DERIVARE NUMERICA

1. Formularea matematica a problemei de derivare numerica.

In cazuri practice, cand se cere determinarea derivatei, iar functia este data in forma unui tabel utilizarea metodelor analitice de calculul diferential devine imposibila si atunci se face apel la aproximare numerica a derivatei cautate - derivarea numerica.

Formularea matematica a problemei este urmatoare. Fie ca functia f(x) este determinata in intervalul [a, b] si este reprezentata tabular prin n+1 puncte. Se cere stabilirea relatiei analitice pentru derivata acestei functii. Ca functia de aproximare se alege un polinom de interpolare.

2. Derivare numerica cu polinomul de interpolare Newton.

Daca nodurile din baza de date, care descrie numeric functia data f(x), sunt echidistante, adica x_i+1 - x_i = h     (unde i = 0, 1, 2, n), atunci pentru stabilirea relatiei analitice pentru derivata acestei functii sa aproximam functia de origine f(x) cu polinomul Newton cu diferente divizate (vezi subcap.4.2). Atunci functia

, (1)

unde: este coordonata adimensionala ;

h= x_i+1 - x_i - pasul de calcul.

Se transcrie formula (1) deschizand paranteze:

(1^/ )

Se observa ca:

(2)

Daca derivam relatia (1^/ ) aplicand formula (2), rezulta:

(3)

Considerand , dupa derivarea functiei y=f ^/(x), se obtine a doua derivata:

(4)

Formulele pot fi simplificate introducand q= 0:

(5)

(6)

Eroarea de aproximatie a derivatei poate fi apreciata dupa formula:

,

unde punctul x I a, b si x x_i.

Calculul valorii derivatei pentru ultimul punct din tabel se face dupa formula Newton (1), in care ca o valoare initiala sa ia drept valoarea functiei in acest punct:

(7)

unde .

Formula de aproximare pentru prima derivata in acest caz va fi:

(8)

3. Derivare numerica cu ajutorul polinomulul LaGrange

Fie f(x) este o functie determinata pe intervalul [a,b] printr-un tabel cu valori

y_i = f(x_i), i = 0,1,2,., n, pasul h = x_i+1 - x_i, i = 0,1,2,., n-1.

Polinomul de interpolare LaGrange pentru cazul acesta va fi:

, (9)

unde reprezinta pasul de unterpolare adiomensional.

Avand in vedere ca dx / dq = h, din relatia (9) aflam:

(10)

Eroarea de aproximatie pentru derivata este:

, (11)

unde x I a,b x x_i

In cazul daca n =2 (functia este data de 3 puncte), avem ca polinomul LaGrange:

Avand in vedere ca dx/dq = h, aflam prima derivata:

Pentru fiecare din nodul de interpolare x_i= 0, 1, 2 se obtin urmatoarele expresii:

, la care restul ;

, iar eroarea

, la care eroarea

Daca n =3 (functia este data de 4 noduri) la fel se obtine:

Aplicatia 1. Determinarea numerica a primelor doua derivate in punctul dat utilizand polinomul de interpolare Newton.

Fie functia numerica y =f(x) data printr-un tabel:

Tabelul 1.

Se cere determinarea primelor doua derivate in punctul x_i=1.

REZOLVARE.

Sa alcatuim tabelul cu diferente divizate:

Tabelul 2.

Pasul dupa x al acestui tabel h=1.

Prima derivata dupa formula (5) luand primii 3 termeni va fi:

Pentru x_i = 1 vom avea:

Derivata a doua in punctul x_i =1 se determina cu ajutorul formulei (6):