aceasta nu lasa urma pe planul orizontal de proiectie. Urma pe planul vertical de proiectie este in punctul (v,v') unde proiectia orizontala a dreptei intersecteaza axa Ox, si trece din diedrul unu in diedru doi.

Punctul de intersectie cu planul bisector doi se afla la intersectia proiectiilor dreptei, d ∩ d'.

Punctul de intersectie cu planul bisector unu se face trasand dreapta simetrica d_s fata de proiectia orizontala d a dreptei prin punctul v. La inter-sectia cu d' obtinem punctul b'₁, trasand o linie de ordine verticala obtinem perechea b₁ a punctului.

Acelasi punct se obtine daca trasam dreapta simetrica d'_s fata de d'. Pentru aceasta vom trasa d'_s II d' prin punctul v_s, simetric fata de v', ( v_s are cota negativa, z= -20)

Fig. 3 Reprezentarea in epura. (problema 3)

Problema 4.

Se dau punctele A (15,15,35) si B (50,15,10) care determina dreapta (d,d'). Sa se traseze dreapta (t,t'), perpendiculara pe dreapta prin punctul M (20,25,10). Observatii.

Rezolvare.

Trasam proiectiile (d,d') ale dreptei, figura 33. Din epura rezulta d II O_x, deci dreapta     este o frontala, (II [V], vezi subcapitolul 1).

Fig. 33. Reprezentarea in epura.(problema 4)

Fiind o dreapta frontala unghiul drept se proiecteaza in adevarata marime in plan vertical, asadar prin m' trasam t' d'. Punctul de intersectie intre cele doua proiectii verticale este i', trasand o linie de ordine verticala obtinem la intersectia cu d punctul i. Unind punctele i si m obtinem proiectia orizontala t a dreptei cautate.

Problema 5.

Se da dreapta definita de punctele A (55, 35,15) si B(15, -5, -10). Sa se traseze prin punctul M (25, 15,10):

- dreapta frontala (f,f') concurenta cu ,

- dreapta de nivel (n,n') concurenta cu ,

- dreapta (t,t') II ,

Rezolvare.   

Trasam proiectiile (d,d') ale dreaptei unind proiectiile de acelasi nume ale punctelor A si B. Punctul M are proiectiile (m,m'), figura 34.

Dreapta frontala, ( II [V] ), are proiectia orizontala f II O_x, ( vezi sub-capitolul 1). Asadar, prin proiectia orizontala m trasam f II O_x, punctul de intersectie f ∩ d este i₁; trasand o linie de ordine verticala si la intersectia cu d' obtinem i'₁; unim i'₁ cu m' si obtinem proiectia verticala f' a frontalei.

Fig. 34. Reprezentarea in epura. (problema 5)

Dreapta de nivel are proiectia verticala n' II Ox. Trasam prin m' proiectia verticala n' II ox; n' ∩ d' rezulta i' Trasand linia de ordine verticala la intersectia cu proiectia d obtinem i₂;

unind m cu i₂ rezulta proiectia orizontala n a dreptei cautate.

In cazul dreptei II , proiectiile de acelasi nume sunt paralele, t II d, t' II d'.

Problema 6.

Se da punctul A (a,a') apartinand primului plan bisector [B I] si punctul B(b,b') apartinand planului bisector doi [B II].

Sa se determine:

- proiectiile (d,d') ale dreptei determinata de cele doua puncte,

- urmele dreptei,

- diedrele strabatute de dreapta,

- punctele de intersectie cu planele bisectoare. Observatii.

Rezolvare.

Fig. 35. Reprezentarea in epura.(problema 6)

Punctul AI[BI] are departarea egala cu cota: a_xa=a_xa', (ambele pozitive sau ambele negative). Punctul BI[BII] are departarea egala cu cota, dar de semne contrare, deci b≡b'. Unind punctele de acelasi nume obtinem proiectiile d si d' ale dreptei, figura 35.

In urma analizei semnelor, d→y, d'→z, rezulta diedrele strabatute de dreapta.

