FORMULA LUI TAYLOR-YOUNG

FORMULA LUI TAYLOR-YOUNG

Fie V un K - spatiu vectorial normat si .

Definitia V.2.1 (segment)

Se numeste segment de extremitati x si y multimea , definita prin

Observatia V.2.2

a) Notiunea de segment este independenta de notiunea de norma.

b) Intr-un K -spatiu vectorial normat segmentul [x,y] este o multime nevida de diametru .

Definitia V.2.3 (multime convexa)

Se spune ca multimea A ÌV este convexa, daca x, yIA, x¹y, are loc .

Teorema V.2.4 (Formula lui Taylor-Young)

Fie o functie de clasa Cⁿ⁺¹ pe multimea deschisa A si x₀IA, .

Pentru disc si , astfel incat

Demonstratie:

Fie si . Daca , atunci segmentul .

Consideram functia definita prin .

Atunci functia , definita prin

de clasa Cⁿ⁺¹ pe [0,1].

Conform formulei lui MacLaurin pentru functia j, a.i.

In particular pentru t=1, se obtine:

(2)

Calculand derivatele functiei j, dupa regula de derivare a functiilor compuse, avem:

sau

si atunci

Inlocuind relatiile de mai sus in (2) obtinem:

Cum a fost ales arbitrar in , atunci punand si pentru , relatia (3) devine:

(4)

unde cu .

Observatia V.2.5

a) Functia polinomiala , definita prin

se numeste polinomul lui Taylor de grad k atasat functiei f in punctul x₀.

b) Din relatia (1), pentru n=0 se obtine formula cresterilor finite a lui Lagrange pentru functiile reale de p variabile reale.

Observatia V.2.6

Fie o functie de clasa C¹ pe multimea deschisa A=Å si x₀IA.

Atunci, pentru si orice , , a.i.

Daca h=x-x₀, , atunci relatia de mai sus se scrie

(5)

Relatia (5) se mai poate scrie sub forma:

(6)

unde

Folosind, de exemplu, norma euclidiana rezulta:

iar din continuitatea derivatelor partiale deducem ca .

Mai mult din aceeasi inegalitate rezulta:

Sa observam ca functia definita prin:

este continua pe si relatia (6) se poate scrie:

(7)

Teorema V.2.7 (de medie)

Fie , , o functie de clasa C¹ pe multimea deschisa si convexa A.

Daca , atunci pentru avem:

Demonstratie:

Fie . Pentru fiecare , folosind formula cresterilor finite pentru functiile de n variabile, avem:

unde sau .

In concluzie