Ecuatiile lui Maxwell

Ecuatiile lui Maxwell

a) Ecuatia Maxwell-Gauss a electrostaticii

Se cunoaste ca plecand de la legea lui Coulomb se obtine pentru intensitatea campului electrostatic produs de o sarcina punctuala Q situata intr-un mediu izotrop expresia (vezi fig. 1.1.1):

, (1.1.1)

unde (= in sistemele rationalizate de marimi si unitati fizice, de exemplu SI, si in sistemele nerationalizate, de exemplu , , Gauss) este coeficientul (electric) de rationalizare, iar este raza vectoare din punctul M de observatie.

Fig. 1.1.1

In medii anizotrope, expresia aceleiasi marimi fizice devine (vezi L.D.Landau, E.M.Lifschitz "Electrodinamica mediilor continue" - tradusa in romaneste la editura Tehnica, Bucuresti, 1968, p. 88-89):

(1.1.2)

unde    (1.1.3)

este tensorul constantei dielectrice (permitivitate).

Pentru a evita complicatiile calculelor (pentru medii anizotrope) ivite datorita prezentei tensorului , se introduce o noua marime fizica (numita inductie electrica sau vectorul ) prin relatia:

(1.1.4)

unde, pentru o sarcina punctuala:

. (1.1.5)

Se defineste fluxul vectorului printr-o suprafata oarecare S, intr-o maniera analoga fluxului magnetic:

, , (1.1.6)

unde este vectorul element diferential de arie al suprafetei S.

Daca S este sfera ce contine in centru sarcina punctuala Q, se obtine:

, (1.1.7)

unde (=1 pentru sistemele rationalizate si pentru sistemele nerationalizate) este constanta "inversa" de rationalizare.

Se constata (vezi problemele 1 si 2 din acest paragraf) ca se poate generaliza acest rezultat pentru o suprafata inchisa oarecare si o distributie arbitrara a sarcinii electrice:

, (1.1.8)

unde este sarcina totala din interiorul suprafetei inchise .

Relatia (1.1.8) reprezinta expresia integrala a ecuatiei Maxwell-Gauss (a electrostaticii).

Se defineste divergenta vectorului ca fiind densitatea volumica a fluxului vectorului prin suprafata inchisa care inconjoara volumul elementar :

. (1.1.9)

Teorema lui Gauss (- Ostrogradsky, vezi problema 3) demonstreaza ca:

, (1.1.10)

unde:    (1.1.11)

este operatorul diferential (si vectorial) "nabla", in timp ce si reprezinta vectorii unitate ai axelor Ox, Oy si - respectiv - Oz.

Plecand de la relatiile (1.1.8) - (1.1.10), se obtine expresia locala (diferentiala) a ecuatiei Maxwell-Gauss:

unde este densitatea volumica a sarcinii electrice.

b) Ecuatia Maxwell a magnetostaticii

Prin analogie cu ecuatiile (integrale si locale) electrostaticii, se obtin ecuatiile Maxwell ale magnetostaticii:

si: , (1.1.13)

unde reprezinta sarcina magnetica interioara suprafetei inchise .

Fenomenele electromagnetice nu impun introducerea sarcinii magnetice. De aceea putem considera ca si , deci forma finala a expresiei integrale si, respectiv, locala a ecuatiei Maxwell a magnetostaticii va fi:

si: . (1.1.13')

c) Definirea intensitatii campului magnetic de catre Biot-Savart; ecuatia Maxwell-Biot-Savart-Ampère

Definitia diferentiala Bios-Savart afirma: contributia elementului diferential al unui conductor C parcurs de un curent electric de intensitate I la intensitatea campului magnetic in punctul de observatie M, caracterizat de vectorul pozitie (vezi figura 1.1.2) este data de expresia:

(1.1.14)

unde (=in sisteme rationalizate, respectiv pentru sisteme nerationalizate) este coeficientul magnetic de rationalizare.

