CALCUL MATRICEAL

CALCUL MATRICEAL

1. DEFINITII SI NOTATII

Reprezentarea matricei reale: ca o multime de m x n numere reale aranjate intr-un tablou dreptunghiular cu m linii si n coloane.

Notatie: Matricile se noteaza cu litere mari A, B, C,. sau A A, iar elementele lor se noteaza cu litere mici dublu indexate unde indicele i arata linia iar indicele j arata coloana pe care se afla elementul (adeseori numit element general sau generator al matricei A).

Pe scurt, se noteaza cu (), [] sau ||||, mentionand multimea de valori pe care le pot lua indicii i si j (de exemplu , ).

A = () ,

Definitia 1. Se spune ca matricea A este:

a)      patrata (patratica), daca m = n;

b)      dreptunghiulara, daca

Definitia 2. Daca matricea A are m linii si n coloane atunci se spune ca aceasta este de ordinul m x n sau ca are dimensiunea m x n

Obs. Multimea matricelor m x n se noteaza de obicei cu:

M

mentionand eventual daca matricile sunt reale M(R) sau complexe M(C).

Definitia 3. Se spune ca A este:

matrice (vector) linie, daca m = 1 si n2;

matrice (vector) coloana, daca m2 si n = 1.

Definitia 4. Spunem ca o matrice este nula sau zero daca toate elementele ei sunt egale cu zero si se noteaza cu 0=(o).

Definitia 5. Spunem ca matricea patratica A este diagonala daca:

adica daca toate elementele ce nu apartin diagonalei principale sunt egale cu zero.

Exemplu:

Definitia 6. Se spune ca A este matrice unitate de ordinul n daca:

Utilizand simbolul lui Kronecker

matricea unitate se poate scrie ca

, ,

Notatii utilizate: E, I sau U (eventual cand se mentioneaza si dimensiunea).

Definitia 7. Se spune ca A este superior triunghiulara daca toate elementele de sub diagonala principala sunt nule si ca este inferior triunghiulara daca toate elementele situate deasupra diagonalei sunt nule.

Exemplu:

,

Definitia 8. Matricea patratica A este:

1) simetrica, daca ,

2) antisimetrica, daca ,

Exemplu:

,

Matricea A este simetrica, iar B este antisimetrica.

2. EGALITATEA MATRICILOR

Definitia 9. Se spune ca matricile si sunt de acelasi tip sau ca au aceeasi dimensiune daca ele au acelasi numar de linii si acelasi numar de coloane.

Definitia 10. Doua matrice de acelasi tip si sunt egale si scriem daca toate elementele lor sunt egale doua cate doua (adica pentru toti i si j).

Exemple:

1. ,

A=B si w = 5

2. ,

A = B , , , , de unde deducem ca si .

Definitia 11. Se spune ca intre matricile si de acelasi tip are loc relatia daca pentru toti i si j.

3. OPERATII CU MATRICE

Adunarea si scaderea a doua matrice

Definitia 12. Fiind date matricile si de acelasi tip se numeste suma a lor matricea ale carei elemente sunt:

, si

Asadar,

Definitia 13. Fiind date matricile si de acelasi tip se numeste diferenta a lor matricea ale carei elemente sunt:

, si

Exemplu:

Fie

,

Avem

si

Propozitia 1. Adunarea matricelor are urmatoarele proprietati:

1) asociativa

2) comutativa

3)

4)

Inmultirea unei matrice cu un numar (scalar)

Definitia 14. Fiind data matricea si scalarul R se numeste produs al acestora matricea ale carei elemente sunt

, ,

Teorema 1. Pentru orice matrice A si B de acelasi tip si orice scalari si au loc urmatoarele proprietati:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Matricea se numeste opusa matricei A.

Exemplu:

Inmultirea a doua matrice

Definitia 15. Fie o matrice m x n si o matrice n x p. Se numeste produs al matricelor A si B (sau A cu B) matricea ale carei elemente sunt:

, ,

Conform definitiei de mai sus, rezulta ca se inmultesc elementele de pe linia i din matricea A cu elementele de pe coloana j din matricea B, "fiecare cu fiecare", se aduna produsele si rezultatul obtinut constituie elementul , aflat deci pe linia i si coloana j in matricea produs C. Pentru ca produsul sa poata fi efectuat trebuie ca numarul de coloane al matricei A sa fie egal cu numarul liniilor matricei B. Remarcam ca daca A este de tipul m x n iar B este de tipul n x p, atunci C este de tipul m x p. Este posibil ca daca poate fi calculata se poate ca sa nu poata fi calculata.

Exemple: 1) Fie

si

Avem deci M si M.Vom obtine prin inmultire o matrice M astfel:

Fie

si

Cum M si M rezulta matricea M de forma:

Definitia 16. Daca produsele si exista atunci se spune ca:

produsul este comutativ daca = , iar A si B permutabile;

produsul este necomutativ daca .

Propozitia 2. Pentru orice matrice A, B, si C pentru care produsele de mai jos exista si pentru orice scalar avem:

1)

2)

3)

4)

5) (in general)

6) Daca = atunci = pentru orice p, qN

7) Daca A = 0 sau B = 0 atunci AB = 0 dar nu si reciproc.

