Valori proprii si vectori proprii asociati unei aplicatii liniare

Valori proprii si vectori proprii asociati unei aplicatii liniare

Definitie. Fie V un spatiu vectorial n-dimensional peste corpul de scalari K si o aplicatie liniara. Un scalar se numeste valoare proprie pentru aplicatia liniara T daca exista cel putin un vector nenul astfel incat:

Vectorul nenul care verifica relatia (6.1.) se numeste vector propriu pentru aplicatia liniara T asociata valorii proprii

Prezentam in continuare modul de determinare a valorilor si vectorilor proprii pentru o aplicatie liniara.

Fie aplicatie liniara cu matricea aplicatiei definita in baza . Relatia (6.1.) se mai scrie: sau

Relatia (6.2.) reprezinta scrierea matriceala a unui sistem omogen. In consecinta, coordonatele vectorului propriu v nenul sunt solutiile sistemului omogen (6.2.). Solutiile sistemului omogen (6.2.) nu sunt toate nule pentru ca determinantul sistemului este nul.

Determinantul sistemului (6.2.): este:

si se numeste polinomul caracteristic asociat aplicatiei liniare T. Ecuatia se numeste ecuatie caracteristica a aplicatiei T. Se verifica teorema:

Teorema Fie este o valoare proprie a aplicatiei liniare T daca si numai daca este radacina a ecuatiei caracteristice.

Observatii:

Polinomul caracteristic si deci ecuatia caracteristica nu depinde de baza aleasa.

Vectorii proprii asociati aplicatiei liniare pentru valorile proprii determinate se obtin inlocuind valorile proprii in sistemul (6.2.) si rezolvand sistemul. Solutiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociati aplicatiei T in raport cu baza B.

Fiecarei valori proprii ii corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (6.2.) este compatibil nedeterminat, caci P(l)=0. Multimea solutiilor formeaza un subspatiu, numit subspatiu propriu atasat valorii proprii respective si se noteaza

Un vector propriu n poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii a aplicatiei liniare T.

Teorema: Daca sunt vectori proprii ai aplicatiei liniare asociati valorilor proprii distincte atunci sunt liniari independenti.

Teorema: Fie V spatiu vectorial de dimensiune n, o aplicatie liniara si , valori proprii distincte pentru T. Atunci exista o baza B pentru V astfel incat matricea asociata aplicatiei liniare T sa aiba forma diagonala cu elementele diagonalei principale egale cu valorile proprii.

Teorema : Fie V spatiu vectorial de dimensiune n, o aplicatie liniara care are un polinom caracteristic : cu . Atunci exista o baza B a spatiului vectorial V astfel incat matricea asociata aplicatiei liniare T in raport cu perechea de baze sa aiba forma diagonala daca si numai daca dimensiunea fiecarui subspatiu propriu corespunzator valorii proprii este egala cu - ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective

Baza B este formata din vectori proprii apartinand subspatiilor proprii corespunzatoare.

Exemplu Fie o aplicatie liniara a carei matrice asociata in raport cu baza canonica este:

Sa se studieze daca exista o baza a spatiului vectorial in raport cu care matricea asociata aplicatiei liniare T sa aiba forma diagonala.

Solutie. Ecuatia caracteristica asociata este:

Valorile proprii sunt

Vectorii proprii asociati valorii sunt solutiile sistemului de ecuatii:

Deci . Dimensiunea subspatiului propriu este doi cat este si ordinul de multiplicitate a valorii proprii

Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii sunt solutiile sistemului.

Deci a carei dimensiune este unu.

Matricea se transforma in intr-o baza unde si ca de exemplu .