Breviar teoretic, exemple si teste de MATEMATICA Clasa a VII-a

Un numar rational este numarul care poate fi scris sub forma unei fractii ordinare.

Exemple de numere rationale:

; ; ; ; .

Orice numar rational poate fi reprezentat pe axa numerelor:

Orice numar rational are un opus al sau.

Numere rationale sunt de doua feluri: pozitive si negative.

Suma a doua numere opuse este nula.

Opusul lui a este a

a + ( a

Exemple: opusul lui 7 este ; opusul lui este 5;

Valoarea absoluta (modulul) a unui numar rational este distanta dintre punctul ce reprezinta numarul pe axa numerelor si originea axei, O

Am aratat la 1.1 ca orice numar natural sau intreg poate fi scris sub forma unei fractii ordinare. De aceea numerele naturale sunt incluse in multimea numerelor intregi care la randul lor sunt incluse in multimea numerelor rationale.

;

T N Z Q.

A compara doua numere inseamna a arata care numar este mai mare decat celalalt.

Pentru a compara doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare, se procedeaza astfel:

Se aduc fractiile la acelasi numitor, iar fractia va fi mai mare cea cu numaratorul mai mare.

Se aduc fractiile la acelasi numarator, iar fractia va fi mai mare cea cu numitorul mai mic.

Pentru a compara doua fractii zecimale cu partile intregi egale, se adauga un numar de zecimale fara a modifica valoarea numarului si se compara partile fractionare.

Pentru a compara doua numere negative se compara valorile va fi mai mare numarul care are valoarea absoluta mai mica.

Exemple:

;

;

;

Intr-un exercitiu de calcul aritmetic ce contine mai multe operatii cu numere rationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile, la fel, in ordinea in care sunt scrise.

In exercitiile de calcul aritmetic care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) si apoi cele din accolade.

Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau o suma/diferenta de numere rationale se afla simbolul ,, ", atunci se poate elimina semnul si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnul schimbat.

Exemplu:

.

Etapele de rezolvare a unei probleme:

1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x.

3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.

4) Rezolvarea ecuatiei.

5) Verificarea solutiei.

6) Formularea concluziei.

Exemplu:

Intr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mai mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A.

Rezolvare:

1) Notam masura unghiului A cu x.

2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2x.

La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75% din 2x, adica este egala cu 1,5x .

3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 180⁰, atunci obtinem ecuatia:

x + 2x + 1,5x = 180⁰

In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 40⁰.

5) Verificam solutia: 40⁰ + 80⁰ + 60⁰ = 180⁰.

a           Raportul a doua numere a si b, b 0 este

a           Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie:

; ;

a           Proprietatea fundamentala a unei proportii: (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor).

a           Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:

Exemplu:

teme din programa veche.

Derivarea proportiilor cu aceeasi termeni:

Derivarea proportiilor cu alti termeni:

Fie un sir de rapoarte egale:

Avem proprietatea:

Sau: , unde:

Exemplu:

Fie si . Sa se afle numerele a, b si c.

Rezolvare: .

De unde:

Multimea A= este in directa proportionalitate cu multimea B= daca: .

Exemplu: Impartiti numarul 100 in trei parti direct proportionale cu numerele 3, 7 si 10.

Rezolvare:

T

Multimea A= este in inversa proportionalitate cu multimea B= daca:

sau

Exemplu: Impartiti numarul 121 in trei parti direct proportionale cu numerele 3, 7 si 10.

Rezolvare:    .

T

Exemplu:

Daca 5 paini costa 7,50 lei atunci cat vor costa 12 paini?

Rezolvare:

Exemplu:

Daca 15 muncitori efectueaza o lucrare in 8 zile, 12 muncitori in cate zile ar termina aceeasi lucrare?

Rezolvare:

Formula generala: p% din a = b sau

Aflarea unui procent dintr-un numar dat:

Exemplu:

Aflarea unui numar cand se cunoaste un procent din el:

Daca

Exemplu:

Aflarea raportului procentual:

Daca

Exemplu:

Formula de inlocuire a doua modificari procentuale:

unde:

Exemplu:

Pretul unui produs prima data se majoreaza cu 40% si apoi se reduce cu 30% din noul pret.

Sa se afle cu cat % s-a modificat pretul de la cel initial la cel final ?