Pentru un conductor rectiliniu filiform infinit se obtine (vezi problema 9):

, (1.1.15)

unde d este distanta de la punctul de observatie M la conductorul rectiliniu. In continuare consideram cercul L centrat pe conductorul C si trecand prin punctul de observatie M (vezi figura 1.1.3). Din introducerea circulatiei intensitatii H a campului magnetic pe curba inchisa oarecare ("linie de camp magnetic") prin relatia:

se obtine pentru circumferinta L:

,

unde - datorita alegerii - constanta este aceeasi din ecuatia Maxwell-Gauss a electrostaticii.

Se poate demonstra (vezi problema 6) generalizarea acestui rezultat pentru o distributie oarecare de curenti electrici pe o curba inchisa arbitrara L obtinandu-se:

,

unde este circulatia intensitatii rezultantei campului magnetic produs de distributia considerata, iar este intensitatea totala a curentilor electrici care traverseaza suprafata ce se sprijina pe curba inchisa L considerata. Relatia (1.1.17') reprezinta expresia integrala a ecuatiei Maxwell-Biot-Savart-Ampere, relatie ce stabileste o legatura intre electrostatica si magnetostatica.

Pentru a deduce forma locala a ecuatiei Maxwell-Biot-Savart-Ampere, consideram o curba inchisa arbitrara situata in planul yOz (vezi figura 1.1.4); fie aria suprafetei determinate de curba . Se defineste componenta x: - a rotorului intensitatii campului magnetic prin limita:

Conform teoremei lui Stokes (v. problema 7) rezulta ca:

, (1.1.19)

deci putem scrie (intr-o maniera simbolica):

, (1.1.20)

unde apare acelasi operator "nabla", definit de relatia (1.1.11).

Pornind de la expresia integrala a ecuatiei Maxwell-Biot-Savart-Ampere, se gaseste ca:

, (1.1.21)

unde reprezinta componenta x a densitatii totale (curenti datorati miscarii purtatorilor liberi de sarcina electrica si variatiei inductiei electrice) de curent electric.

Pentru a stabili expresia densitatii curentului (lui Maxwell) de "deplasare" (datorat variatiei vectorului - deplasare electrica), se considera placa de arie A (incarcata cu sarcina electrica de densitatea superficiala ) - un condensator plan (vezi figura 1.1.5). Deoarece componenta x a inductiei electrice dintre placi este (vezi problema 4):

, (1.1.22)

se obtine expresia densitatii (superficiale) a curentului de "deplasare":

Relatiile (1.1.21) si (1.1.23) conduc la expresia locala (diferentiala) a ecuatiei Maxwell-Biot-Savart-Ampère:

, (1.1.24)

unde este densitatea curentului de conductie (datorat miscarii purtatorilor liberi de sarcina electrica). Deci, pentru corpurile in repaus ():

. (1.1.25)

d) Ecuatia Maxwell-Faraday a electromagnetismului

Cunoastem bine ca fenomenul esential electromagnetic este inductia electromagnetica si ca fenomenul este descris de legea lui Faraday:

, (1.1.26)

unde este tensiunea (forta) electromotoare indusa in conductorul C si este fluxul magnetic (al inductiei magnetice ) prin suprafata interioara conductorului C. De asemenea, diferentiala potentialului electric este egala cu lucrul mecanic elementar efectuat supra sarcina electrica unitara, de unde

. (1.1.27)

In final, se gaseste ca tensiunea electromotoare este egala cu circulatia intensitatii campului electric de-a lungul conductorului inchis C: . (1.1.28)

Deoarece - pentru corpurile in repaus - se poate inversa ordinea operatorilor si , se gaseste expresia integrala a ecuatiei Maxwell-Faraday:

, (1.1.29)

unde este suprafata ce inconjoara conductorul C.

Trebuie subliniat ca Maxwell a considerat ca ecuatia (1.1.29) este valabila pentru o curba inchisa oarecare (inclusiv pentru curbe fictive), nu doar curbelor ce corespund conductorilor fizici.

