CE ESTE O CONJECTURA ?

CE ESTE O CONJECTURA ?

Este bine stiut ca inca de la inceputurile sale, matematica a creat si s-a dezvoltat prin probleme, ajungand astazi sa vorbim de Universul matematic care domina intreaga cunoastere si care a dus la civilizatia actuala. Volumul si calitatea cunostintelor matematice la inceputul mileniului III sunt impresionante si cresc intru-un ritm rapid: se estimeaza ca in ultimii 25 de ani, numarul teoremelor (demonstrate) creste cu 1000000 pe an. Dar numarul problemelor ce se nasc anual este de cateva sute de mii: o parte isi primesc rezolvarea (devin fie teoreme, fie probleme inchise) iar o buna parte raman probleme deschise (cele ce nu au fost rezolvate). Evident ca nu orice problema nerezolvata capata statutul de conjectura. Se considera probleme deschise in matematica stiinta, acele probleme de exceptie, nobile, provocatoare care pot declansa teorii sau chiar ramuri noi in Universul matematic. Existenta problemelor deschise asigura corectarea (individuala sau sub forma institutionalizata) si progresul in matematica. Propozitiile logice din matematica ce au fost demonstrate (dovedite) sunt desemnate prin termenii: lema, propozitie, teorema sau corolar, iar cele ce nu sunt inca demonstrate (din diverse motive) prin termenii: axioma, postulat, problema, ipoteza si conjectura.

Termenul de conjectura a aparut ultimul, introdus de D.Hilbert, in formularea celor 23 de probleme supuse spre rezolvare comunitatii internationale a matematicienilor la al II-lea "Congres international al matematicienilor" din 1900 de la Paris. Primele probleme deschise din istoria matematicii au aparut in Antichitatea greaca: cuadratura cercului (- 435 autor Artemon din Clazomene), duplicarea cubului ( - 430 autor Hippocrate din Chias) si trisectiunea unghiului ( - 425 autor Hippias din Elis). Rezolvarea lor s-a facut de-abia in secolul al XIX-lea. Cuvantul conjectura provine de la latinescul conjectura =ipoteza, prezumtie, opinie bazata pe aparente. In mod obisnuit, prin conjectura se intelegere orice explicatie presupusa a unui fenomen (eveniment) constituita fara certitudine si in afara oricarei dovezi (probe) plecand de la aparenta sau presupuneri. In acord cu Hilbert (autorul termenului de conjectura) se intelege prin conjectura acea problema deschisa care poate furniza arhitectura unei teorii in matematica (sau o directie noua) sau avansarea unui nou domeniu.

Aritmetica si apoi Teoria numerelor au produs cele mai multe si subtile conjecturi in matematica. De exemplu Pierre Fermat (parintele teoriei numerelor) a produs 48 conjecturi (trei s-au dovedit false) care au reprezentat probleme de cercetare pentru multi matematicieni (Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, etc). Ultima conjectura a lui Fermat (cunoscuta ca Marea teorema a lui Fermat) a fost ca ecuatia pentru n≥3 nu are solutii in Z si s-a demonstrat deabia in 1994 de catre matematicianul englez Andrew Wiles. Insa gasim probleme deschise in majoritatea domeniilor matematicii: analiza, geometrie, topologie etc. propuse de diversi matematicieni (multe le poarta numele): ipoteza lui Riemann, ipoteza continutului, ipoteza lui Poincar, ipoteza (conjectura) lui Kepler, conjectura lui Bieberbach, etc. In anul 2000, Institutul matematic Claz (USA) a lansat in cadrul unei Conferinte aniversare a centenarului congresului international al matematicienilor din 1900, un numar de 7 probleme (numite problemele mileniului trei) spre rezolvare: fiecare problema este cotata cu un premiu de 1000000 de dolari. Printre aceste probleme se afla si celebra ipoteza a lui Riemann:

Functia: ζ(s)= unde sC are zerourile in C situate pe drepte cu bR.