Raspuns: pretul a scazut cu 2% (semnul minus ne arata ca pretul a scazut).

4p

a)

Daca a = 16 si b = 18, atunci valoarea raportului este egala cu ...

4p

b)

Daca , atunci este egal cu ..

4p

c)

Daca , atunci este egal cu ...

4p

a)

25% din 45 este egal cu ..

4p

b)

din 45 este egal cu ...

4p

c)

Daca un caiet costa 2,5 lei, atunci 6 caiete vor costa ..lei.

4p

a)

Daca avem , atunci x este egal cu ..

4p

b)

Daca 30% din x este egal cu 21, atunci x este egal cu ..

6p

c)

Daca si , atunci a = ...

4p

a)

Un sfert din 300 este egal cu ....

4p

b)

O jumatate din 50 este egal cu ...

4p

c)

Trei optimi din 64 este egal cu ...

5p

a)

Daca atunci ...

5p

b)

20% din 30% din 40% din din 500 kg este egal cu ..kg.

5p

a)

Numerele a, b, c sunt direct proportionale cu 2, 3 si 4. Numerele c, d, e sunt invers proportionale cu 2, 3 si 4.

Demonstrati ca a = e.

5p

b)

Daca , aflati valoarea numarului a.

5p

c)

Cat la suta din b reprezinta numarul e ?

Un calator parcurge un traseu in trei zile astfel: in prima zi parcurge 40% din traseu, in a doua zi parcurge 50% din cea mai ramas iar in ultima zi ultimii 18 km.

5p

a)

Aflati lungimea totala a traseului.

5p

b)

Cat a parcurs a doua zi?

5p

c)

Cat la suta din lungimea traseului a parcurs calatorul in primele doua zile?

4p

a)

Rezultatul calculului este egal cu ...

4p

b)

Rezultatul calculului este egal cu ...

4p

c)

Rezultatul calculului    este egal cu ...

4p

a)

Dintre numerele si este mai mare numarul .

4p

b)

Opusul numarului este egal cu .

4p

c)

este egal cu .

4p

a)

4p

b)

4p

c)

6p

a)

Solutia ecuatiei este x = ..

4p

b)

Solutia ecuatiei este x = ..

4p

c)

Solutiile ecuatiei sunt ..

Fie numerele si

5p

a)

Calculati .

5p

b)

Calculati . Ce constatati?

5p

a)

Aflati a 2008-a zecimala a numarului 2,6(342).

5p

b)

Aratati ca .

5p

c)

Calculati suma .

Dupa o crestere cu 10% pretul unui obiect devine 165 de lei.

5p

a)

Aflati pretul inainte de scumpire.

5p

b)

Cu cat la suta trebuie sa se reduca pretul de 165 de lei astfel incat sa devina din nou la pretul initial?

5p

c)

Daca pretul initial era de 150 de lei, cu cat la suta se reduce astfel incat sa devina 105 lei?

Sa calculam radacina patrata a lui 55225.

Despartim numarul in grupe de cate doua cifre, de la dreapta spre stanga

Ne intrebam: care este cel mai mare numar al carui patrat este mai mic sau egal cu 5.

Acesta este 2; il scriem in dreapta sus;

Il ridicam la patrat, obtinem 4 si-l trecem sub 5, aflam restul scaderii 1.

Coboram grupul de urmatoarele 2 cifre langa rest.

Dublam pe 2 si rezultatul 4 il trecem sub 2.

Ne gandim care cifra punem alaturi de 4 si rezultatul il inmultim cu cifra aleasa astfel incat numarul dat sa se cuprinda in 152.

Ne gandim care cifra punem alaturi de 4 si rezultatul il inmultim cu cifra aleasa astfel incat numarul dat sa se cuprinda in 152.

Rezultatul fiind 129, il trecem sub 152 si aflam restul scaderii.

Cifra 3 o trecem la rezultat, alaturi de 2.

Coboram urmatoare grupa de cifre, pe 25, langa restul 23.

Coboram dublul lui 23, care este 46.

Ne gandim care cifra punem alturi de 46, numarul format Il inmultim cu acea cifra iar rezultatul sa fie mai mic sau egal cu 2325.

Acesta poate fi 5 si facem calculele.

Trecem rezultatul 2325 sub numarul 2325 si efectuam scaderea.

Restul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alaturi de 23.

Asadar, radical din 55225

este egal cu 235.

Multimea numerelor naturale N =

Multimea numerelor intregi Z =

Multimea numerelor rationale

Multimea numerelor irationale. Numerele irationale sunt numere care in exprimarea zecimala au partea zecimala infinita si neperiodica.

Valoarea absoluta (modulul) a unui numar real este distanta dintre punctul ce reprezinta numarul pe axa numerelor si originea axei, O.

APentru a compara doua numere rationale se va proceda ca la

APentru a compara doua numere irationale se procedeaza astfel:

a)      se introduc factorii sub radicali si se compara numerele;

b)      se ridica la patrat numerele date si se compara patratele acestora.

Exemple:

a)

b) T T

Faptul ca multimea numerelor reale este compusa din multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale, ramane doar sa aratam cum se reprezinta pe axa un numar irrational.

Exemplu:

Sa se reprezinte pe axa numerelor numarul

; T .

1) ;

2) ;

3) Introducerea factorilor sub radical: ;

4) Scoaterea factorilor de sub radical: ;

5) Rationalizarea numitorilor: .

Exemple: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Intr-un exercitiu de calcul aritmetic ce contine mai multe operatii cu numere reale se efectueaza mai intai ridicarile la puteresi scoaterea factorilor de sub radicali, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile, la fel, in ordinea in care sunt scrise.

In exercitiile de calcul aritmetic care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) si apoi cele din accolade.

Daca in fata unei paranteze ce contine un numar real sau o suma/diferenta de numere reale se afla simbolul ,, ", atunci se poate elimina semnul si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnul schimbat.

Exemplu:

1.

Media geometrica (proportionala) se calculeaza cu:

Exemplu:

Daca ;

4p

a)

Rezultatul calculului este egal cu .

4p

b)

Rezultatul calculului este egal cu .

4p

c)

Rezultatul calculului este egal cu .

4p

a)

este egal cu .

4p

b)

4p

c)

Rationalizand numitorul fractiei se obtine fractia ..

4p

a)

Dintre numerele si mai mare este numarul .

4p

b)

este egal cu ..

4p

c)

Cel mai mare numar natural dar mai mic decat este egal cu ..

4p

a)

Dupa introducerea factorului sub radical, , se obtine numarul .

4p

b)

Dupa scoaterea factorului de sub radical, , se obtine numarul ..

6p

c)

Media geometrica a numerelor si este egala cu .

5p

a)

Calculati:

7p

b)

Sa se arate ca , unde

.

5p

a)

Sa se rezolve ecuatia 1518x = 37 + 38 + 39 + . + 128.

7p

b)

Sa se arate ca numarul este divizibil cu 42.

6p

c)

Sa se calculeze suma .

La extemporalul de matematica elevii au avut de rezolvat doua probleme. Stiind ca 80% au rezolvat prima problema, 60% au rezolvat cea de-a doua probleme si 8 elevi au rezolvat ambele probleme, sa se calculeze:

5p

a)

Numarul elevilor din clasa.

5p

b)

Cati elevi au rezolvat prima problema.

Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezinta un numar, iar, l, partea literala a termenului, este formata din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diversi exponenti, ii numim termeni asemenea daca partile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numeste reducerea termenilor asemenea.

Exemple:

Perechi de termeni asemenea: ; .

Adunarea: .

Inmultirea: .

Impartirea: .

Ridicarea la o putere: .

Formule utilizate:

Produsul dintre un numar si o suma/diferenta:

Patratul unui binom:

*Patratul unui trinom:

Produsul sumei cu diferenta:

Produsul a doua paranteze:

Exemple:

1)

2)

3)

4)

5)

Formule utilizate:

Scoaterea factorului comun:

Restrangerea patratului unui binom:

Diferenta de patrate:

Descompunerea unui trinom de forma: ; daca

atunci: .

Exemple:

;

;

;

.

De retinut:

Doua numere reale opuse au acelasi patrat.

Rezolvarea unei ecuatii de forma x² = a,

unde aIQ₊:

ADaca x² = a, atunci avem:

Exemplu:

1)

2)

4p

a)

Rezultatul calculului este .

4p

b)

Rezultatul calculului este .

4p

c)

Rezultatul calculului este .

