GENERAREA SUPRAFETELOR

GENERAREA    SUPRAFETELOR

In acest capitol vor fi caracterizate analitic suprafetele care se obtin prin deplasarea unei curbe ,numita generatoare, supusa anumitor restrictii geometrice (contact cu o curba data sau tangenta la o suprafata data ).

Daca familia de curbe depinde de un parametru, adica

, lIR (1)

atunci suprafata pe care o descrie aceasta familie de curbe, pentru lIR , se obtine eliminind parametrul l intre cele doua ecuatii.

Daca familia de curbe din spatiu depinde de doi parametrii,adica

, l mIR (2)

si curbele acestei familii sunt supuse restrictiei de a avea contact cu o curba data, numita curba directoare, data de ecuatiile:

(3)

atunci conditia geometrica de contact a generatoarelor cu curba directoare este echivalenta cu compatibilitatea sistemului

(4)

Eliminind nedeterminatele x,y,z intre ecuatiile sistemului (4) obtinem conditia, numita conditia de compatibilitate:

(5)

Eliminind l si m intre ecuatiile (2) si (5) obtinem ecuatia suprafetei

S) :    (6)

Daca generatoarele suprafetei sunt drepte, atunci suprafata va fi numita suprafaa riglata. Planul,cilindri, conurile, hiperboloidul cu o panza, paraboloidul hiperbolic sunt suprafete riglate.

1. Suprafete cilindrice

Sa consideram directia data de dreapta determinata de intersectia planelor: p =0 si p =0, adica

(1.1)

Ecuatiile generatoarei suprafetei cilindrice (o dreapta paralela cu d )

sunt date de :

(1.2)

Daca luam drept curba directoare, curba

(1.3)

determinam multimea dreptelor din familia , care sunt in contact cu curba directoare (g), impunind conditia de compatibilitate a sistemilui:

(1.4)

Sistemul S este compatibil daca si numai daca avem satisfacuta conditia de compatibilitate , obtinuta prin eliminarea nedeterminatelor x, y, z intre ecuatiile sistemului S .

Ecuatia suprafetei cilindrice se obtine inlocuind in conditia de compabilitate pe l si m din sistemul (1.2) , adica

F p p (1.5)

Observatii: 1^o Daca directia este data de parametrii directori l, m, n, atunci o dreapta oarecare in spatiu cu aceasta directie este caracterizata de ecuatiile: X = x + l t, Y = y + m t, Z = z + n t , iar punctele acestor drepte care sunt situate pe curba directoare trabuie sa satisfaca sistemul de ecuatii:

(1.6)

Ecuatia suprafetei cilindrice se obtine eliminind parametrul tIR in sistemul (1.6).

2^o Daca restrictia geometrica inseamna tangenta dreptelor familiei (d_lm) la suprafata F(x,y,z) = 0, atunci relatia de compatibilitate se obtine impunand conditia ca sistemul format din ecuatiile generatoarei si ecuatia suprafetei sa aiba solutie unica (conditia de tangenta) .

2. Suprafete conice

Fie punctul fix V(x_o,y_o,z_o) si o dreapta oarecare (d_lm) prin punctul V

scrisa sub forma:

(2.1)

Impunand ca aceasta dreapta sa satisfaca conditia suplimentara impusa, obtinem conditia de compatibilitate

F l m ( 2.2)

Eliminand parametrii l si m intre ecuatiile (2.1) si (2.2) se obtine ecuatia suprafetei conice dat

(2.3)

Observatie. Ecuatia conului , facand abstractie de o translatie, reprezinta o ecuatie algebrica de gradul al doilea omogena in x,y,z .

3. Conoizi cu plan director

Sa consideram planul director dat de ecuatia p = 0 , dreapta (d) data de intersectia planelor P = 0 si Q = 0 si sa impunem ca generatoarea

acestei suprafete sa intersecteze curba (g) : F (x,y,z) = 0 , G(x,y,z) = 0 .

Daca scriem generatoarea conoidului cu plan director sub forma

(): (3.1)

si impunem conditia de contact a generatoarei cu curba (g) obtinem conditia de compatibilitate F l m) = 0 . Inlocuind l si m din ecuatiile (1.10) se obtine ecuatia conoidului cu plan director.

4. Suprafete de rotatie

Fie curba

(g)     (4.1)

si axa de rotatie data de dreapta

(d) (4.2)

Cum fiecare punct al curbei (g) descrie un cerc situat intr-un plan

perpendicular pa axa de rotatie, suprafata de rotatie poate fi gandita ca fiind suprafata generata de cercurile cu centrul pe dreapta (d) situate in plane perpendiculare pe aceasta si care se intersecteaza cu curba (g) . Cercurile perpendiculare pe dreapta (d), cu centrul pe aceasta dreapta pot fi determinate de intersectia unui plan perpendicular pe dreapta si o sfera de raza variabila cu centrul intr-un punct al dreptei, adica :

(4.3)

Impunind conditia ca dreptele (d_lm) sa se intersecteze cu curba (g),adica sistemul format de eciatiile (4.1) si (4.3) sa fie compatibil , se obtine conditia de compatibilitate F l m) = 0 . Inlocuind l si m din ecuatiile (4.3) se obtine ecuatia suprafetei de rotatie dorita.