Ecuatii de tipul

Ecuatii de tipul

Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34  ):

a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu si

Se scrie

si ecuatia (34  ) devine

- omogena de gradul 2 daca (c - b)(b + c) ¹ 0, sau, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul 1 si a unei ecuatii de tipul (2  ) sau (5  ).

Exemplul 12. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) sin2x + cos2x = 1;       b)

Rezolvare. a)

b)      
   
     
 

b) Utilizarea formulelor

Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34  ) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor a = p + 2pk,   k I Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34  ).

Exemplul 13. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) sin2x + cos2x = 1;       b)

Rezolvare. a) Cum si cum nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia

  sau   1 + tg²x = 2tgx + 1 - tg²x,

de unde rezulta

b) Se aplica formulele (35  ) si se obtine

sau

de unde

  si   Verificarea directa arata ca si x = p + 2pk,   k I Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt

c) Metoda unghiului auxiliar.

Cum abc ¹ 0 ecuatia (34  ) se scrie  

si cum   si rezulta ca exista un unghi a, astfel incat

 

sau un unghi b, astfel incat  

Atunci ecuatia (36  ) se scrie

sau

Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare.

Nota. Se observa ca ecuatia (34  ) are solutii daca si numai daca iar valoarea maxima a functiei f(x) = asinx + bcosx este si valoarea minima este -.

Exemplul 14. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

a) sin2x + cos2x = 1;       b) 3sinx + 4cosx = 5;       c)

Rezolvare. a)

b)

c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este si rezulta ca ecuatia nu are solutii.