4p

a)

este egal cu .

4p

b)

este egal cu .

4p

c)

este egal cu .

4p

a)

Forma descompusa a este ...

4p

b)

Forma descompusa a este ...

4p

c)

Forma descompusa a este ...

4p

a)

Solutiile ecuatiei sunt ..si..

6p

b)

Solutiile reale ale ecuatiei sunt .

4p

c)

Valoarea expresiei pentru este egala cu .

Sa se calculeze:

5p

a)

5p

b)

6p

a)

Sa se calculeze: .

5p

b)

Sa se calculeze media aritmetica a numerelor si .

7p

c)

Sa se calculeze media geometrica a numerelor si .

Fie expresia .

5p

a)

Aflati valoarea lui E pentru x = 4 si y = 3.

7p

b)

Aflati valoarea lui E pentru

1. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca a = b si c = d atunci a + c = b + d;
2. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca a = b si c = d atunci a - c = b - d;
3. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca a = b si c = d atunci a c = b d;
4. Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d,

c 0, d daca a = b si c = d

atunci a : c = b : d.

Exemplu

Folosind proprietatile egalitatilor, afla x precizand de fiecare data ce proprietate s-a folosit:

A proprietatea 3.

A proprietatea 1.

A proprietatea 4.

Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere reale.

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul" de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

Intr-o ecuatie avem ,,dreptul" de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.

Exemplu:

T

T

T.

Doua ecuatii care au acelasi domeniu de variatie si aceeasi multime de solutii se numesc ecuatii echivalente.

Exemplu:

Ecuatiile sunt echivalente relative la R, deoarece au acelasi domeniu de variatie, R si aceeasi multime de solutii .

Forma generala a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute:

Metode algebrice de rezolvare:

Metoda substitutiei:

Se afla dintr-o ecuatie o necunoscuta in functie de cealalta necunoscuta;

Se introduce valoarea acestei necunoscute in cealalta ecuatie si se rezolva ecuatia;

Se afla cealalta necunoscuta.

Metoda reducerii:

Se alege o necunoscuta cu scopul de a fi ,,redusa" si se identifica coeficientii sai;

Se afla c.m.m.m.c. al coeficientilor si se inmultesc ecuatiile astfel incat sa se obtina coeficientii necunoscutei numere opuse;

Se aduna ecuatiile si se obtine o ecuatie cu o singura necunoscuta, dupa care se rezolva;

La fel se procedeaza cu cealalta necunoscuta.

Exemple:

Metoda substitutiei:

din T;

Introducem pe in

T T TT

Introducem pe in T T .

Metoda reducerii: T

T ;

T

T

T    

Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca

a b si c = d atunci a + c b + d;

Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca

a b si c = d atunci a c b d;

Oricare ar fi numerele reale a, b, c, d, daca

a b si c = d si pozitive, atunci a c b d

si a :c b :d daca c si d sunt diferite de zero.

Oricare ar fi numerele reale a si b, daca a b si k < 0, atunci: a k b k sau a : k b : k.

Exemplu:

Folosind proprietatile inegalitatilor, afla x precizand de fiecare data ce proprietate s-a folosit:

A proprietatea 3.

A proprietatea 1.

A proprietatea 4.

Propozitia cu o variabila de forma ax + b > 0 se numeste inecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere reale.

Intr-o inecuatie avem ,,dreptul" de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

Intr-o inecuatie avem ,,dreptul" de inmulti/imparti inegalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei. Daca o inecuatie se va inmulti/imparti cu un numar negativ atunci sensul inegalitatii se schimba.

Exemplu:

T

T

T

Etapele de rezolvare a unei probleme:

Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de aceasta (acestea).

Alcatuirea unei ecuatii (sistem de ecuatii) cu necunoscuta (necunoscutele) aleasa (alese), folosind datele problemei.

Rezolvarea ecuatiei (sistemului de ecuatii).

Verificarea solutiei.

Formularea concluziei problemei.

Exemplu:

Suma a trei numere este egala cu 43. Stiind ca numarul cel mai mare este dublul celui mijlociu si numarul cel mai mic este cu 17 mai mic decat cel mai mare, aflati cele trei umere.

