Bazele matematice ale graficii

1.1. Elemente de geometrie

Corpul material este limitat, iar limita lui se numeste suprafata corpului. O portiune de suprafata este limitata de o curba, iar o portiune de curba se termina intr-un punct.

Ecuatiile clasice ale unei curbe sunt:

forma explicita: y=f(x), care este univoca;

forma implicita: f(x,y)=0, ce este specifica reprezentarii curbelor inchise;

forma parametrica: x=f(t), y=f(t), care reprezinta curbele inchise sau cele care se intersecteaza;

forma polara: R=f(q semnificand aceleasi curbe ca precedenta forma.

Notiunile de suprafata, curba si punct pot fi considerate independente de suportul lor material. Astfel prin miscarea unui punct se obtine o curba, prin miscarea unei curbe se obtine o suprafata, iar prin miscarea unei suprafete rezulta un volum.

Se numeste figura geometrica, o multime de puncte, curbe si suprafete. Asupra figurilor se pot face diferite transformari geometrice. O transformare geometrica este o aplicatie bijectiva a planului (spatiului) pe el insusi. Transformarea identica este aplicatia bijectiva identica si lasa nemodificate toate punctele planului (spatiului). Doua figuri care se obtin una din alta printr-o transformare geometrica se numesc figuri congruente sau omoloage. Transformarile cele mai importante sunt izometriile care se impart in deplasari si antideplasari (oglindiri).

O deplasare fara punct fix se numeste translatie, iar cea cu punct fix se numeste rotatie. Notiunile se pot defini si in spatiu. Transformare se numeste asemanatoare daca distantele dintre punctele omoloage sunt proportionale iar unghiurile omoloage sunt egale. Factorul de proportionalitate k este definit ca raport de asemanare. Raportul lungimilor, ariilor , volumelor din doua figuri asemenea sunt egale cu k, k², k³.

Ecuatiile dreptei. Consideram o dreapta d, intr-o pozitie oarecare fata de axe (fig.1.1).

Fig. 1.1 Dreapta oarecare

Fie M un punct arbitrar pe dreapta d , vom gasi ecuatia dreptei d daca vom reusi sa determinam o relatie intre ON=x si NM=y verificata de toate punctele dreptei d. Pentru aceasta ducem paralela d' din o la dreapta d si fie M' intersectia cu MN. Facem urmatoarele cantitati constante (aceleasi, oricare ar fi M pe d): m=tgu si n=MM'. Cum NM=NM'+ M'M rezulta:

y=mx+n, care este ecuatia dreptei. (1.1)

Invers, o ecuatie de gradul I in doua variabile

ax+by+c=0

reprezinta o dreapta deoarece poate fi pusa sub forma (1.1).

Rezolvand-o in raport cu y, unde m = - a/b constituie panta dreptei scrisa sub forma generala (1.2)

Fie A si B urmele dreptei d(fig.1.2)

Cunoscand OA=a, OB=b,OP=p( lungimea normalei OP din origine) si unghiul I cu axa Ox, vom putea scrie ecuatia dreptei in functie de aceste elemente. Intr-adevar: x/a+y/b=1 (Creele, 1821), atunci, prin inlocuirea lui a si b, se obtine:

xcosu+ysinu=v,

care este forma normala (Couchy ,1826) a dreptei.

Fig.1.2 Forma normala

Ecuatia cercului Ecuatia carteziana a cercului (fig.1.3) este:

, (1.4)

iar daca are centrul in originea sistemului de axe, atunci:

x²+y²=R² (1.5)

Ecuatia (1.5) se poate descompune in doua ecuatii

.

Fig.1.3. Ecuatiile carteziene ale cercului.

Partea superioara este trasata variind pe x in intervalul [R,-R] cu pasul -p, iar partea superioara se obtine prin variatia lui x in intervalul [-R,R] cu pasul p.

Ecuatiile parametrice se deduc usor (fig. 1.4), daca centrul este in origine:

x=R cosq, y=R sinq cu 0 q 360^o   

Cand centrul difera de origine, C(x₀,y₀) atunci:

x=x₀ +R cosq y=y₀ +R sinq (1.7)

Sub o alta forma, in functie de t=tg(q se obtin relatiile:

, (1.8)

Fig.1.4. Ecuatii parametrice

Prin metoda recursiva se pot gasi alte ecuatii ale cercului. Presupunem ca se cunosc doua puncte ale cercului (fig.1.5):

x=R cosq y=R sinq ;

x_n+1=R cos(q +dq) , y_n+1=R sin (q +dq)

unde dq este incrementul unghiular. Daca dezvoltam ecuatiile punctului (x_n+1,y_n+1) si inlocuim corespunzator rezulta:

x_n+1=x_n cos(dq) -y_n sin(dq) , y_n+1=y_n cos (dq) +x_n sin(dq

Cum incrementul dq este constant, se calculeaza la inceputul programului valorile c=cos(dq) , s=sin(dq obtinand:

x_n+1=x_n c y_n s , y_n+1=y_n c +x_n s, care sunt relatii recursive de ordinul unu.

