SIRURI

SIRURI

1. SIRURI DE PUNCTE IN SPATII METRICE

Fie (E, d) un spatiu metric.

Definitia 1.1 (sir de puncte)

Se numeste sir de puncte din E orice functie f:N→E. Daca pentru fiecare n, notam f(n)=x, atunci sirul de puncte f se noteaza: n→x, sau pe scurt .

Definitia 1.2 (sir convergent)

Se spune ca sirul este convergent, sau ca are limita, daca exista aE cu proprietatea ca, pentru orice vecinatate , astfel incat oricare ar fi n≥n sa avem

a.i. a.i.

Propozitia 1.3

Un sir este divergent, daca si numai daca, oricare ar fi cu proprietatea ca a.i.

Demonstratie:

Se obtine prin negarea definitiei 1.2

divergent a.i.

Propozitia 1.4

Daca sirul are limita, atunci limita sa este unica.

Demonstratie:

Presupunem prin absurd, ca sirul are doua limite a, a′

Cum si atunci fie r

Este evident ca daca Æ

Prin ipoteza a.i. respectiv, astfel incat pentru orice n

Atunci, daca p=max, ceea ce este absurd, deci a=a'.

Daca a E este limita sirului vom conveni ca in continuare sa folosim una din notatiile: . Se mai spune, in acest caz ca sirul converge catre a.

Teorema 1.5

Fie un sir de puncte si aE, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i.

>0, a.i. n>are loc d()<;

i sirul de numere reale (d(,a)) converge catre 0.

Demonstratie:

i. Presupunem ca

Fie >0. Discul D(a,) si conform definitiei 1.2, a.i. adica d()<.

i. Presupunem ca a.i.

Fie V. Atunci, a.i. Conform presupunerii, pentru acest a.i. pentru orice nsa avem adica si deci

i Afirmatia 'oricare ar fi astfel incat, pentru orice are loc ' este echivalenta cu afirmatia 'sirul de numere reale pozitive converge catre 0.'

Propozitia 1.6

Fie A o submultime a spatiului metric (E, d). Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i.

Demonstratie

i.Presupunem ca a. Cum ,D(a,) rezulta ca Æ Atunci pentru orice ndeci

si . Deoarece deci .

Presupunem ca exista un sir

Atunci in orice disc deschis cu centrul in a se afla o infinitate de termeni ai sirului () diferiti de a, deci o infinitate de puncte din A diferite de a si, conform proprietatilor punctelor de acumulare rezulta ca aA'.

Propozitia 1.7

Fie () un sir de puncte din E si doua metrici echivalente. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i.

Demonstratie:

i. Presupunem ca Fie Cum prin ipoteza metricele sunt echivalente, rezulta ca ele sunt si topologic echivalente. Atunci exista >0 a.i.

Deoarece si Asadar, a.i. deci

i. Se demonstreaza in acelasi mod.

2. SUBSIRURI DE PUNCTE IN SPATII METRICE

Fie (E, d) un spatiu metric si un sir de puncte din E. Consideram o functie strict crescatoare, pentru care notam , deci:

Definitia 2.1 (subsir)

Functia compusa se numeste subsir al sirului f.

Deoarece , sirul de puncte se noteaza: sau pe scurt Frecvent vom folosi si notatia .

Daca sau se obtin subsirurile si respectiv () ale sirului numite subsiruri uzuale ale acestuia.

Propozitia 2.2

Fie () un sir de puncte din E. Daca sirul () are limita, atunci orice subsir () al sau are aceeasi limita.

Demonstratie

Presupunem ca si fie . Atunci pentru oricare V a.i. Asadar deci

Consecinta 2.3

Daca sirul contine doua subsiruri care au limite diferite, atunci sirul este divergent.

Definitia 2.4 (limita unui sir)

Un punct aE se numeste limita a sirului , daca in orice vecinatate a punctului a se afla o infinitate de termeni ai sirului

Din definitiile limitei unui sir si a unui punct limita rezulta ca limita unui sir, daca exista, este un punct limita al sirului.

Reciproca acestei afirmatii nu este adevarata.

Intr-adevar, sirul din

are doua puncte limita 1 si 0, dar este divergent deoarece cele doua subsiruri uzuale ale sale au limite diferite.

Teorema 2.5

Oricare ar fi sirul urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i.aE este un punct limita al sirului ;

si a.i.

Demonstratie

i.Presupunem ca a este punct limita al sirului si fie >

Atunci, in D(a,) se afla o infinitate de termeni ai sirului deci a.i. , adica .

Presupunem ca a.i. .

Fie V Pentru acest >0 si incat deci in V se afla o infinitate de termeni ai sirului si prin urmare, a este punct limita al sirului .

Observatia 2.6

Fie un sir din E si A=imaginea sa. Din Teorema 2.5 rezulta ca:

Daca este punct limita al sirului , atunci a este punct aderent al multimii A. Reciproca acestei afirmatii este falsa.

Daca a E este punct limita al sirului dar a

Daca aE este punct limita al sirului si a, atunci multimea este infinita si exista un subsir constant al sirului cu limita a.

Propozitia 2.7

Fie E. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i. aIE este punct limita al sirului ;

subsir incat

Demonstratie:

i.Þ Presupunem ca aIE este punct limita al sirului . Conform definitiei punctului limita in orice vecinatate VIV(a) se afla o infinitate de termeni ai sirului. Pentru pIN >p, a.i. <. Cum sirul converge la 0 rezulta ca sirul converge catre 0 deci

Þi. Presupunem ca exista incat Atunci a este punct limita al sirului (), deci este punct limita si al sirului