Rezolvare:

Stiind ca suma este egala cu 43, trebuie sa exprimam valorile a doua numere in functie de valoarea celui de-al treilea numar;

Fie x numarul mjlociu. Din datele problemei rezulta ca 2x este cel mai mare numar iar 2x 17 este cel mai mic numar.

Obtinem ecuatia:

pe care o rezolvam:

Deci 12 este numarul mijlociu, 2 12 = 24 este numarul cel mare si 24 17 = 7 este numarul mic.

Verificam: 7 + 12 + 24 = 43.

4p

a)

Solutia ecuatiei este

4p

b)

Solutia ecuatiei este

4p

c)

Solutia ecuatiei este pentru

4p

a)

Solutia sistemului este

4p

b)

Solutiile naturale ale inecuatiei sunt

4p

c)

Stabiliti valoarea de adevar a propozitiei: Ecuatiile si sunt echivalente.

4p

a)

Solutia sistemului este

4p

b)

Fie . Daca atunci

4p

c)

Solutia ecuatiei este

6p

a)

Fie ecuatia .

Radacina negativa a ecuatiei este ..

4p

b)

Suma radacinilor ecuatiei date este egala cu ..

4p

c)

Produsul radacinilor ecuatiei date este egal cu ..

10p

Rezolvati sistemul de ecuatii:

6p

a)

Aratati ca ecuatia: nu are solutii.

7p

b)

Sa se rezolve ecuatia .

5p

c)

Daca impartim numarul 18 la x si adunam la rezultat pe 16 obtinem numarul 19. Sa se determine numarul x.

Un croitor pentru confectionarea unei bluze consuma 2m de stofa iar pentru o rochie consuma 3m de stofa.

5p

a)

Daca in total a consumat 30m de stofa si a confectionat 11 de articole, sa se afle cate bluze si cate rochii a confectionat croitorul.

7p

b)

Sa se afle numarul posibil de rochii si bluze ce pot fi confectionate din 40m de stofa.

Exemplu:

A=, B=

Exemplu:

Reprezentam cele doua puncte intr-un sistem de axe perpendiculare (sistem ortogonal de doua axe);

Ducem din A o perpendiculara ape Ox si din B pe Oy pana se intersecteaza in C;

Aflam distanta de la A la C si de la B la C;

Aplicam teorema lui Pitagora in DABC si aflam lungimea lui AB.

Sau daca puteti sa retineti formula:

Patrulaterul convex este patrulaterul in care punctual de intersectie al celor doua diagonale se afla in interiorul acestuia (mai sunt si alte definitii).

Are 4 laturi (AB, BC, CD, AD);

Are doua diagonale (AC, BD);

Are 4 varfuri (A, B, C, D);

Suma masurilor unghiurilor intr-un patrulater convex este egala cu 360⁰.

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele doua cate doua.

Proprietati:

Laturile opuse sunt congruente doua cate doua. [AB]s[CD]; [BC]s[AD] .

Unghiurile opuse sunt congruente, <As<C si <Bs<D;

Unghiurile alaturate sunt suplementare, m(<A)+m(<B)=180⁰ si m(<B)+m(<C)=180⁰;

4. Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza injumatatindu-se, [OA]s[OC]; [OB]s[OD] .

Dreptunghiul = este paralelogramul cu un unghi drept.

Alte proprietati:

Toate unghiurile sunt congruente si de 90⁰.

Diagonalele sunt congruente.

Patratul = este paralelogramul cu toate laturile congruente si unghiurile de 90⁰.

Alte proprietati:

Toate laturile sunt congruente;

Toate unghiurile sunt congruente si de 90⁰;

Diagonalele sunt congruente;

Diagonalele se intersecteaza perpendicular un ape cealalta;

Diagonalele sunt si bisectoarele unghiurilor.

Rombul

Alte proprietati:

Toate laturile sunt congruente;

Diagonalele sunt perpendiculare;

Diagonalele sunt si bisectoarele unghiurilor.

Definitie. Trapezul este patrulaterul care are doua laturi opuse paralele.

In orice trapez, unghiurile alaturate unei laturi neparalele sunt suplementare.

Trapez oarecare

Trapez dreptunghic

Trapez isoscel

TRAPEZ ISOSCEL

ATrapezul isoscel este trapezul care are laturile neparalele congruente; AD=BC.