Aceasta conjectura reprezinta cea mai importanta si dificila problema a matematicii contemporane. Inainte de a muri, Hilbert a fost intrebat, daca ar invia dupa 500 de ani, ce intrebare ar pune, si el a raspuns: daca a fost rezolvata ipoteza lui Riemann.

Iata cateva conjecturi din Teoria numerelor (care pot fi intelese de orice absolvent de liceu, ceea ce nu inseamna ca au si rezolvare elementara):

1) Intelegem prin numar prim Mersenne, numarul prim de forma: . Exemplu: ; ; ; ; .

Pana azi se cunosc numai 37 de numere prime Mersenne (care sunt din ce in ce mai mari, obtinute cu supercalculatorul). Cel mai mare numar prim Mersenne obtinut in 1997 (in Anglia de Gordon Spence) este care are 895932 cifre. Intrebarea este: exista o infinitate de numere prime Mersenne ?

2) Se intelege prin numar perfect, un numar natural egal cu suma divizorilor sai (suma partilor sale alicate) mai putin el insusi. De exemplu: 6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14; S-a conjecturat ca orice numar perfect este par (aceasta afirmatie este inca nedemonstrata). La fel nu se stie daca exista o infinitate de numere perfecte.

3) Intelegem prin numar prim Fermat, numarul cu nN care este prim. Fermat a aratat ca , , , , sunt prime si a conjecturat ca oricare ar fi nN, este prim. Euler a aratat ca nu este prim deoarece = 641 x 6700417. Nu se stie nici pana azi daca exista o infinitate de numere prime Fermat si nici daca exista o infinitate de numere Fermat compuse. Importanta numerelor prime Fermat a fost aratata de Gauss, demonstrand proprietatea ca se pot construi cu rigla si compasul numai poligoanele regulate cu n laturi unde , iar sunt numere prime Fermat distincte.

4) Doua numere naturale a si b se zic prietene (amice) daca suma partilor alicate ale unuia este egala cu celalalt. De exemplu: a = 220 si b = 284. Nu se stie daca exista o infinitate de perechi de numere amice. Mai general, trei numere naturale a, b, c se zic sociabile, daca b = a), c = σ(b), a = σ(c) unde σ(n) este suma partilor alicate a numarului natural n. Un exemplu de numere sociabile sunt: a = 1945330728960; b = 2324196638729; c = 2615631953920. Nu se stie daca exista o infinitate de triplete sociabile.

5) Numerele prime p, q se zic gemene, daca |p - q| = 2. De exemplu (3;5); (5;7); (17;19); (29;31);..Nu se stie daca exista o infinitate de numere prime gemene.

6) In 1742, matematicianul Christian Goldbach, intr-o scrisoare trimisa marelui matematician al vremii Leonard Euler (1707 - 1783), ii propune problema sa arate ca orice numar par > 6 este suma a doua numere prime. De exemplu: 12 = 5 +7, 18 = 5 + 13 = 7 +

Nici pana azi aceasta problema nu a fost rezolvata (pozitiv sau negativ), devenind astfel pentru istoria matematicii ipoteza (conjectura) lui Goldbach. De aceasta conjectura, pe parcursul a apeste 250 ani, s-a ocupat o serie de mari matematicieni: Gauss, Dirichlet, Kummer, Hardy, Littlewood, Papachristas. In 2000, editura Faber&Faber a oferit un premiu de 1000000 de dolari pentru rezolvarea conjecturii lui Goldbach.

