Baze ale unui spatiu liniar. Dimensiune.

Baze ale unui spatiu liniar. Dimensiune.

Algebra liniara

Salt la: Navigare, cautare

Algebra liniara este ramura matematicii care studiaza vectorii, spatiile vectoriale (numite si spatii liniare), transformarile liniare si sistemele de ecuatii liniare. Spatiile vectoriale sunt o tema centrala in matematica moderna; astfel, algebra liniara este utilizata pe scara larga atat in algebra abstracta cat si in analiza functionala. Algebra liniara are de asemenea o reprezentare concreta in geometria analitica. Are aplicatii numeroase in stiintele naturale si stiintele sociale, intrucat sistemele si fenomenele neliniare pot fi adesea aproximate printr-un model liniar.

[modifica] Istoric

Istoria algebrei liniare moderne incepe in anii 1843 si 1844. In 1843, William Rowan Hamilton (care a introdus termenul de vector) a descoperit cuaternionii. In 1844, Hermann Grassmann si-a publicat cartea Die lineare Ausdehnungslehre. Ceva mai tirziu, in 1857, Arthur Cayley a introdus notiunea de matrice, de o importanta fundamentala in algebra liniara.

[modifica] Introducere

Algebra liniara isi are inceputurile in studiul vectorilor in spatiul bidimensional si tridimensional cartezian. In acestea un vector este un segment de dreapta directionat, caracterizat atat prin lungime, sau marime, si directie. Vectorii pot fi folositi pentru reprezentarea anumitor marimi fizice, cum ar fi fortele, si pot fi adunati si inmultiti cu scalari, ceea ce este un prim exemplu de spatiu vectorial real.

Algebra liniara moderna s-a extins, luand in considerare spatii de dimensiune arbitrara sau infinita. Cele mai multe rezultate utile din spatiile bi- si tri-dimensionale pot fi generalizate si pentru aceste spatii n-dimensionale. Desi multi nu pot vizualiza usor vectori in n dimensiuni, acesti vectori, sau n-tuple sunt utili in reprezentarea datelor. Intrucat n-tuplele sunt liste ordonate de n componente, datele pot fi rezumate si manipulate mai eficient cu aceasta tehnica.

De exemplu, in economie, putem crea si folosi vectori 8-dimensionali, sau 8-tuple, reprezentand produsul intern brut a 8 tari. Putem decide sa notam PIB-ul a 8 tari intr-un anumit an -- fiind specificata dinainte ordinea tarilor, de exemplu, Statele Unite, Marea Britanie, Franta, Germania, Spania, India, Japonia, Australia -- printr-un vector (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈), cu PIB-ul fiecarei tari pe pozitia respectiva.

Un spatiu vectorial (sau spatiu liniar), este definit peste un corp, cum ar fi corpul numerelor reale sau corpul numerelor complexe.

Operatorii liniari transforma elemente dintr-un spatiu liniar in altul (sau in el insusi), de o maniera compatibila cu operatiile de adunare si de inmultire cu scalari definita pe respectivele spatii. Multimea tuturor acestor transformari este ea insasi un spatiu vectorial. Daca spatiul vectorial are fixata o baza, fiecare transformare liniara poate fi reprezentata printr-o tabela de numere denumita matrice. Studiul detaliat al proprietatilor matricelor si al algoritmilor ce lucreaza pe matrice, cum ar fi determinantii sau vectorii proprii, se considera a fi parte a algebrei liniare.

Se poate spune, pe scurt, ca pentru problemele matematice liniare - cele care manifesta liniaritate - probabilitatea de gasire a unei solutii este cea mai mare. De exemplu, calculul diferential este de mare ajutor in cazul functiilor daca acestea sunt aproximate liniar. In practica, diferenta intre problemele liniare si neliniare este foarte importanta.

Metoda generala de a gasi un mod de abordare liniar pentru o problema, de a exprima aceasta abordare in termenii algebrei liniare, si apoi de a o rezolva daca e nevoie prin calcul matriceal, este una dintre metodele cele mai general valabile din matematica.

In algebra liniara, o baza a unui spatiu vectorial, este un sistem de vectori cu care, printr-o combinatie liniara, poate fi generat orice vector al spatiului, si care este minimala in raport cu numarul de vectori pe care ii contine. Daca baza nu ar fi minimala, atunci unul sau mai multi vectori ai ei, se poate scrie ca o combinatie liniara a celorlalti vectori, ceea ce inseamna ca ei pot fi exclusi din baza, ramanandu-ne mai putini vectori.

Spatiu vectorial

Notiunea de spatiu vectorial, sau spatiu liniar, este una fundamentala in algebra liniara.

Daca luam in considerare vectorii geometrici si operatiile care pot fi efectuate asupra lor, cum ar fi adunarea vectoriala, inmultirea cu scalari, cu unele constrangeri naturale cum ar fi inchiderile acestor operatii, asociativitatea lor, combinatiile de operatii, si asa mai departe, ajungem la descrierea unei structuri matematice pe care o numim spatiu vectorial.

'Vectorii' pot sa nu fie chiar vectori geometrici, ci pot fi orice obiect matematic care satisface urmatoarele axiome ale spatiilor vectoriale. De exemplu, polinoamele de grad n cu coeficienti reali formeaza un spatiu vectorial. Fiind astfel abstracte, spatiile vectoriale sunt foarte utile in multe arii ale matematicii moderne.