AUnghiurile de la baza sunt congruente;<As<B si <Cs<D

ADiagonalele sunt congruente; BD=AC.

ARIA UNUI TRIUNGHI

unde

Este de folos a se retine:

, unde:

Cazuri particulare:

a) triunghi dreptunghic:

b) triunghi echilateral:

ARIA UNUI PARALELOGRAM

Aria unui dreptunghi

ARIA UNUI PATRAT

ARIA UNUI ROMB

ARIA UNUI TRAPEZ

4p

a)

Paralelogramul cu un unghi drept se numeste ...

4p

b)

Intr-un romb diagonalele sunt ... unghiurilor.

4p

c)

Intr-un dreptunghi diagonalele sunt ... Intre ele.

4p

a)

Perimetrul unui patrat cu latura de 3cm este egal cu .. cm.

4p

b)

Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 12cm si latimea de 5cm este egal cu .. cm.

4p

c)

La un romb unghiul dintre diagonale este egal cu ... ⁰.

4p

a)

Suma masurilor unghiurilor intr-un patrulater convex este egala cu . ⁰.

4p

b)

Fie ABCD un paralelogram. Suma masurilor unghiurilor DAB si ABC este egala cu . ⁰.

4p

c)

Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt ....

4p

a)

Aria unui patrat cu latura de 5cm este egala cu ...cm².

4p

b)

Aria unui romb cu diagonalele de 6 si 10cm este egala cu ...cm².

6p

c)

Aria unui trapez cu linia mijlocie de 10cm si inaltimea de 6cm este egala cu ...cm².

Fie paralelogramul ABCD, astfel incat mediatoarea d a laturii [BC] intersecteaza pe [AB] in mijlocul sau N si pe [BC] in M.

5p

a)

Demonstrati ca AC si BC sunt perpendiculare.

5p

b)

Fie = d BD. Demonstrati ca PO = PB unde = AC BD.

5p

c)

Daca AC = 16cm si BC = 12cm aflati aria lui ABCD si aria triunghiului BMN.

5p

a)

In figura alaturata aveti triunghiul ABC cu BC = 12cm,

AC = 16cm, AD BC, BE AC, AD = 12cm.

Aflati aria triunghiului ABC.

5p

b)

Aflati lungimea lui BE.

In trapezul ABCD, AB = 20cm-baza mare, CD = 12cm-baza mica si inaltimea de 6cm.

5p

a)

Calculati aria trapezului.

5p

b)

Aflati lungimea liniei mijlocii si a segmentului de pe linia mijlocie cuprins intre diagonale.

5p

c)

Daca dimensiunile trapezului se dubleaza, sa se calculeze aria trapezului.

Patru segmente sunt proportionale daca cu lungimile lor se poate forma o proportie.

T

Cum impartim un segment dat in mai multe parti proportionale cu numere date?

De exemplu, impartiti un segment AB=42 cm in 3 parti proportionale cu numerele 3, 4 si 7.

Rezolvare:

T

T

Teorema. O paralela dusa la o latura intr-un triunghi determina pe celelalte doua (sau pe prelungirile lor) segmente proportionale

Aplicatie. Daca AB=6, AC=9, AM=2 sa se afle lungimea lui NC.

TT

TTT

Segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi se numeste linie mijlocie (vezi pe figura, MN = linie mijlocie, M si N mijloacele laturilor AB si AC)

Daca si P este mijlocul laturii BC, atunci cele trei linii mijlocii determina 4 triunghiuri congruente intre ele, fiecare cu un sfert din aria DABC si jumatate din perimetrul DABC.

Segmentul de dreapta ce uneste varful unui unghi cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana

Punctul de intersectie al celor trei mediane se numeste centrul de greutate al triunghiului.

Proprietati:

Intr-un triunghi mediana il imparte in doua triunghiuri echivalente (de arii egale).

Segmentul de dreapta care uneste mijloacele laturilor neparalele se numeste linie mijlocie.

A si

A

Doua triunghiuri se numesc asemenea daca au toate unghiurile respective congruente si laturile omoloage respective proportionale

A <As<M; <Bs<N; <Cs<P;

A

Criteriul de asemanare LUL

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au cate doua laturi respectiv proportionale si unghiurile cuprinse intre ele congruente.

Criteriul de asemanare LLL

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au toate laturile respectiv proportionale.