Dezvoltand relatia (1.4) se obtine:

x²+y²+ax+by+c=0   

cu x₀= - a/2, y₀= - b/2, R²= (a²+b²-4c)/4.

Ecuatia (1.4) reprezinta un cerc real cand a²+b²>4c. de asemenea, punctele interioare verifica inecuatia x²+y²<R², iar pentru cele exterioare avem x²+y²>R².

Fig1.5. Relatii recursive

Conice. Intersectia unui con circular cu un plan se numeste conica. Notand cu a unghiul facut de generatoarele conului cu un plan perpendicular pe axa conului si cu b unghiul facut de planul de sectiune cu acelasi plan, curba de intersectie este o elipsa, o parabola sau o hiperbola, dupa cum b< a, b= a, ori b> a ( fig.1.6). Aceste trei conice sunt curbe fundamentale care intervin in numeroase aplicatii.

b< a b= a b> a

Fig.1.6. Conice

a)Elipsa ( fig.1.7). Multimea punctelor pentru care suma distantelor la doua puncte date, F, F', numite focare, este constanta se numeste elipsa.

Ea are ecuatia carteziana:

,

unde (x₀,y₀) este centrul elipsei, iar F(c,0). F' (-c,0), cu , sunt focarele elipsei. Din insasi definitia ei, curba este inchisa.

Ecuatia elipsei cuprinzand pe x si pe y la puteri perechi, este simetrica fata de axele Ox,Oy, care sunt axele ei de simetrie.

Fig.1.7. Elipsa

Excentricitatea elipsei este raportul e=c/a si variaza intre 0 si 1; este egala cu zero pentru un cerc cu focarele F,si F' confundate in originea O (deci, a=b); rezulta ca cercul este o elipsa particulara.

Ecuatiile parametrice ale elipsei sunt:

x=a cos q

y= b sin q cu 0 q 360^o

b) Parabola ( fig.1.8). Multimea punctelor M, egal departate de punctul F numit focar, si o dreapta D directoare, este o parabola.

Ea are ecuatiile:

carteziene: y²=2px;

parametrice: x= 2p ctg2q, y=2p ctg q

Fig.1.8. Parabola

Avem o ecuatie de gradul al doilea, iar curba are o singura ramura. Curba trece prin origine si este simetrica fata de axa Ox. Ecuatia generala poate fi scrisa si sub forma:

y=ax²+bx+c, a g

Fig.1.9. Hiperbola

c) Hiperbola (fig.1.9). multimea punctelor M pentru care diferenta distantelor la doua puncte F,si F', numite focare, este constanta (egala cu 2a) reprezinta o hiperbola.

Ea are ecuatiile:

carteziene:

unde (x₀,y₀) este centrul hiperbolei;

parametrice:

x=a secq, y=btgq

Ca la elipsa, avem F' (-c,0), F (c,0) I cu . Scriind ecuatia sub forma , observam ca y exista atunci cand x > a sau x < -a, deci curba este de gradul doi si este formata din doua ramuri.

Hiperbola este echilatera cand a=b si deci, ecuatia

devine x² - y²= a².

Fig.1.10. Parabola cubica

Curbe algebrice clasice si transcendente. Dintre reprezentarile grafice ale curbelor clasice amintim:

a)         Parabola cubica (fig.1.10) care are ecuatia y=x³. Ea este denumita cubica deoarece este de gradul al treilea.

b)        Parabola semicubica (fig.1.11) are ecuatia y²=x³ este situata in dreapta axei Oy (x>0) si este simetrica fata de axa Ox.

Numim curba transcendenta o curba care nu este algebrica.Amintim cateva astfel de curbe:

a)          Sinusoida y = sinx, co o infinitate de zerouri, care sunt si puncte de inflexiune si co o infinitate de extreme. Functia ei inversa este y= arcsin x .

In aceeasi familie sunt cuprinse si curbele

y= a sin(kx+a

Fig.1.11. Parabola semicubica

deformate printr-o dilatare de raport a, in sensul axei Oy; o comprimare in raport k a axei Ox si o defazare de unghi a a acestei axe.

b)    Tangentoida y = tgx are o infinitate de zerouri si de asimptote.

c)     Exponentiala y = e^x si inversa ei, functia logaritmica y = lnx.

Prin combinatiile precedente se obtin curbe transcendente noi. De exemplu, curba y=sinx/x are aspectul unei sinusoide, cu zerourile kp (k g 0)repartizate la distante egalepe axa Ox, dar sprijinindu-se pentru fiecare sin x=1 pe hiperbola echilatera y=1/x si simetrica ei.

Curba amortizoare y = e^-x sinx are o alura analoaga dar sinusoida este calauzita de exponentialele y = e^-x.

Prin rostogolirea unui cerc pe o dreapta, cerc etc. se pot obtine alte curbe remarcabile precum: cicloida, epicicloida, hipocicloida, astroida etc.

