FORMULA LUI TAYLOR-LAGRANGE

FORMULA LUI TAYLOR-LAGRANGE

O problema fundamentala a analizei numerice este "aproximarea", intr-un anumit sens, a unei functii date printr-o alta functie de o forma (structura) mai simpla.

In acest paragraf vom studia posibilitatea aproximarii unor functii de o anumita clasa prin functii polinomiale.

Deoarece aproximarea se face in jurul (vecinatatea) unui punct, vom numi aceasta aproximare, aproximare locala.

La inceput sa precizam ce intelegem aici prin aproximare.

Fie doua functii derivabile de n+1 ori pe o vecinatate VIV(x₀), unde x₀ apartine intervalului I.

Definitia V.1.1

Se spune ca functia g aproximeaza functia f in vecinatatea VIV(x₀) cu aproximatie de ordinul n daca:

, ,

si

.

Din punct de vedere geometric aceasta inseamna ca graficele celor doua functii au un contact de ordinul n in punctul x₀.

In cele ce urmeaza vom alege drept functie care aproximeaza pe f o functie de tip polinomial. Fie un interval din R.

Teorema V.1.2. (formula lui Taylor-Lagrange).

Fie o functie de clasa Cⁿ⁺¹ pe I si . Pentru xII, , a.i.

Demonstratie:

Fie , si numarul pentru care are loc egalitatea:

(2)

Consideram functia , definita prin:

Se observa ca si , deci .

Cum g este o functie Rolle pe intervalul , a.i. .

Dar

sau, dupa reduceri

Din conditia rezulta .

Daca x₁= x₀ este un punct oarecare din I, atunci formula (1) se scrie:

Observatia V.1.3

Functia polinomiala , definita prin

se numeste polinomul lui Taylor de gradul n atasat lui f in punctul x₀.

Cum , = si polinomul T_n realizeaza conform Definitiei V.1.1, o aproximare de ordinul n a functiei f.

Functia , definita prin se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor:

In conditiile Teoremei V.1.2, se numeste restul de ordinul n al lui Lagrange.

Observatia V.1.4

(a) Din formula (1), pentru n = 0, obtinem formula cresterilor finite a lui Lagrange .

(b) Daca x-x₀=h si , , atunci formula lui Taylor-Lagrange se scrie:

(c) Daca atunci

se numeste formula lui Mac-Laurin.

Teorema V.1.5 (Formula lui Taylor cu restul integral)

Fie . Daca f este de clasa Cⁿ⁺¹ pe I, atunci are loc:

Demonstratie:

Vom demonstra relatia (5) prin inductie matematica. Pentru n = 0 relatia devine , care este adevarata conform formulei Leibniz-Newton.

Presupunem ca este adevarata relatia:

(6)

pentru .

Integrand prin parti obtinem:

iar egalitatea (6) devine

(7)

deci egalitatea (6) este adevarata pentru .

Consecinta V.1.6

Fie o functie de clasa Cⁿ⁺¹ pe I. Daca M>0 a.i., , , atunci

Intr-adevar, cum

din relatia (7) obtinem

numita inegalitatea Taylor-Lagrange.