Dupa cum se observa din figura 35 nu este necesara constructia dreptei simetrice deoarece cele doua puncte apartin planelor bisectoare.

4. Probleme propuse pentru rezolvare

Problema 1.

Se dau perechile de puncte:

- A( 20, 10, 15) ; B( 45, -15, 5),

- C( 85, 15, -5) ; D( 45, 5, 25),

- E(75, 0, -35) ; F( 35, -15, 0),

Sa se determine in dubla proiectie ortogonala:

-proiectiile dreptelor determinate de cele doua puncte,

- urmele dreptei,

- punctele de intersectie cu planele bisectoare,

- diedrele strabatute de dreapta,

Problema

Se dau perechile de puncte:

- A( 5, 15, 25) ; B( 55, 5, 25),

- C( 0, 25, 35) ; D( 60, 25, 45),

- E( 20, 10, 15) ; F(20, 40, 30),

Sa se determine in tripla proiectie ortogonala:

- proiectiile dreptelor determinate de cele doua puncte.

- urmele dreptei,

- punctele de intersectie cu planele bisectoare,

- diedrele strabatute de dreapta,

Precizati pozitia lor in raport cu planele de proiectie.

Problema 3.

Se dau perechile de puncte:

- A( 20, 20, 10) ; B( 20, 20, 40),

- C( 30, 10, 30) ; D( 30, 40, 30),

Sa se determine in tripla proiectie ortogonala:

- proiectiile dreptelor determinate de cele doua puncte.

- urmele dreptei,

- punctele de intersectie cu planele bisectoare,

- diedrele strabatute de dreapta,

Precizati pozitia lor in raport cu planele de proiectie.

Problema 4.

Se dau perechile de puncte:

- A( 25, 10, 35) ; B( 25, 35, 10),

- C( 20, 5, 20) ; D( 50, 30, 45),

Sa se determine in tripla proiectie ortogonala:

- proiectiile dreptelor determinate de cele doua puncte.

- urmele dreptei,

- punctele de intersectie cu planele bisectoare,

- diedrele strabatute de dreapta,

Precizati pozitia lor in raport cu planele bisectoare.

Problema 5.

Sa se traseze prin punctul M(20,30,40) urmatoarele drepte:

- dreapta ₁ care sa treaca prin diedrele II si IV,

- dreapta ₂ care sa treaca prin diedrele II si III,

- dreapta ₃ care sa treaca prin diedrele III si IV,

Problema 6.

Se da dreapta determinata de punctele H(110,25,0) si V(40,0,50). Sa se determine:

- dreptele simetrice ₁ si ₂ ale dreptei fata de [H] si [V],

- dreptele simetrice ₃ si ₄ ale dreptei fata de [B I] si [B II].

Problema 7.

Sa se traseze prin punctul A (25,10,15) urmatoarele drepte:

- o dreapta de nivel care face cu [V] un unghi de 30,

- o frontala care face cu [H] un unghi de 60,

- o dreapta de profil care formeaza cu [L] un unghi de 45,

Problema 8.

Sa se traseze prin punctul M (25,10,15):

- dreapta ₁ II [B I ],

- dreapta ₂ II [B II ],

Problema 9.

Sa se stabileasca pozitia relativa a doua drepte ₁(d₁,d'₁) si ₂(d₂,d'₂) care au proiectiile de nume diferit confundate, adica d₁≡d'₂ si d'₁≡d

Problema 10.

Sa se traseze prin punctul M (15,25,15) dreapta perpendiculara pe dreapta determinata de punctele A (20,35,45) si B(45,15,20).

Problema 11.

Sa se traseze printr-un punct arbitrar N_x apartinand liniei de pamant dreapta perpendiculara pe o dreapta de nivel si pe o dreapta de front.

Problema 1

Se da dreapta determinata de punctele A(25,15,35) si B(70,40,10). Sa se determine dreapta de nivel, perpendiculara pe in punctul C(c,c'), (CI), cunoscand z_c= 20.