Curbe si suprafete. Daca coordonatele unui punct mobil, M, sunt functii de un parametru t:

x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1.12)

punctul M(x,y,z) descrie o curba iar relatia (1.12) reprezinta ecuatiile curbei. Cand coordonatele sunt functii de doi parametri, u si v, independenti:

x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) (1.13)

atunci punctele M(x,y,z) descriu o suprafata ce are ecuatiile (1.13). daca se elimina u si v atunci se obtine o ecuatie de forma f(x,y,z)=0. Explicit se pot determina una sau mai multe panze z=z(x,y). Oricarui punct M (x,y) dintr-un domeniu al planului xOy ii corespunde un punct M de cota z. Cand M descrie tot domeniul lui, M descrie o panza a unei suprafete. Deoarece o curba este o intersectie a doua suprafete, putem scrie ecuatiile curbei sub forma f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0, sau ca intersectie a doi cilindri, f(x,y)=0, g(y,z)=0.

1.2. Bazele matematice ale graficii 2D

1.2.1. Transformari in plan

Daca x si y sunt coordonatele unui punct M, ecuatiile:

x'=f(x,y), y'=g(x,y)

permit trecerea de la punctul M(x,y) la punctul. Ecuatiile (1.14.) definesc o transformare punctuala plana. Punctul M este transformatul lui M. Daca ecuatiile de transformare contin si parametri, spunem ca ele reprezinta o familie de transformari.

Putem considera coordonatele punctului ca o matrice 1y2. Fie produsul matricial urmator pe care il notam cu (x',y'):

(1.15)

Atunci toate punctele planului xOy inmultite cu matricea 2x2 vor da noi puncte (x',y'), unde:

x =Ax+Cy,    y' =Bx+Dy

Transformarea astfel obtinuta va depinde de valorile date variabilelor A, B, C, si D.

Translatia. Transformarea este reprezentata de ecuatiile:

x =x+a,    y' =y+b   

Familia de transformari depinde de parametrii a si b. Daca a=b=0, atunci punctul M(x,y) ramane neschimbat, adica transformarea identica este cuprinsa in familia transformarilor (1.17).

Putem rezolva invers ecuatiile (1.17) si gasim: x = x - a, y = y - b, care sunt ecuatii de aceeasi forma cu (1.17). deci familia contine transformarea inversa.

Presupunem ca efectuam o noua translatie asupra punctului M (x ,y

x"=x'+a', y"=y'+b'.

Trecerea de la M(x,y) la M"(x",y") se va exprima prin:

x"=x+(a+a'), y"=y+(b+b'),

adica produsul a doua translatii este tot o translatie.

In concluzie, translatiile plane formeaza un grup G, cu doi parametri. Vom observa ca nici-un produs al matricei generale nu ne permite sa gasim relatiile (1.17). Pentru rezolvarea situatiei se va introduce o a treia componenta a vectorilor (x y) si (x' y'), obtinand (x y 1) si (x' y' 1). Matricea transformarilor va fi obligatoriu de 3x2:

Vom arata ca ea furnizeaza bine o translatie::

sau : x'=x+a, y'=y+b, unde a produce o translatie pe axa Ox si b pe axa Oy.

Problema translatiei pare a fi rezolvata. Dar o matrice 3x2 nu poseda inversa. De aceea se mai adauga o coloana.

Spunem ca reprezentarea pozitiei unui punct printr-un vector cu trei componente este o reprezentare in coordonate omogene.

La mod general orice punct din plan de coordonate (x, y) are pentru coordonate omogene tripletul (x,y,1) sau nu conteaza care triplet de trei numere proportionale (kx, ky, k), unde k numar real nenul. Deci, x'= kx, y'= ky, z' = k, de unde rezulta: x= x'/k, y= y'/k. Aceste formule reprezinta formulele de trecere de la coordonatele omogene la cele carteziene.

Scalarea. Transformarea este controlata de matricea T= si in consecinta (x y)^. T=(Ax Dy), adica x'=Ax, y'=Dy.

Fig.1.12 Scalarea

Exemplu 1.1 Fie patratul unitar abcd (fig. 1.12a) si matricea . Transformans varfurile patratului a(1,2), b(2,2), c(2,3),d(1,3) se obtin succesiv:

(1 2) T=(3 2), a'(3,2);

(2 2) T=(6 2), b'(6,2);

(2 3) T=(6 3), c'(6,3);

(1 3) T=(3 3), d'(3,3)

sau mai simplu:

A rezultat astfel un dreptunghi. Produsul matricial a condus la marirea unei laturi pe Ox cu factorul de multiplicare egal cu 3.

Exemplu 1.2 Fie patratul unitar abcd (fig. 1.12b) si matricea

.Aplicand aceasta matrice la coordonatele patratului se va obtine:

Se observa ca s-a efectuat o modificare cu factorul 0,2 pe axa Oy.

Exemplul 1.3 Daca se doreste marirea / micsorarea uniforma a patratului, pe cele doua axe, trebuie ca valorile coeficientilor A si D sa fie egale (fig.1.12.c)

O multiplicare prin matricea T cu A = D = 1 conduce la conservarea patratului.

adica x = x', y = y'

Simetria. Matricele T care controleaza acest tip de transformare sunt cazuri particulare ale celor care produc scalari, in care A si / sau D sunt negative