[modifica] Definitie formala

O multime V (multimea vectorilor), impreuna cu o multime K (corpul de scalari), o operatie notata '+' (adunarea vectorilor) si cu doua operatii '' (inmultirea cu scalari a vectorilor si inmultirea scalarilor intre ei), este spatiu vectorial daca indeplineste urmatoarele conditii:

(V,+) este grup comutativ

(K,+,) este corp comutativ

inmultirea cu scalari are urmatoarele proprietati:

o           oricare ar fi a,b ∈ K si x ∈ V, avem: (ab)x =a(bx) (asociativitatea)

o           oricare ar fi x ∈ V,avem 1x = x, unde 1 este elementul neutru la inmultire din K.

o           oricare ar fi a ∈ K si x,y ∈ V , avem a(x + y) = ax + ay (distributivitatea 1)

o           oricare ar fi a,b ∈ K si x ∈ V, avem (a + b)x = ax + bx. (distributivitatea 2)

Se zice spatiu vectorial peste corpul K si se noteaza _KV

Daca pe un spatiu vectorial se introduce o "masura a lungimii" vectorilor, numita norma, rezulta un spatiu vectorial normat. Norma defineste o distanta, orice spatiu normat fiind spatiu metric si in consecinta spatiu topologic. Daca spatiul metric indus de norma este complet, spatiul vectorial este numit Spatiu Banach.

Spatiu vectorial normat

Un spatiu vectorial normat , numit pe scurt spatiu normat este un spatiu vectorial real sau complex X pe care este definita o functie, , numita norma avand urmatoarele proprietati:

este pozitiv definita: daca si numai daca x = 0,

pentru orice vector si pentru orice scalar sau

,

Norma defineste o distanta . Astfel, orice spatiu normat este spatiu metric.

Un spatiu normat in care orice sir Cauchy este convergent se numeste spatiu Banach.

[modifica] Teoreme

Fie _KV un spatiu vectorial, a ∈ K si x ∈ V. Atunci:

ax=0_V daca si numai daca a=0_K.

(-a)x = a(-x) = -ax

a) Compunerea a doua morfisme de spatii vectoriale este un morfism de spatii vectoriale. b) Inversul unui izomorfism de spatii vectoriale este tot un izmorfism intre ele.

Fie f:V -> W o aplicatie liniara.

Daca V' mai mic sau egal decat V, atunci f(V') mai mic sau egal decat W

Daca W' mai mic sau egal decat W, atunci f^-1(W') mai mic sau egal decat V.

Exemple:

, notatie similara cu , formeaza un spatiu vectorial. Cea mai importanta (si mai cunoscuta baza) a acestuia este . Aceasta este baza canonica. Continand un singur vector (care este si nenul), el este liniar independent, deoarece , a.i. , este adevarata, fiind definitia sistemului de vectori liniar independeti, iar vectorul este generator deoarece , el se poate scrie ca o combinatie liniara de forma , iar ;

, spatiul vectorial real bidimensional. Orice vector este de forma . Printr-un calcul destul de simplu, se observa ca in acest spatiu vectorial, o baza are exact 2 vectori. Baza canonica este . O alta baza ar putea fi ;

, spatiul vectorial real generalizat pentru orice dimensiune. Un vector v are n componente, , iar orice baza are si ea, n vectori. Baza canonica este: ;

, spatiul vectorial complex unidimensional, peste multimea numerelor complexe. Orice baza are o componenta nenula, deoarece este nevoie de un singur numar complex pentru a genera un alt numar complex (care este defapt vectorul), printr-o combinatie liniara;

, spatiul vectorial complex unidimensional, peste multimea numerelor reale. Aici este nevoie de 2 numere reale pentru a genera un vector, deoarece orice numar complex este de forma . Ca baza, putem avea ;

spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali. Baza avem , acesta fiind un spatiu infinit dimensional, baza va contine o infinitate de vectori.

Dimensiune si baza intr-un spatiu vectorial

Definitia. Spunem ca spatiul vectorial (V, K) are dimensiunea n daca exista in V n

vectori liniari independenti si oricare ar fi n+1 vectori din V, acestia sunt liniar dependenti.

Observatia : Dimensiunea unui spatiu este egala cu numarul maximal de vectori liniari

independenti din acel spatiu.

Definitia Intr-un spatiu vectorial de dimensiune n, (V,K), un sistem de n vectori liniari

independenti se numeste baza a lui V.

Observatia : Un sistem maximal de vectori liniar independenti int-un spatiu vectorial

constituie o baza in spatiul vectorial respentiv, iar dimensiunea bazei si dimensiunea spatiului coincid.

Teorema. Orice spatiu vectorial are baza.

Demonstratie. Demonstratia acestei teoreme foloseste rezultate din teoria multimilor si a

relatiilor definite pe o multime. Fara a intra in amanunte prezentam schita acestei demonstratii :

Fie (V,K) spatiu vectorial. Consideram:

P (V)= - multimea tuturor submultimilor liniar independente din V.

P (V) impreuna cu relatia obijnuita de incluziune a multimilor '', devine o multime inductiv ordonata. Atunci conform lemei lui Zorn exista elemente maximale in P (V), deci exista baze in V.

Observatia. Un spatiu vectorial poate avea mai multe baze, dar toate au aceeasi

dimensiune (numar de elemente).

Definitia. Daca numarul de vectori liniari independenti dintr- un spatiu vectorial este nemarginit atunci spunem ca spatiul respentiv este infinit dimensional.

Definitia : Spunem ca un sistem de vectori SV este sistem de generatori pentru V,

daca orice vector xV se scrie ca o combinatie liniara a vectorilor din S.

Propozitie : Intr-un spatiu vectorial, orice sistem de vectori liniari independenti poate fi

completat pana la o baza a spatiului.