Criteriul de asemanare UU

Doua triunghiuri sunt asemenea daca au cate doua unghiuri respectiv congruente.

<Bs<N

<Bs<N; <Cs<P

Teorema. O paralela dusa la o latura intr-un triunghi formeaza cu celelalte doua (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

A

4p

a)

Fie punctele coliniare A, B si C. AB = 12cm si .

Lungimea lui BC este egala cu .. cm.

4p

b)

Lungimea lui AC este egala cu ..cm.

4p

c)

Valoarea raportului este egal cu .

4p

a)

In triunghiul ABC, CU AB= 10cm, BC = 12cm, AC = 14cm, M este mijlocul lui [AB], N este mijlocul lui [BC], P este mijlocul lui [AC].

Perimetrul triunghiului ABC este egal cu ..cm.

4p

b)

Lungimea lui MN este egala cu ..cm.

4p

c)

Perimetrul triunghiului MNP este egal cu ..cm.

4p

a)

In figura alaturata aveti MN paralela cu BC. AM = 6cm,

AB = 10cm, NC = 6cm.

Lungimea lui MB este egala cu ..cm.

4p

b)

Lungimea lui AN este egala cu .cm.

4p

c)

Valoarea raportului este egala cu ..

4p

a)

In figura alaturata DABC DMNP; m(<B)=75⁰, m(<P)=50⁰.

m(<N) este egala cu ..⁰.

4p

b)

m(<C) este egala cu ..⁰.

6p

c)

m(<A) este egala cu ..⁰.

7p

a)

In figura alaturata aveti un paralelogram cu dimensiunile din figura. DE AB, AE = din AB, DE BC=.

Aflati perimetrul triunghiului BEF.

7p

b)

Aflati valoarea raportului ariilor triunghiului ADE si a triunghiului BEF.

7p

c)

Aflati valoarea raportului ariilor triunghiului ADE si a triunghiului FDC.

In figura alaturata ABCD este un trapez, AD BC=; AB = 9cm, CD = 5cm, AD = 3cm.

6p

a)

Aflati lungimea lui MD.

6p

b)

Aflati valoarea raportului .

7p

c)

Daca BC = 5cm aflati perimetrul triunghiului AB.

Daca A a si AA' A, A'Ia, atunci putem spune ca proiectia ortogonala a punctului A pe dreapta a este punctul A'.

Daca punctele B' si C' sunt proiectiile ortogonale ale punctelor B si C pe dreapta a atunci [B'C'] este proiectia ortogonala a segmentului [BC] pe dreapta a.

Daca DABC este dreptunghic in A si AD BC, atunci:

AD² = BD DC

Exemplu:

daca BD= 12cm si CD = 18cm atunci: AD² = 12

Daca DABC este dreptunghic in A si AD BC, atunci:

AB² = BD BC

AC² = DC BC

Exemplu:

Daca AB = 6cm si BD= 3cm atunci:

AB² = BD BC T 36 = 3 BC

T

Daca DABC este dreptunghic in A atunci:

AB² + AC² = BC²

Exemplul 1. Daca AB =6cm si AC = 8cm, atunci:

BC² = 36 = 64 = 100 T

Exemplul 2. Daca BC = 13cm si AC = 12cm, atunci:

AB² = BC² - AC²

T

Exemplul 3. Daca un triunghi ABC are laturile: AB = 8cm, AC = 15cm si BC = 17cm, putem verifica:

17² = 15² + 8² este adevarat? T 289 = 225 + 64; da, este edevarat.

Atunci conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza BC si unghiul drept in A.

A rezolva un triunghi dreptunghic inseamna a calcula unele elemente (latura, proiectii, unghiuri sau functii trigonometrice ale acestora) in functie de unele elemente date intr-un triunghi dreptunghic sau oarecare sau intr-o configuratie geometrica in care se pot identifica triunghiuri dreptunghice.

Exemplu:

Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 45⁰, masura unghiului C de 30⁰ si AB = Se cere perimetrul triunghiului ABC si sinusul unghiului A.

Rezolvare:

-construim AD BC si rezulta DABD dreptunghic isoscel; daca AB = atunci

-In DADC, dreptunghic, cu un unghi de 30⁰, rezulta:

si

T

-Perimetrul

Din teorema sinusului, rezulta: TT

5p

a)

Diagonala unui patrat de latura 4 cm este egala cu ..cm.

5p

b)

Diagonala unui dreptunghi de lungime 8cm si latime 6cm este egala cu ..cm.

5p

c)

Inaltimea unui triunghi ecilateral de latura 2cm este egala cu ..cm.

5p

a)

Un triunghi dreptunghic are catetele de 15cm si respectiv 20cm.

Lungimea ipotenuzei este egala cu .cm.

5p

b)

Lungimea inaltimii este egala cu ..cm.

5p

c)

Lungimea proiectiei catetei de 20cm pe ipotenuza este egala cu ..cm.

5p

a)

5p

b)

5p

c)

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A.

10p

a)

Daca AB = x, masura unghiului C este egala cu 30⁰ si aria triunghiului este egala cu sa se afle x.

5p

b)

Daca x = 6 cm sa se afle distanta de la varful B la mijlocul lui [AC].

10p

c)

Sa se afle aria unui triunghi echilateral cu lungimea laturii egala cu lungimea lui AC.

10p

a)

Intr-un triunghi ABC isoscel cu AB = AC = si

BC = 16 cm, se inscrie un patrat.

Aflati latura patratului.

10p

b)

Sa se afle lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC.

Cercul este locul geometric al tuturor punctelor dintr-un plan egal departate fata de un punct fix numit centrul cercului.

O = centrul cercului;

OC = raza cercului de lungime R;

AB = diametrul cercului;

BD = coarda;

= arc de cerc;

= semicerc.

Unghi cu varful in centrul cercului

m(<AOB) = m()

Unghi cu varful pe cerc

m(<BCA) = m() / 2.

Daca avem doua unghiuri congruente inscrise intr-un cerc, cu varful in centrul cercului, acestea subintind intre laturile lor, doua arce congruente.

Daca arcul AB este congruent cu arcul CD atunci si [AB]s[CD]. Si reciproca este adevarata.

Daca MC ND atunci arcul CD este congruent cu arcul MN.

Daca OR CD atunci P este mijlocul lui [CD] si R este mijlocul arcului CD. O este centrul cercului; =OR CD.

Coarde egal departate de centru sunt congruente.

Daca OP=OQ atunci [CD]s[AB].

1. Dreapta (a) exterioara unui cerc

a C(O,R) =

2. Dreapta (b) tangenta la cerc

b C(O,R) =

3. Dreapta (c) secanta

c C(O,R) =

Fie punctul P exterior cercului;

PA si respectiv PB sunt tangente la cerc;

OA PA; OB PB;

[PA] s [PB];

OP² = OA² + AP²

TRIUNGHIUL ECHILATERAL

; ; ;;

; .

PATRATUL

;;

;;

;.

HEXAGONUL REGULAT

; ; ;;

.

Lungimea cercului

Aria discului (cercului)

Lungimea arcului de cerc AC

Aria sectorului de cerc (OAC)

4p

a)

Un cerc cu raza de 5 cm are diametrul egal cu ...cm.

4p

b)

Lungimea unui cerc de raza egala cu 5 cm este egala cu ...cm.

4p

c)

Aria unui cerc de raza egala cu 5 cm este egala cu ..cm².

4p

a)

Perimetrul unui triunghi echilateral de latura 6 cm este egal cu ...cm.

4p

b)

Perimetrul unui patrat de latura 7 cm este egal cu ...cm.

4p

c)

Perimetrul unui hexagon regulat de latura 8 cm este egal cu ...cm.

4p

a)

Aria unui triunghi echilateral de latura 6 cm este egala cu ..cm².

4p

b)

Aria unui patrat de latura 5 cm este egala cu ..cm².

4p

c)

Aria unui hexagon regulat de latura 4 cm este egala cu ..cm².

6p

a)

Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral de latura este egala cu ..cm.

4p

b)

Raza cercului circumscris unui patrat de latura este egala cu ..cm.

4p

c)

Raza cercului circumscris unui hexagon regulat de latura 8 cm este egala cu ..cm.

Fie triunghiul echilateral ABC. In exteriorul sau construim Triunghiurile echilaterale ABD, ACE si BCF. Daca latura triunghiului ABC este de 6 cm:

6p

a)

Sa se cerceteze natura triunghiului DEF.