Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare in

I. Sa se arate ca au loc urmatoarele inegalitati:

(Cauchy - inegalitatea mediilor)

.

2) (Bernoulli) , cu toti de acelasi semn ,

.

Caz particular: .

3) (Hlder) ,

.

Caz particular: (Cauchy - Buniakowski - Schwarz)

.

4) (Minkowski) ,

.

II

II.1) Sa se verifice ca urmatoarele aplicatii definesc distante (metrici) pe multimile in cauza:

a)

b)

c)

d)

e)

f) .

g)

h)

i)

II.2) Fie o metrica. Sa se arate ca urmatoarele aplicatii sunt de asemenea metrici pe : ; , cu (constanta); ; ; . Sunt acestea echivalente cu d ?

II.3) Se considera , astfel incat:

i) si

ii) .

Sa se demonstreze ca d este o metrica pe (Lindenbaum).

II.4) Daca d este o metrica pe , sa se arate ca au loc relatiile:

a) (inegalitatea triunghiului);

b) (inegalitatea patrulaterului).

II.5) a) Fie si doua metrici pe . Sa se arate ca si sunt, de asemenea, metrici pe .

b) Fie , metrici pe . Sa se demonstreze ca urmatoarele aplicatii , definite respectiv prin

,

, sunt metrici pe .

c)      Sa se arate ca daca si sunt doua metrici, atunci , definita prin

,

este o metrica.

II.6) Fie d o metrica pe si vectorul nul din . Se considera ,

definita prin:

.

Sa se arate ca:

a)      este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai putin fina decat cea indusa de ;

b)      ,

unde indicele "0" desemneaza entitatile in cauza ( diametrul multimii si respectiv sfera ) definite prin intermediul metricii .

III

III.1) a) Folosind inegalitatea lui Minkowski , sa se arate ca aplicatia ,

definita prin , , unde este indicat,

constituie o norma pe .

b)         Sa se arate ca .

c)          Sa se verifice ca normele (norma euclidiana) si sunt echivalente, demonstrand ca:

.

d)    Sa se arate ca .

e)    Sa se observe ca inegalitatea lui Hlder se poate reda sub forma , unde inseamna produsul scalar euclidian al elementelor x si y, adica , , . In particular, cand , inegalitatea lui Cauchy - Buniakowski - Schwarz se poate scrie in forma:

.

III.2) Fie o norma pe . Sa se arate ca:

a)    .

b)    .

c) .

III.3) Fie si definite prin , respectiv

, , unde sunt constante. Date fiind

si , astfel incat , se considera aplicatiile si

, definite respectiv prin:

.

a)      Sa se arate ca si sunt norme pe .

b)      Sa se demonstreze ca daca exista , astfel incat si , atunci este de asemenea o norma pe . Conditia este si necesara sau

doar suficienta pentru ca sa fie o norma pe ?

III.4) Fie o norma pe si , definita prin:

Sa se arate ca:

a)      d este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai fina decat cea indusa de norma .

b)      , unde si S semnifica diametrul si respectiv sfera in raport cu d, iar este notatia pentru norma euclidiana pe .

IV

IV.1) Sa se arate ca urmatoarele aplicatii , definite dupa cum urmeaza, sunt produse scalare pe :

a) ,

b) .

IV.2) Fie un produs scalar pe si norma indusa.

a) Sa se arate ca au loc relatiile:

(i)

(ii)

b) Cand , sa se arate ca are loc egalitatea , precum si relatia : .

c) Reciproc, sa se arate ca daca , in , are loc egalitatea sau relatia

, atunci x si y sunt vectori ortogonali, adica .

IV.3) Fie , , si , unde este un produs scalar pe . Sa se arate ca:

a) , unde este norma

indusa de pe .

b) pe baza relatiei de la a) si a egalitatii

,

unde si d este metrica indusa de norma , distanta de la la A

are valoarea , ori de cate ori .

IV.4) Fie W un subspatiu liniar al lui si o functie liniara, neidentic nula, pentru care . Se defineste aplicatia , prin . Sa se arate ca:

a) este un spatiu prehilbertian.

b) Oricare doua elemente ale lui W, diferite de , sunt liniar dependente.

F. Iacob / 01.10.2006