Deducand densitatea superficiala a tensiunii electromotoare ce corespunde unei curbe inchise situata in planul yOz (vezi figura 1.1.6) se obtine:

de unde se gaseste expresia locala (diferentiala) a ecuatiei Maxwell-Faraday:

(corpuri in repaus) (1.1.31)

Problema 1.1.1: Deduceti expresia fluxului (electric) inductiei electrice produs de o sarcina electrica punctuala fixa Q, situata in volumul interior unei suprafete inchise arbitrare , prin aceasta suprafata.

Solutie: Fie vectorul asociat ariei unui mic element de suprafata din si vectorul de pozitie al acestui element de suprafata raportat la Q. Prin definitie, contributia elementului la fluxul inductiei electrice produsa de sarcina punctuala Q este:

unde este unghiul solid corespunzand elementului vazut din punctul unde este situata sarcina punctuala Q. Adunand expresia precedenta pentru toate elementele ale suprafetei inchise si tinand cont ca unghiul solid total este egal cu (sr) se obtine:

Problema 1.1.2: Deduceti fluxul inductiei electrice printr-o suprafata inchisa produsa de: a) o sarcina electrica punctuala situata in afara suprafetei ; b) o distributie oarecare de sarcini electrice.

Solutie: a) Consideram un con elementar (avand varful in punctul in care se afla sarcina punctuala , exterioara suprafetei ) care decupeaza elementele de suprafata caracterizate de vectorii (vezi figura 1.1.8). Deoarece produsele scalare si sunt de semn opus, iar modulele unghiurilor solide: si sunt egale, se constata ca suma contributiilor elementelor la fluxul inductiei electrice este nula:

.

Pentru ca diferite elemente ale suprafetei pot fi grupate in perechi de elemente decupate din diferite conuri avand varful in sarcina punctuala , fluxul inductiei electrice produs de sarcina punctuala exterioara suprafetei inchise prin aceasta suprafata este nul:

.

b) Consideram o distributie de N sarcini electrice punctuale in jurul suprafetei inchise (domeniul ); unele sarcini sunt interioare si altele exterioare raportat la suprafata (vezi figura 1.1.9). Tinand cont de rezultatele problemelor 1.1.1 si 1.1.2a, precum si de principiul superpozitiei sarcinilor electrice:

,

unde:    ,

se gaseste ca: ,

unde este suma sarcinilor interioare suprafetei , deci sarcina electrica totala interioara acestei suprafete.

Problema 1.1.3: Deduceti expresia divergentei unei functii vectoriale continue .

Solutie: Consideram un element spatial paralelipipedic, de laturi paralele cu axele Ox, Oy, Oz, centrat in punctul de coordonate x, y, z (vezi figura 1.1.10). Deoarece contributia fetelor perpendiculare pe axa Oz la fluxul inductiei electrice este:

,

se obtine (conform definitiei (1.1.10) a divergentei):

,

unde volumul paralelipipedului este .

Pentru se obtine teorema lui Gauss:

.

Problema 1.1.4: Deduceti expresia componentei normale a inductiei electrice din: a) imediata vecinatate a unei placi plane caracterizate printr-o distributie uniforma de sarcina electrica cu densitate superficiala (a sarcinii electrice) si, respectiv, -. b) interiorul unui condensator plan cu placile identice, incarcate cu densitatea + si, respectiv, -.

Solutie: a) Consideram suprafata inchisa a unui paralelipiped fictiv inconjurand placa si, de asemenea, inaltimea sa h ca fiind considerabil mai mica decat dimensiunile transversale ale placii (vezi figura 1.1.11): . Neglijand contributiile fetelor laterale, expresia integrala a ecuatiilor Maxwell-Gauss da:

, de unde: .

b) Pornind de la rezultatul precedent si tinand cont ca, in plus, contributiile si ale placilor condensatorului la componenta normala a inductiei electrice in interiorul condensatorului (vezi figura 1.1.12) au aceeasi directie, vom gasi ca:

.