Iata acum si doua conjecturi celebre din geometrie:

1) In corespondenta dintre astronomul si geometrul Johannes Kepler (1571 - 1630) si matematicianul britanic Thomas Harriot (1560 - 1621) s-a nascut asa zisa conjectura lui Kepler, care consta in aranjarea unor sfere de aceeasi raza intr-un spatiu inchis astfel incat sa optimizeze ocuparea acestuia. Este exact ceea ce vedem cum sunt asezate portocalele, rosiile etc. Pe tarabe in piata. Kepler a conjecturat ca asezarea optima (din mai multe posibile) a sferelor este a retelei centrate (in care fiecare sfera este inconjurata de 12 sfere impartite in doua straturi paralele cuprinzand fiecare cate 6 sfere tangente unei sfere oarecare). In primul strat se inconjoara o sfera cu alte 6 sfere tangente (se obtine o asa zisa stea hexagonala), apoi al doilea strat format din sfere asezate in spatiile goale ale primului strat si asa mai departe. S-a constatat ca aceasta asezare ocupa 74% din spatiul de impachetare. O alta asezare a sferelor este cand al doilea strat se aseaza peste primul astfel incat sferele sa fie tangente incat sa formeze o retea patratica. In acest caz se ocupa 53% din spatiul de aranjare. Kepler a analizat o serie de configuratii de asezare a sferelor si a ajuns la concluzia (fara demonstratie) care a ramas sub numele de conjectura lui Kepler, ca asezarea in straturi de retea hexagonala este optima. De aceasta conjectura s-au ocupat in decursul veacurilor multi matematicieni celebri, insa fara succes. In anii 1990, matematicianul Thomas Hale de la Universitatea Pittsburg (SUA) a publicat o serie de lucrari legate de aceasta conjectura culminand in 1997 cu un articol de 250 pagini publicat in Annals of Mathematics in care conjectura este demonstrata in proportie de 99% cu ajutorul calculatorului. Deci nu e o demonstratie completa (iata cum folosind calculatorul in scop demonstrativ, obtinem grade de demonstratie in matematica). Nemultumit, Hale a lansat proiectul flyspeck pentru a da o demonstratie formala completa a conjecturii. Doritorii care vor sa intre in acest proiect se pot informa la adresa: www.math.pitt.edu/thales/flyspeck .

2) O alta conjectura geometrica este conjectura (ipoteza) punctelor care a fost trecuta de curand in randul teoremelor (problemelor rezolvate): Fie o multime de n (cu n≥4) puncte distincte necoliniare care determina multimea de drepte. Sa se arate ca oricare ar fi asezarea celor n puncte, exista intotdeauna drepte in Δ care contin numai doua puncte din M. Aceasta problema (al carei autor nu-l cunosc) a ramas nerezolvata peste 40 de ani. Nu de mult ea a fost rezolvata folosind un minim de cunostinte de geometrie care se obtin in scoala gimnaziala.

Un rationament foarte simplu arata ca: . Rezolvarea acestei conjecturi este integral rezolvata in [3].

Conjecturile au reprezentat si reprezinta in continuare cai prin care matematica se dezvolta alaturi de metodele reprezentate de programele de cercetare (cercetarea pe baza de program) cum sunt: programul de la Erlangen (pentru geometrie), programul lui Hilbert sau programul Langlands.

In secolul al XIX-lea matematicianul E. Catalan a lansat conjectura care-i poarta numele, dupa care ecuatia are singura solutie x=3; y=2; z=2; t=3. Aceasta conjectura a fost transata de matematicianul german (de origine romana) Preda Mihailescu, in anul 2001. Amanunte in Axioma - supliment matematic Nr. 6

Bibliografie

Barry Mazur: "Conjectura" (in Synthese, 1997)

W.Sierpinski: "Ce stim si ce nu stim despre numerele prime" (Bucuresti 1966, Ed.Stiintifica)

Simion Singh: "Marea teorema a lui Fermat" (Ed. Humanitas, Bucuresti, 1998)

Keith Devlin: "Varsta de aur a matematicii" (Ed. Theta, Bucuresti, 2000)

Solomin Marcus: "Moduri de gandire" (Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1987)

Miron Oprea: "Ce este o conjectura si ce inseamna o conjectura ?" (Rev. Axioma, Nr.8/2001)