NUMERE COMPLEXE - Probleme propuse

Unitate de invatare: NUMERE COMPLEXE

Probleme propuse:

Sa se determine numerele complexe z, astfel incat:

a) b)

2) Sa se determine numerele complexe z, astfel incat:

si

Sa se reprezinte in planul complex numerele:

a) b)

4) Sa se determine numerele complexe z cu proprietatea .

Fie functia definita prin . Sa se determine:

a) multimea A a punctelor din planul complex care au ca afixe numerele complexe z cu Im f(z) = 0.

b) multimea B a punctelor din planul complex care au ca afixe numerele complexe z cu Re f(z) = 0.

Sa se rezolve in multimea numerelor complexe, ecuatiile:

Daca α si sunt solutiile ecuatiei z² - z + 1 = 0, sa se calculeze

.

Aratati ca numarul este real,

Daca z² + z + 1 =0, sa se afle .

10) Fie z₁ , z₂ є C astfel incat . Sa se arate ca sau

Fie a є R si Determinati valorile lui a pentru care z є R.

Fie a,b є R^* , n є N si . Aratati ca daca , atunci

Sa se rezolve in C ecuatiile:

a) b) c)

14) Sa se arate ca daca , atunci

Fie z = cost + isint, iar n є N^*, atunci:

a)Sa se demonstreze formulele: si

b)Sa se calculeze

INDICATII SI RASPUNSURI

1) a) Rezolvam ecuatia , unde z = x+iy

-2iy = -4i y = 2 si

Deci solutiile sunt z₁ = 2i si z₂ = +2i.

b) Se rezolva in mod analog cu punctul a) si se obtine solutia

2)Fiez = x+iy, atunci

x = 6 si analog utilizand ipoteza vom avea y₁ = 17 si y₂ = 8, adica numerele complexe cautate sunt z₁ = 6 + 17i si z₂ = 6 + 8i.

3) a) Prin calcul direct, folosind i² = -1, avem ca imagine punctul M( 21; -1)

b) Dupa amplificarea fractiei cu 3-2i si calculul direct se obtine ca imagine un punct

4) Pentru z = x+iy, avem 4(x² + 2xyi - y²) + 8x² +8y² -3 = 0 2xy = 0 si

12x² + 4y² = 3. Daca x = 0 , iar daca y = 0 .

Deci numerele complexe cautate sunt:

Functia data devine:

a) Avem Im f(z) = 0 daca y = 0

b) Daca Re f(z) = 0, atunci

a) x² +2xyi - y² =-5-12i xy = - 6 si x² - y² = -5

Deci avem solutiile:

b) Notam z² = t t² + 5t +4 = 0 t₁ = -1 si t₂ = -4, adica solutiile ecuatiei sunt:

c) z( z² + 2z +3) = 0

d) , adica solutiile sunt:

7) Daca α si sunt solutiile ecuatiei z² - z + 1 = 0 si , iar . Astfel

8) Folosim scrierea in forma trigonometrica astfel:

Numarul:

pentru ca ,

Daca     z² + z + 1 =0 z³ = 1 zⁿ = 1, , atunci vom avea:

10) Daca

Presupunem ca si , atunci avem

ceea ce contrazice relatia gasita anterior; deci avem sau .

11) Solutia 1:

z є R b є R, cu z = b , ceea ce conduce la (a-1)b + abi = 1+i

Deoarece a,b є R egalitatea de mai sus are loc (a-1)b = 1 si ab = , de unde gasim a = 2 + .

Solutia 2:

12) Observam ca:

de unde daca se folosesc puterile lui i, avem: .

a) Daca n = 1 . Daca n = 2

Fie n ≥ 3, se observa ca z = 0 este o solutie. Presupunand si trecand la module avem: Atunci , obtinand solutiile:

b) Se scie ecuatia echivalenta : 1 - z + z² - z³ ++(-1)^n-1z^n-1 = 0, iar

rezulta

Daca n este par, avem de dat solutiile ecuatiei zⁿ = 1, adica:

Daca n este impar, avem ecuatia zⁿ = - 1, ce are solutiile:

c)

Notand

. Se obtin solutiile:

14) Folosin ipoteza

.

15) a) Daca z = = cost + isint, atunci:

Prin adunarea acestor doua relatii rezulta , iar prin scaderea lor avem .

Observam, din ipoteza ca , adica

si

b) Fie z = cos20⁰ + isin20⁰, atunci z⁹ = -1 si z¹⁸ = 1. folosind formulele demonstrate la punctul a), pentru n = 1, n = 2, respectiv n = 4. Expresia cautata devine:

Deci = 1.