Problema 1.1.5: Plecand de la definitia diferentiala a intensitatii campului magnetic (Biot-Savart), deduceti expresia intensitatii campului magnetic produs printr-un conductor rectiliniu si filiform parcurs de un curent electric de intensitate I, dintr-un punct de observatie M situat la distanta d in doua cazuri: a) segment finit de conductor (vezi figura 1.1m); b) conductor infinit.

Solutie: a) Fie O proiectia punctului de observatie M pe conductorul considerat si Ox axa dirijata in lungul conductorului, in directia curentului electric. Consideram un element diferential al conductorului - dx, caracterizat de coordonata x si unghiul (vezi figura 1.1.13). Conform definitiei lui Biot-Savart, contributia acestui element la intensitatea campului magnetic in M este: , unde: si: .

Prin introducerea acestor relatii in expresia lui dH se gaseste ca: . In final, trebuie integrata aceasta expresie diferentiala pentru valori ale lui cuprinse intre si (vezi figura 1.1.14): .

b) Pentru un conductor infinit, , deci: .

Problema 1.1.6: Deduceti expresia integrala a ecuatiei Maxwell-Biot-Savart-Ampère pentru o distributie arbitrara de curent electric, in jurul unei curbe inchise oarecare L.

Solutie: Plecand de la definitia diferentiala a intensitatii campului magnetic (Biot-Savart), se poate deduce expresia intensitatii campului magnetic produs de un conductor inchis parcurs de un curent electric de intensitate :

,

unde este un element diferential din , din vecinatatea punctului P (vezi figura 1.1.15).

Circulatia lui pe curba inchisa L este:

,

unde este elementul diferential de lungime al curbei inchise L considerate.

Pentru a calcula ultima integrala din expresia precedenta, consideram primul caz, cand conductorul traverseaza curba inchisa arbitrara L si fie O - un punct al , interior curbei L. Fie Q punctul obtinut prin constructia grafica bazata pe relatia: MQ = -OP. Se poate construi o curba identica, dar inversata prin raport cu , cu ajutorul punctelor obtinute plecand de la alte puncte ale conductorului (vezi figura 1.1.15), prin intermediul constructiilor grafice bazate pe relatiile:

Fie curbele analoge lui , construite plecand de la punctele M', M'', ale curbei inchise L. Ansamblul infinit de curbe , formeaza o suprafata inchisa (toroidala) in jurul punctului O. Tinand cont ca punctele Q, Q', Q'', formeaza o curba inchisa identica cu L (dar deplasata prin translatie), se gaseste ca produsul vectorial este egal cu vectorul - element diferential al suprafetei , in jurul punctului Q. Tinand cont de asemenea ca: , se obtine: ,

unde este unghiul solid diferential corespunzand elementului diferential de arie vazut din punctul O. Deoarece O este interior suprafetei inchise , se gaseste ca: .

Daca celalalt conductor electric nu este traversat de curba inchisa L, tinand cont (vezi problema 1.1.2a) ca: , se obtine: .

In final, utilizand principiul superpozitiei campurilor magnetice, se gaseste :

,

unde este intensitatea totala a curentilor electrici ce traverseaza curba inchisa L.

Problema 1.1.7: Plecand de la definitia (1.1.30) componentei x a rotorului unei functii vectoriale continue , deduceti expresia lui .

Solutie: Pentru a simplifica calculele, vom particulariza curba (situata intr-un plan paralel cu planul yOz) prin dreptunghiul de laturi , centrat in punctul de coordonate x,y,z (vezi figura 1.1.16). Expresia circulatiei vectorului de-a lungul dreptunghiului (parcurs in sens direct trigonometric) este:

Tinand cont de definitia (1.1.30) componentei x a rotorului lui si, de asemenea, ca expresia ariei interioare dreptunghiului este: se obtine:

Datorita faptului ca celelalte componente au expresii similare (obtinute prin permutari circulare): se gaseste, in final, teorema lui Stokes sub forma:

.