PUTERI SI RADICALI

PUTERI SI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

       aⁿ unde aI|R, nI|N;

       a⁰=1;

       a¹=a;

       aⁿ = ;

       a - baza puterii;

       n - exponentul puterii;

       (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, 'a,bI|R, nI|N^*;

       (a^m)ⁿ=a^mn, 'aI|R, m,nI|N^*;

       a^maⁿ=a^m+n, 'aI|R, m,nI|N^*;

       , b0, 'a,bI|R, nI|N^*;

       , 'aI|R^*, m,nI|N^*, m>n.

Puteri cu exponent intreg negativ:

       a^-n= unde aI|R^*, nI|N;

       restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

       , a≥0, Iℚ₊;

       , a≥0, ,Iℚ₊;

       , a,b≥0, Iℚ₊;

       , a≥0, b>0, Iℚ₊;

       , a≥0, , Iℚ₊;

       , a>0, ,Iℚ₊, >.

Puteri cu exponent rational negativ:

       , a>0, Iℚ₊;

       restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:

       f(x)=xⁿ, f:|R|R, nI|N^*;

       monotonia: ;

       paritate: ;

       semn: .

Functia putere cu exponent intreg negativ:

       f(x)=x^-n, f:|R-|R, nI|N^*;

       monotonia: ;

       paritate: ;

       semn: .

Functia putere cu exponent rational:

       f(x)==, f:(0, ) →(0, ), Iℚ^*;

       daca >0 ⇒ f strict crescatoare;

       daca <0 ⇒ f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

       ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n2, aI|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;

       daca a>0, nI|N, n2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;

       notatie x=;

       notatie =;

       =0;

       ;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:

       ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n2, n impar, aI|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;

       daca a<0, nI|N, n2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

       notatie x==;

Proprietatile radicalilor: ' m, n, kIℕ^*, m, n, k≥2

       P1) , 'a,b≥0;

       P2) , ' a≥0, b>0;

       P3) , ' a≥0;

       P4) ()^m =,' a≥0;

       P5) =,' a≥0;

       P6) ,' a≥0.

Operatii cu radicali:

1.       scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical in factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;

2.       introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;

3.       inmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

       , a₁, a₂, ., a_k≥0;

       , a, b≥0;

4.       impartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

       , ' a≥0, b>0;

       , ' a≥0, b>0;

5.       rationalizarea numitorilor:

       operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;

       expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin inmultire dau o expresie fara radicali;

-   , a, b≥0;

-   , a, b≥0;

-   , a, b≥0;

-   , a, b≥0, n impar;

Functia radical:

       f(x)= , f:[0, )[0, ), nI|N, n2;

       monotonia: f strict crescatoare pe [0, );

       f(x)0 'xI[0, );

       functia este bijectiva;

       inversa ei este functia putere.

       f(x)= , f:|R|R, nI|N, n2, n impar;

Ecuatii irationale:

       ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;

       rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate;

       conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie in functie de x;