8) pentru orice matrice patratica A

Exemple: 1) Fie

si

Cum M si MM

2) Fie si

M si M

DeciM -6 -2)

Fie

si B= (1 -2 -3) M siMM   

Transpunerea unei matrice

Definitia 17. Fiind data matricea se numeste transpusa a acesteia si se noteaza cu, , , sau etc. matricea B ale carei elemente sunt = , pentru toti i si j, adica:

Exemplu:

Daca , atunci

Se remarca ca daca atunci prin transpunere se obtine matricea .

Propozitia 3.Pentru orice matrice A, B de acelasi tip si pentru orice scalar sunt adevarate urmatoarele proprietati:

1.

2. ()=

3.

4.

5. Daca A este simetrica atunci si reciproc.

3.5 Partitionarea matricilor

Definitia 18. Fiind data matricea , , , se numeste partitionare a acesteia operatiunea de separare a liniilor sau a coloanelor sale printr-una sau mai multe drepte orizontale sau verticale, conventional trasate, astfel incat sa se obtina matrici de dimensiuni mai mici.

Exemplu:

unde , etc.

4. DETERMINANT ASOCIAT UNEI MATRICE PATRATA

Definitia 19. Fiind data matricea patrata , determinantul sau se noteaza cu det A , sau |A| , fiind scris astfel:

Definitia 20. Dezvoltarea determinantului dupa linia i

,

unde reprezinta minorul (determinantul de ordin mai mic cu o unitate decat det A) care se obtine din det A suprimand linia i si coloana j.

Determinantul se numeste complementul algebric al lui .

Definitia 21. Dezvoltarea determinantului det A dupa coloana j

,

Exemple: 1) Fie

pe care il calculam dupa linia intai.

2) Dezvoltam acelasi determinant dupa coloana a doua.

3) Calculam dupa linia intai determinantul de ordin patru

Propozitia 4. Urmatoarele afirmatii (proprietati) sunt adevarate intodeauna:

Determinantul nu se schimba prin transpunerea matricei

Daca se schimba intre cele doua linii (sau doua coloane) atunci determinantul isi schimba numai semnul

Daca matricea are doua linii (sau doua coloane) proportionale atunci determinantul este egal cu zero

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) sunt nule, atunci determinantul este egal cu zero

Daca elementele unei linii (sau coloane) se inmultesc cu un numar, atunci determinantul se inmulteste cu acelasi numar

Daca la elementele unei linii (sau coloane) se aduna elementele altei linii (sau coloane) inmultite cu un numar, atunci determinantul matricei nu se schimba.

Propozitia 5. Daca A si B sunt matrici patrate de ordinul n atunci

Definitia 22. Spunem ca matricea A este nesingulara (sau regulata) daca . In caz contrar spunem ca A este singulara.

5. Inversa unei matrice

Definitia 22. Se spune ca matricea A este inversabila daca exista o matrice de acelasi tip cu ea, notata cu , astfel incat:

Observatie. Daca exista, matricea se numeste inversa matricei A si este data de formula:

=

unde A* se numeste matricea adjuncta a lui A si se obtine din transpusa matricei A inlocuind fiecare element al transpusei prin complementul sau algebric. Analiza formulei de mai sus ne conduce la concluzia ca exista daca:

A este matrice patrata;

A este nesingulara, adica .

Exemplu: Fie matricea

, deci A este nesingulara.

Complementul algebric va fi:

, ,

, ,

, ,

Inlocuim fiecare element al transpusei cu complementul sau algebric.

=

Pentru verificare va trebui ca

Exemplu: Fie matricea

;

, ,

, ,

, ,

;

Propozitia 6. Daca A si B sunt matrici inversabile de acelasi ordin atunci:

1.

2.

3.

4.

6. RANGUL UNEI MATRICE

Definitia 23. Fie A o matrice de ordin m x n. Se numeste rang al matricei A si se noteaza prin rang (A) ordinul maxim al minorului sau nenul.

Aceasta inseamna ca exista cel putin un minor al lui A de ordin r care este nenul si toti minorii lui A de ordin (r + 1) sunt nuli. Pentru determinarea rangului unei matrice procedam astfel:

pornind de la elementele matricei A , trecem de la minorii de ordin inferior la cei de ordin superior ;

prsupunand ca am gasit minorul nenul M de ordin r, calculam toti minorii de ordin r + 1 obtinuti din M prin bordare cu o linie si o coloana. Daca toti acesti minori sunt nuli, rangul este r iar daca macar unul este nenul, atunci se reia procedeul pentru noul minor nenul.

Exemplu: Fie

Consideram minorul de ordin 2, .

Formam minori de ordinul trei care il contin pe M.

; etc.

Cautam minori de ordinul patru care incadreaza pe

=

Cum este nenul

EXERCITII DE REZOLVAT

1. Sa se calculeze pentru urmatoarele matrice:

; ;

2. Sa se determine rangul matricelor: