1. Notiuni teoretice

Fiind data o multime de perechi de puncte (x_i, y_i); i = 1...n, se pune problema determinarii expresiei unei functii y' = f(x) ale carei valori in punctele x_i sa aproximeze cat mai bine valorile y_i.

Un criteriu pentru aprecierea modului de aproximare este acela de minimizare a sumei patratelor diferentelor dintre valorite y_i initiale si valorile y'_i, calculate cu functia f(x) in punctele x_i:

Daca determinarea expresiei functiei y'=f(x) consta in determinarea valorilor unor coeficienti c_j, j = 1...k, atunci minimizarea sumei S se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuatii obtinute prin egalarea cu zero a derivatelor partiale ale sumei S in raport cu coeficientii c_j:

Daca, de exemplu, functia y' = f(x) are forma unei drepte

atunci suma S se poate scrie

Sistemul (A.2.2) devine

coeficientii c₁, c₂ fiind determinati prin rezolvarea ecuatiei matriciale

Expresiile ecuatiilor matriceale ce trebuiesc rezolvate pentru determinarea coeficientilor c_j, pentru diferite forme ale functiei y' = f(x), sunt prezentate in tabelul A.2.1.

Tabelul A.2.1

Tabelul A.2.1 (continuare)

Tabelul A.2.1 (continuare)

2. Exemplu de calcul

Pentru a determina expresia functiei de repartitie a timpului in care un transportor parcurge distanta dintre doua puncte fixe ale unui sistem de productie, s-au efectuat 50 de cronometrari ale duratei necesare pentru deplasarea transportorului respectiv. Valorile obtinute au fost impartite in 10 clase, frecvetele relative fiind prezentate in tabelul A.2.2.

Tabelul A.2.2

Pentru aproximarea functiei de repartitie a timpului de deplasare se va cauta determinarea unei functii de regresie f_r(t).

S-au calculat expresiile prezentate in tabelul A.2.3.

Tabelul A.2.3

Expresiile obtinute pentru cele 20 de forme de functie si sumele S rezultate pentru fiecare dintre acestea sunt prezentate in tabelul A.2.4.

Dupa cum se poate observa, functia care conduce la valoarea minima a sumei S este cea cu indicele 16:

deci aceasta este functia de regresie optima pentru aproximarea perechilor de puncte (t_i, f_ri), i=1...10. Cu rezultate aproape la fel de precise, ar putea fi utilizate pentru descrierea functiei de repartitie a timpului de deplasare si expresiile (cu indicii 13 si 3):

sau

Tabelul A.2.4

In celulele din tabelul A.2.4 marcate cu '-' valorile nu au putut fi calculate.

Evident, aceasta metoda poate fi folosita si in cazul altor forme de functii de regresie ce se doresc determinate, cu conditia posibilitatii rezolvarii sistemului de ecuatii (A.2.2) corespunzator.